Alcuni risultati importanti

L’affermazione formulata da Christian Goldbach è una “congettura”, quindi, in linea di principio, si tratta di un’ipotesi. Ciò vuol dire che potrebbe essere:

  • Vera, ossia tutti i numeri pari maggiori di 2 sono esprimibili come somma di due numeri primi;
  • Falsa, ossia esiste almeno un numero pari maggiore di 2 che non si può scrivere come somma di due numeri primi.

Entrambe le ipotesi sono aperte, e studiosi da tutto il mondo stanno seguendo diverse strade per riuscire a trovare una soluzione per quello che è diventato a tutti gli effetti un enigma. Si aprono infatti diversi scenari:

  • Si potrebbe dimostrare che la Congettura è falsa semplicemente trovando un controesempio, ossia un numero pari che non è esprimibile come somma di due numeri primi. Riguardo a questo, sappiamo con certezza che un tale numero deve essere maggiore di 4 \cdot 10^{18}. Infatti, tutti i precedenti numeri pari maggiori di 2 si sono rivelati essere la somma di due numeri primi, com’è stato verificato nell’ambito del progetto di Tomás Oliveira e Silva.
  • Si potrebbe dimostrare che la Congettura è vera mediante un ragionamento di tipo teorico; finora, però, tutti i numerosi tentativi di questo tipo non sono andati a buon fine a causa di problemi nel ragionamento.
  • Esiste anche la possibilità che sia intrinsecamente impossibile dimostrare la Congettura, o che sia praticamente impossibile confutarla. Infatti, un eventuale controesempio potrebbe essere un numero così grande da trovarsi fuori dalla portata dei mezzi di cui disponiamo per cercarlo analizzando i numeri pari uno per volta; d’altra parte, anche dimostrare la verità dell’enunciato utilizzando l’aritmetica che conosciamo, basata sugli assiomi di Peano, potrebbe non essere possibile. Infatti, per il primo Teorema di Incompletezza di Gödel, esistono enunciati di tipo aritmetico che non sono dimostrabili, per i quali, di conseguenza, è impossibile avere la certezza del fatto che siano veri oppure no.

Come se non bastasse, la congettura di Goldbach implica un problema di tipo numerico: se è vero che un numero pari è somma di due numeri primi, quali sono questi due numeri? Determinarli è abbastanza facile se il numero pari di partenza è piccolo, ma più esso cresce e più trovare i due numeri primi in questione diventa a sua volta una “sfida nella sfida”. Trovare la soluzione di questo problema numerico ha a sua volta dei risvolti teorici: se si trovasse una qualche formula per calcolarli, e se funzionasse per qualsiasi numero pari, si sarebbe automaticamente giunti alla dimostrazione.
La caccia, quindi, è più aperta che mai.

Tentativi di scomposizione dei numeri pari

Per provare a dimostrare che un numero pari si può scrivere come una somma di due numeri primi, una delle possibilità è trovare prima di tutto un modo di scriverlo come una somma, e poi ridurre le caratteristiche dei relativi addendi, fino a dimostrare che ne bastano due e che sono entrambi primi: in questo modo, quindi, ci si avvicina alla soluzione per gradi, “restringendo il cerchio” di volta in volta. I risultati in tal senso sono molti, e ognuno di essi propone una soluzione parziale alla congettura originaria, affermando che un numero pari maggiore di due è sicuramente somma di due numeri primi e di altri numeri:

  • Viggo Brun, norvegese, nel suo libro Le crible d’Eratosthène et le théorème de Goldbach del 1919, ha dimostrato che ogni numero pari maggiore di due si può scrivere come somma di due numeri, ognuno dei quali è il prodotto di massimo 9 numeri primi.
  • Il matematico sovietico Yuri Vladimirovič Linnik ha dimostrato, nel 1951, che esistono due costanti h e k tale che tutti i numeri pari maggiori di h sono esprimibili come somma di due numeri primi dispari e di k potenze di 2. Un lavoro successivo, di Roger Heath-Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta, ha dimostrato che k è pari a 13.
  • Il matematico francese Olivier Ramaré ha dimostrato, nel 1995, che ogni numero pari n \ge 4 può essere scritto come somma di massimo 6 numeri primi;
  • Il matematico australiano Terence Tao ha dimostrato, nel 2012, che ogni numero dispari può essere scritto come somma di massimo 5 numeri primi;
  • Il risultato precedente è stato migliorato dal matematico peruviano Harald Andrés Helfgott, che ha dimostrato, nel 2013, la congettura “debole” di Goldbach, che afferma che qualsiasi numero dispari maggiore di 5 è esprimibile come somma di tre numeri primi. Una sua conseguenza diretta è il fatto che ogni numero pari maggiore di 6 può essere scritto come somma di 4 numeri primi.

