La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
In questo articolo completeremo la dimostrazione del Teorema dei numeri primi, applicando le idee fondamentali illustrate nell'articolo precedente. Suddivideremo quest'ultima parte della dimostrazione in cinque parti: Il nostro punto di partenza sarà una semplice maggiorazione dell'integrale di |V| in un intervallo qualsiasi, ottenuta applicando la Proprietà A.18; Miglioreremo il risultato del punto precedente supponendo che nell'intervallo la funzione V abbia almeno uno zero; Miglioreremo il risultato del primo punto anche per gli intervalli in cui la funzione V non ha zeri; Calcoleremo quale dovrebbe essere l'ampiezza δ di un generico intervallo nel quale sia possibile applicare, a seconda dei casi,…
In questo articolo vedremo quali sono le idee su cui si basa la seconda parte della dimostrazione del Teorema dei numeri primi. Finora abbiamo dimostrato che α ≤ β′, dove α e β' sono due costanti importanti legate alla funzione V. Come abbiamo visto, se dimostrassimo che α = 0 avremmo dimostrato il Teorema dei numeri primi. Per dimostrarlo, una prima idea potrebbe essere dimostrare che β′= 0, perché così si avrebbe che α ≤ β′= 0, da cui α = 0. In questo articolo tenteremo di dimostrare che β′= 0 (e vedremo perché per il momento resterà solo un…
Con questo articolo concluderemo la parte principale della dimostrazione del Teorema dei numeri primi, che si gioca tutta sulla relazione che intercorre tra le costanti α e β che sono state introdotte nell'articolo La media integrale e la funzione di errore assoluto R. Per il Lemma N.7, per dimostrare il Teorema dei numeri primi è sufficiente dimostrare che α = 0: in questo articolo ci avvicineremo a questo risultato.
Guardando all'indietro il percorso fatto finora, possiamo individuare un punto di svolta: è stato quando abbiamo introdotto l'Ipotesi N.1, che consiste in una disuguaglianza in cui è presente un integrale. A quel punto, per semplificare, abbiamo deciso di sostituire l'integrale con una sommatoria e da allora abbiamo lavorato sempre con le sommatorie, fino a dimostrare il Teorema di Selberg e alcune sue conseguenze. Ora è giunto il momento di ritornare alla forma integrale, per riallacciarci al discorso che ci ha condotto all'Ipotesi N.1, tentando di dimostrarla.
Dopo la digressione sulla funzione di Möbius degli ultimi tre articoli, torniamo alla dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi. In questo articolo vedremo una delle parti più importanti della dimostrazione, che consiste nell'applicazione del Teorema di Selberg. Cercheremo di capire, tentando di ridurre al minimo i tecnicismi, perché questo Teorema riveste un ruolo così importante nella dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi.