Altre congetture relative alle somme di numeri primi

Nel corso dei secoli, diversi studiosi hanno tentato di mettere in relazione numeri pari e dispari con somme che coinvolgono numeri primi. Alcune delle relazioni, come il Teorema di Chen o la Congettura debole di Goldbach sono state dimostrate in generale, mentre, per altre, non si è mai riusciti ad andare oltre evidenze empiriche o considerazioni di tipo statistico; qui di seguito ne presentiamo alcune che sono abbastanza simili alla Congettura forte di Goldbach.

La Congettura di Lemoine

La prima di queste congetture, come a volte accade nell’ambito scientifico, è nata due volte. L’enunciato, come lo conosciamo attualmente, è il seguente:

Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come p + 2q, in cui p e q sono numeri primi dispari non necessariamente distinti.

Di seguito alcuni esempi:

15 = 5 + 2 \cdot 5

19 = 5 + 2 \cdot 7 = 13 + 2 \cdot 3

27 = 5 + 2 \cdot 11 = 13 + 2 \cdot 7 = 17 + 2 \cdot 5 = 19 + 2 \cdot 3

31 = 5 + 2 \cdot 13 = 17 + 2 \cdot 7

65 = 7 + 2 \cdot 29 = 19 + 2 \cdot 23 = 31 + 2 \cdot 17 = 43 + 2 \cdot 11 = 59 + 2 \cdot 3

La prima formulazione conosciuta apparve nel 1895, sul primo numero della rivista scientifica L’Intermédiaire des mathématiciens, in questa forma:

Teorema che ho trovato empiricamente e di cui chiedo, se possibile, di provare la correttezza o la falsità. Ho fatto moltissime verifiche.
Qualsiasi numero dispari 2n + 1 (n > 1) è, (esprimibile) in molti modi, (come) la somma di un numero primo e del doppio di un numero primo.

L’autore di questa formulazione è l’ingegnere e matematico francese Émile Michel Hyacinthe Lemoine, che è anche il fondatore della rivista, insieme all’amico Charles-Ange Laisant, anch’egli matematico.
Questa congettura non ebbe molta visibilità, fino a quando, nel 1963, la storia si ripetè quasi identica: il filosofo e matematico scozzese Hyman Levy ripropose la stessa congettura su un’altra rivista, The Mathematical Gazette.

L’enunciato di Levy per la sua versione della congettura di Lemoine

Non si trattava di una citazione, ma neanche di un plagio, dato che Levy non conosceva il lavoro di Lemoine. Il suo risultato, a differenza del precedente, ebbe una diffusione maggiore e suscitò più interesse, per cui, nelle prime pubblicazioni che vi facevano riferimento, l’enunciato era detto Congettura di Levy, mentre oggi lo si trova anche come Congettura di Lemoine, per dare credito anche a chi lo scoprì per primo.

La Congettura “A” di Hardy e Littlewood

All’inizio del XX secolo, i due matematici britannici Godfrey Harold Hardy e John Edensor Littlewood, entrambi membri della prestigiosa Royal Society, intrapresero una serie di studi congiunti sui numeri primi, che durò diversi anni. La fama di questo sodalizio fu tale che, come disse il matematico danese Harald Bohr durante una conferenza, in quel periodo “erano tre i grandi matematici inglesi: Hardy, Littlewood e Hardy-Littlewood”.
Nel loro articolo Some problems of Partitio numerorum; III: On the expression of a number as a sum of primes, pubblicato nel 1923 sul numero 44 della rivista scientifica Acta Mathematica, presentarono alcune loro ipotesi sull’argomento, ognuna contrassegnata da una lettera. Una in particolare, la Congettura A, afferma che:

Ogni numero pari abbastanza grande è la somma di due numeri primi dispari. La formula asintotica per il numero di rappresentazioni è

N_2(n) \sim 2 \cdot C_2 \cdot \frac{n}{\log^2{n}} \cdot \prod\limits_{p \mid n, p > 2} \frac{p - 1}{p - 2} \tag{1}

in cui p è un divisore dispari primo di n, e

C_2 = \prod\limits_{w=3}^{\infty} 1 - \frac{1}{(w - 1)^2}

in cui w è un numero primo.

La costante C_2 è attualmente nota come costante dei primi gemelli, dato che appare in molti teoremi relativi appunto ai numeri primi gemelli.
È evidente come la prima parte dell’enunciato presenti analogie con la Congettura forte di Goldbach, ma anche con il Teorema di Chen.

Nel seguente grafico viene mostrato un confronto tra il numero effettivo di somme di numeri primi, ossia di coppie di Goldbach, e il valore dell’espressione (1) per i numeri pari da 6 a 20000:

Confronto tra il numero di coppie di Goldbach G(n) e il valore corrispondente dell’approssimazione di Hardy e Littlewood; l’area scura corrisponde ai punti in cui si sovrappongono.

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