La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
Nell'articolo precedente abbiamo calcolato la funzione di crivello del crivello di Eratostene partendo dall'algoritmo, ottenendo una formula con un numero di termini che cresce in modo esponenziale rispetto al numero di primi utilizzati, perciò troppo complessa per poter essere utilizzata in pratica. Però in fin dei conti non è necessario calcolare esattamente una funzione di crivello: per poterla studiare (ad esempio per capirne l'andamento asintotico) sarebbe sufficiente trovare una buona approssimazione. Se quindi ci accontentassimo di approssimare la funzione di crivello, nel caso del crivello di Eratostene, otterremmo una formula meno complicata? Quanto sarebbe buona l'approssimazione? In questo articolo risponderemo…
Nell'articolo precedente abbiamo esaminato nel dettaglio il crivello di Eratostene, sia a livello algoritmico che come funzione di crivello. Abbiamo visto che tra le due formulazioni c'è un forte legame, in quanto la funzione di crivello calcola quanti elementi restano nell'insieme {2, 3, 4, ..., N} dopo aver applicato l'algoritmo. Ma allora, per calcolare la funzione di crivello, perché non partire proprio dallo studio dall'algoritmo da cui essa trae origine? In questo articolo e nel successivo vedremo che quest'idea non funziona nella pratica, e capiremo il perché.
Come abbiamo visto, nella formula del crivello di Selberg compaiono dei parametri λd, che vengono utilizzati sia nella stima della funzione di crivello che nel relativo termine di errore. In questo articolo calcoleremo questi parametri in modo da ottenere una stima più bassa possibile.
In quest’articolo cominceremo a entrare nel vivo della teoria dei crivelli, analizzando nel dettaglio il cosiddetto “crivello di Selberg”. Non si tratta, in realtà di un nuovo crivello (paragonabile ad esempio a quello di Eratostene); il crivello (inteso come funzione) è sempre quello generale, è la sua maggiorazione che è di Selberg. In sintesi, possiamo dire che il crivello di Selberg è un modo di maggiorare una funzione di crivello con una funzione semplice da calcolare, composta da due termini: una stima e un termine di errore.
Nell'articolo precedente abbiamo visto che la dimostrazione del Teorema di Chen si basa sulla teoria dei crivelli. Ma che cos'è un crivello? In questo articolo lo spiegheremo basandoci sull'esempio più famoso di crivello, quello di Eratostene. Esso permette di rispondere a una semplice domanda: dato un numero intero N ≥ 2, quali sono i numeri primi minori o uguali di N?