Per saperne di più:

I teoremi di Chen e Yamada

Francobollo commemorativo dedicato a Chen Jingrun

Il risultato più vicino alla dimostrazione della congettura di Goldbach è stato raggiunto da un matematico cinese, Chen Jingrun. Nato nel 1933 nel Fujian, provincia della Cina sud-orientale, visse la sua gioventù mentre l’impero cinese diventava la Repubblica Popolare che conosciamo oggi. Da sempre appassionato di scienza, quando il suo professore di matematica delle superiori parlò ai suoi studenti della congettura di Goldbach, il nostro Chen decise di tentare di dimostrarla. Dedicò diversi anni a studiarla, fino a quando, nel 1966, usando la Teoria dei crivelli come base per il ragionamento, scrisse un articolo, On the representation of a large even integer as the sum of a prime and a product of at most two primes, in cui descrisse il più importante risultato a cui era arrivato, che il resto del mondo avrebbe in seguito conosciuto come teorema di Chen:

Ogni numero pari sufficientemente grande è somma o di due numeri primi, o di un primo e un semiprimo (ossia un prodotto di due numeri primi).

In termini aritmetici, il teorema si può formulare in questo modo:

Esiste un numero pari k > 0 tale che, per ogni numero pari n > k, si ha n = a + bc, dove a e b sono numeri primi, e c è 1 oppure un numero primo.

Il teorema originario afferma che k esiste, ma non indica quale sia il suo valore. Un risultato importante in tal senso si deve a un matematico giapponese, Tomohiro Yamada, dell’università di Osaka, che ha dimostrato che k = e ^ {e ^ {36}}, dove e è il noto numero di Nepero. Una curiosità: e è anche detto numero di Eulero… lo stesso Eulero con cui Christian Goldbach discusse della sua congettura per la prima volta.

Per saperne di più:

Studio dell’insieme dei controesempi

Per riuscire a capire se la congettura di Goldbach è vera, solitamente vengono seguite due strade: o si tenta di dimostrarla, oppure di confutarla. Una tattica alternativa, rispetto allo scegliere una strada delle due oppure l’altra, consiste nell’adottare un approccio più diretto: cercare di quantificare, sul totale, i “controesempi”, ossia i numeri pari che non si possono scrivere come somma di due numeri primi. In questo modo, a seconda del risultato, si riuscirà direttamente ad arrivare alla conclusione: se non ce ne sono è vera, se invece ce n’è almeno uno è falsa.
I tentativi in questo senso sono di tipi diversi, e arrivano tutti alla conclusione che, se esistono, i controesempi sono pochi:

  • Tre matematici, il sovietico Nikolai Chudakov, l’olandese Johannes van der Corput e il tedesco Theodor Estermann, tra il 1937 e il 1938, hanno dimostrato che la frazione dei numeri che soddisfano la congettura tende a 1, ossia che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due numeri primi: il risultato, quindi, implica che i numeri pari che non rispettano la congettura, se esistono, sono molto pochi. Le tre dimostrazioni, che sono state raggiunte indipendentemente da ognuno dei tre studiosi, sono basate sugli studi di un altro matematico sovietico, Ivan Matveevič Vinogradov.
  • Il risultato precedente è stato successivamente raffinato nel 1975, ad opera dello statunitense Hugh Montgomery e del britannico Robert Charles “Bob” Vaughan, che hanno determinato che, dato N, la quantità di numeri pari minori di N che non soddisfano la congettura è minore di CN ^ {1-c}, in cui c e C sono due costanti maggiori di zero.
  • Il cinese Wen Chao Lu ha dimostrato che, dato un numero x sufficientemente grande, il numero di controesempi minori di x è minore di x ^ {0,879} (a meno di un fattore costante), migliorando un risultato simile ottenuto a sua volta dal già citato Chen Jingrun. Questo risultato è particolarmente importante perché potrebbe essere utilizzato per ottenere una dimostrazione alternativa della Congettura debole di Goldbach, come ci ha fatto notare il nostro lettore Ultima (Quasi tutti i numeri dispari possono essere intesi come la somma di tre numeri primi (dimostrazione alternativa)).

Per saperne di più:

L’approccio probabilistico

Un ulteriore approccio per comprendere la Congettura di Goldbach, non completamente rigoroso ma degno di menzione, si basa sul calcolo delle probabilità, mediante cui si possono formalizzare alcune giustificazioni intuitive della Congettura. Ad esempio, nell’articolo A Statistician’s Approach to Goldbach’s Conjecture, Neil Sheldon ottiene che la probabilità che la Congettura di Goldbach sia falsa è all’incirca 10^{-150.000.000.000} (provate a immaginare un valore di probabilità con 150 miliardi di zeri dopo la virgola!). La dimostrazione si basa sull’assunzione che, se un numero pari 2n è la somma di due interi p e q, la probabilità che p sia primo non influenza in alcun modo la probabilità che anche q sia primo, cioè la primalità di p e la primalità di q sono eventi indipendenti. Quest’assunzione non viene dimostrata, per cui la dimostrazione di Sheldon non può essere considerata completa; tuttavia è interessante che il valore di probabilità ottenuto alla fine sia così basso.

Il progetto di Tomás Oliveira e Silva

Così come per via teorica, la congettura di Goldbach può anche essere trattata tramite metodi numerici, ossia tentando di trovare i due numeri primi di cui ogni numero pari è la somma. In questo modo, si può studiare come si comportano questi numeri, se rispettano una qualche regola e così via.

Il professor Tomás Oliveira e Silva, dell’Università di Aveiro in Portogallo, ha seguito proprio questa strada: ha avviato un progetto, conclusosi nel 2013, per realizzare un metodo automatico che fosse in grado di scrivere come somma di due numeri primi tutti i numeri pari fino a 4 x 10 18. Il problema principale è stato quello delle risorse: man mano che il numero da scomporre cresceva, i calcoli necessari richiedevano sempre più tempo e potenza di calcolo da parte dei computer. Per riuscire a completare l’opera in tempi ragionevoli, soprattutto nella parte finale in cui i numeri coinvolti erano molto grandi, è stato fondamentale il contribuito di un italiano, Silvio Pardi, della sede di Napoli dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare.
In questo modo, è stato possibile affermare con certezza che la congettura di Goldbach è vera per tutti i numeri pari fino a 4.000.000.000.000.000.000, quattro miliardi di miliardi. Si tratta di un numero molto grande, non sufficiente di per sé per dimostrare che la congettura è sempre vera, ma che comunque rappresenta una prova certa del fatto che, se esistesse un numero pari che non soddisfa la congettura, si tratterebbe sicuramente di un numero ancora più grande.

Per saperne di più:

Riassumendo…

In base ai risultati presentati, possiamo concludere che, finora, sappiamo che alcuni numeri pari sono la somma di due numeri primi, mentre per gli altri abbiamo solo informazioni parziali. La situazione attuale può essere riassunta nel seguente schema (non in scala):

4 A – Oliveira e Silva 4 · 1018  
  8 B – Helfgott        
  ee36 C – Chen-Yamada        
  • La sezione A contiene tutti i numeri pari che sono sicuramente somma di due numeri primi; questo risultato si deve al lavoro di Oliveira e Silva.
  • La sezione B contiene i numeri pari che sono somma di 4 numeri primi; questo risultato è conseguenza della Congettura debole di Goldbach, dimostrata da Helfgott.
  • La sezione C contiene i numeri pari che sono somma di due numeri primi o di un primo e un semiprimo; questo risultato è il teorema di Chen, unito all’approfondimento di Yamada.

Questo è quel che sappiamo finora, ma la ricerca è ancora in corso, per cui è possibile che la situazione cambi. In particolare:

  • I computer diventano sempre più potenti, quindi diventerà possibile scomporre sempre più numeri pari in coppie di numeri primi, per cui la soglia di 4 · 1018 è destinata a essere superata. Non è da escludersi che prima o poi si trovi un controesempio, e che quindi questa strada possa chiudere definitivamente la questione.
  • Il Teorema di Chen è il risultato teorico più simile alla Congettura di Goldbach a cui si è arrivati finora, ma non è detto che prima o poi non si riesca a migliorarlo. Ad esempio, potrebbe essere che il limite minimo ee36 trovato da Yamada venga ridotto. In particolare, se questo limite minimo scendesse sotto il limite massimo della sezione A, il Teorema di Chen varrebbe, per estensione, a tutti i numeri pari maggiori di 2 (perché si saprebbe già che quelli sotto la soglia minima lo rispettano), diventando così ancora più simile alla Congettura di Goldbach.
  • Lo stesso discorso del Teorema di Chen potrebbe valere in futuro per la Congettura di Goldbach stessa: se si riuscisse a dimostrare che i numeri pari abbastanza grandi sono somma di due numeri primi, sarebbe un ottimo punto di partenza. I passi successivi sarebbero stabilire una soglia minima, come fatto da Yamada per il Teorema di Chen, e poi cercare di abbassare progressivamente questa soglia, fino a farla ricadere all’interno della sezione A, dimostrando così definitivamente la Congettura. In tal caso il Teorema di Chen verrebbe definitivamente superato, perché l’insieme dei numeri pari esprimibili solamente come somma di un numero primo e di un numero semiprimo si rivelerebbe vuoto. In altri termini, ogni numero pari esprimibile come somma di un numero primo e un numero semiprimo, ammetterebbe anche un’altra espressione come somma di due numeri primi, pertanto la seconda possibilità prevista dal Teorema di Chen si rivelerebbe superflua.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *