Calcolo di t_valore per tratteggi di ordine arbitrario

Prerequisiti:

La funzione \mathrm{t\_valore}, per definizione, indica a quale colonna di un tratteggio appartiene un trattino. Per questo, in linea di principio, calcolare questa funzione è abbastanza facile, perché è la definizione stessa a indicarci come si fa:

  • Si assegna un numero progressivo, a partire da 1, a tutti i trattini, esclusi quelli della colonna 0; l’assegnazione deve avvenire dall’alto verso il basso e da sinistra verso destra;
  • \mathrm{t\_valore}(x) è la colonna a cui appartiene l’x-esimo trattino.


Prendiamo ad esempio il tratteggio T_2 fino alla colonna 10:

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2          
3              

Associamo un numero progressivo a ogni trattino, tranne quelli della colonna 0:

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2   1   3   4   6   8
3     2     5     7  

Abbiamo 8 trattini in tutto, numerati da 1 a 8, in cui \mathrm{t\_valore} è:
\mathrm{t\_valore}(1) = 2;
\mathrm{t\_valore}(2) = 3;
\mathrm{t\_valore}(3) = 4;
\mathrm{t\_valore}(4) = \mathrm{t\_valore}(5) = 6;
\mathrm{t\_valore}(6) = 8;
\mathrm{t\_valore}(7) = 9;
\mathrm{t\_valore}(8) = 10.


Questo metodo è abbastanza semplice da applicare, ma ha diversi svantaggi: richiede sempre più tempo man mano che il numero di colonne considerate aumenta, e non si basa su una formula ma su un algoritmo, per cui risulta difficile determinare il comportamento della funzione, le sue proprietà e così via, se non procedendo per tentativi.

Per i nostri scopi, invece, dobbiamo cercare di ottenere \mathrm{t\_valore} tramite un calcolo. Ma non è facile trovare una formula che, dato x, ci restituisca \mathrm{t\_valore}(x) per un tratteggio di ordine qualsiasi. Questo è un problema ancora aperto della teoria dei tratteggi, ma ci sono alcuni risultati parziali di una certa importanza, che potrebbero diventare la base per trovare un’espressione algebrica universale.

Calcolo per i trattini della prima riga

Le formule già note per il calcolo di \mathrm{t\_valore} dipendono dalla riga a cui appartiene il trattino di cui si vuole calcolare il valore, e la riga a sua volta è calcolabile con altre formule. Tuttavia, per semplificare la ricerca di una formula per \mathrm{t\_valore} che valga per tutti gli ordini, si può pensare di trattare inizialmente soltanto il caso dei trattini della prima riga (ossia il calcolo di \mathrm{t\_valore}(x) nell’ipotesi che l’x-esimo trattino appartenga alla prima riga). Quest’assunzione riduce il numero di variabili da considerare, in quanto non ci si deve preoccupare della riga, ma non la difficoltà del problema; infatti, come si evince dalle formule già note, la complessità della formula non dipende dalla particolare riga considerata.

Calcolo per tratteggi di secondo e terzo ordine

Le formule per calcolare \mathrm{t\_valore} per i trattini della prima riga di tratteggi di ordini piccoli sono già note, così come le loro proprietà. Se l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga, per un tratteggio di secondo ordine (n_1, n_2), dal Corollario del Teorema T.8 (Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine per la prima riga) si ha:

\mathrm{t\_valore_2}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil \tag{1}

Per un tratteggio di terzo ordine (n_1, n_2, n_3), invece, la formula per \mathrm{t\_valore}(x) può essere ottenuta attraverso il downcast dal terzo ordine al primo, applicando il Teorema T.11 (Soluzione parziale dell’equazione caratteristica del downcast di t lineare, dal terzo ordine al primo) partendo con il calcolare y, ponendo i = 1, j = 2, k = 3, ed infine la Proposizione T.1 (Funzioni t e t_valore lineari di primo ordine):

\mathrm{t\_valore_3}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot n_3 \cdot x + n_2 + n_3}{n_1 \cdot n_2 + n_1 \cdot n_3 + n_2 \cdot n_3} \biggr \rceil \tag{2}

Queste formule sono quasi del tutto composte da operazioni di tipo algebrico, a parte il simbolo \lceil \cdot \rceil, che indica l’arrotondamento per eccesso.

Riprendendo il tratteggio precedente (2, 3), del secondo ordine, calcoliamo \mathrm{t\_valore}(4) applicando la formula (1). Iniziamo sostituendo i valori numerici, che nel nostro caso sono n_1 = 2, n_2 = 3 e x = 4:

\mathrm{t\_valore}(4) = 2 \biggl \lceil \cfrac{3 \cdot 4 + 1}{2 + 3} \biggr \rceil

Procediamo con il calcolo, fino ad ottenere il valore finale:

\mathrm{t\_valore}(4) = 2 \biggl \lceil \cfrac{12 + 1}{5} \biggr \rceil = 2 \biggl \lceil \cfrac{13}{5} \biggr \rceil = 2 \cdot 3 = 6

che è esattamente il risultato che avevamo ottenuto applicando la definizione.

La formula (2), come precisato nell’enunciato del Teorema T.11, vale solamente se le componenti del tratteggio soddisfano una particolare disuguaglianza. Per evitare ipotesi aggiuntive di questo tipo si possono effettuare due downcast, prima dal terzo ordine al secondo e poi dal secondo al primo, applicando il Corollario del Teorema T.9 (Funzione di downcast di \mathrm{t} lineare, dal terzo ordine al secondo) per il primo downcast, ed il Corollario del Teorema T.8 (Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine per la prima riga) per l’altro; tuttavia così si otterrebbe una formula finale per \mathrm{t\_valore} più complessa, con due arrotondamenti per eccesso. Per il momento, per semplicità e per concentrarci sulle idee principali, ci limiteremo a proporre una generalizzazione della formula (2) trascurando le ipotesi riguardo la sua applicabilità. Naturalmente queste ipotesi, assieme alla formula alternativa derivante dall’approccio con più downcast, dovranno essere considerate quando si dovrà dimostrare il tutto.

Estensione a ordini superiori

Il fatto che nelle formule del secondo e terzo ordine ci siano, al numeratore e al denominatore della frazione, solo somme e prodotti, ci permette di riscriverle in una forma più compatta, usando i polinomi simmetrici elementari. Se indichiamo con \mathrm{t\_valore}_k la formula riferita all’ordine k, si ha:

\mathrm{t\_valore}_2(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_1(n_2) x + \sigma_0(n_2)}{\sigma_1(n_1, n_2)} \biggr \rceil
\mathrm{t\_valore_3}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_2(n_2, n_3) x + \sigma_1(n_2, n_3)}{\sigma_2(n_1, n_2, n_3)} \biggr \rceil

Osservando le formule così ottenute, si nota che sono caratterizzate da una serie di costanti, che sono tutte minori o uguali all’ordine: ad esempio, nella formula del terzo ordine ci sono dei 2, al denominatore c’è un elenco di 3 elementi, e così via. Possiamo quindi riscrivere queste formule in modo tale che tutte queste costanti siano calcolate a partire dall’ordine, ad esempio 2 si può riscrivere come 3 – 1. In questo modo, si ha:

\mathrm{t\_valore_2}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{2 - 1}(n_2) x + \sigma_{2 - 2}(n_2)}{\sigma_{2 - 1}(n_1, n_2)} \biggr \rceil
\mathrm{t\_valore_3}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{3 - 1}(n_2, n_3) x + \sigma_{3 - 2}(n_2, n_3)}{\sigma_{3 - 1}(n_1, n_2, n_3)} \biggr \rceil

Ma anche gli elenchi che sono argomento della funzione \sigma possono essere rivisti in quest’ottica: (n_1, n_2, n_3) è l’elenco delle componenti da n_1 a n_3, (n_2, n_3) quello delle componenti da n_2 a n_3, e così via. Applicando questo principio, se con “…” indichiamo gli elementi intermedi (includendo anche i casi degeneri in cui l’elemento risultante è solo uno), le due formule diventano:

\mathrm{t\_valore_2}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{2 - 1}(n_2, \ldots, n_2) x + \sigma_{2 - 2}(n_2, \ldots, n_2)}{\sigma_{2 - 1}(n_1, \ldots, n_2)} \biggr \rceil
\mathrm{t\_valore_3}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{3 - 1}(n_2, \ldots, n_3) x + \sigma_{3 - 2}(n_2, \ldots, n_3)}{\sigma_{3 - 1}(n_1, \ldots, n_3)} \biggr \rceil

Scritte in questo modo, le due formule sono molto simili tra loro, tanto che, posto k \in \{2, 3\}, entrambe si possono rappresentare con un’unica formula:

f_k(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{k - 1}(n_2, \ldots, n_k) x + \sigma_{k - 2}(n_2, \ldots, n_k)}{\sigma_{k - 1}(n_1, \ldots, n_k)} \biggr \rceil

Questa formula, che generalizza la (1) e la (2), è sicuramente valida per gli ordini 2 e 3 (al netto delle ipotesi del Teorema T.11 per il terzo ordine, come abbiamo osservato in precedenza). Ma possiamo tentare di fare un passo in avanti: se riuscissimo a dimostrare che è valida anche per un ordine qualsiasi, avremmo trovato una formula universale per calcolare \mathrm{t\_valore}. Stiamo quindi conducendo una serie di verifiche empiriche per tentare di capire come si comporta questa formula, con l’aiuto di un’apposita procedura automatizzata di verifica, in grado di determinare, dato un ordine k:

  • Se la formula è valida per tutto il primo periodo del tratteggio T_k = (p_1, p_2,\cdots, p_k) (ci stiamo limitando per semplicità a questi particolari tratteggi, utilizzati nelle nostre strategie dimostrative, aventi per componenti i primi numeri primi);
  • Nei casi in cui la formula non è valida, quanto vale lo scostamento tra il valore calcolato e quello reale. Se gli scostamenti sono più di uno, vengono indicati tutti.

Per effettuare una verifica su un ordine, è sufficiente inserirlo nella casella qui di seguito e cliccare su “Verifica”; il pulsante “Azzera” svuota la casella e i risultati, in modo da poter effettuare un’altra verifica, mentre la casella “Mostra ogni valore non valido” serve a mostrare, oltre al risultato finale, anche ogni singolo valore che si discosta da quello atteso. Se l’ordine è alto, l’operazione potrebbe richiedere molto tempo.

Ordine da verificare:
Mostra ogni valore non valido
  

In questo modo, variando di volta in volta l’ordine analizzato, siamo giunti finora a queste conclusioni:

  • La formula è valida per T_4 = (2, 3, 5, 7);
  • Per i tratteggi da T_5 = (2, 3, 5, 7, 11) a T_{10} = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31), la formula non è sempre valida, e per le x per cui non lo è vale la relazione f_k(x) = \mathrm{t\_valore}(x) - 2;
  • Per T_{11} = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37), la formula non è sempre valida, e per le x per cui non lo è vale la relazione f_k(x) = \mathrm{t\_valore}(x) - w, con w \in \{2, 4\}.

Alla luce di questi risultati, possiamo affermare che il valore della formula che abbiamo trovato non è sempre uguale a \mathrm{t\_valore}(x), ma lo sarebbe se vi si sommasse una certa quantità, che possiamo supporre dipenda da x. Possiamo quindi avanzare la seguente ipotesi:

Formula universale per \mathrm{t\_valore}

Sia T_k = (p_1, p_2, ... p_k) il tratteggio che ha per componenti i primi k \geq 1 numeri primi. Allora, per ogni trattino avente ordinale x, appartenente alla prima riga, si ha:

\mathrm{t\_valore}(x) = p_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{k - 1}(p_2, \ldots, p_k) x + \sigma_{k - 2}(p_2, \ldots, p_k)}{\sigma_{k - 1}(p_1, \ldots, p_k)} \biggr \rceil + g(x)

in cui g(x) ≥ 0 è una quantità “piccola” che dipende da x, e che vale zero fino a k = 4.

Quest’ipotesi è già dimostrata relativamente all’ultima parte; infatti abbiamo visto che g(x) = 0 per 2 \le k \le 4, e la stessa cosa vale anche per i tratteggi di primo ordine (non solo il tratteggio T_1 = (2), ma tutti i tratteggi lineari di primo ordine), come si può verificare facilmente.

Sappiamo che la formula nota di calcolo di \mathrm{t\_valore} per un tratteggio T = (n_1) del primo ordine è la seguente:

\mathrm{t\_valore_1}(x) = n_1 \cdot x

Partiamo quindi dalla formula che stiamo ipotizzando essere universale, e vediamo se, effettuando i calcoli intermedi, giungiamo a quella nota per il primo ordine. Iniziamo dall’espressione generale:

f_k(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{k - 1}(n_2, \ldots, n_k) x + \sigma_{k - 2}(n_2, \ldots, n_k)}{\sigma_{k - 1}(n_1, \ldots, n_k)} \biggr \rceil + g(x)

Poniamo g(x) = 0, che è ciò che vogliamo verificare, e k = 1, dato che ci riferiamo al primo ordine:

f_1(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_{1 - 1}(n_2, \ldots, n_1) x + \sigma_{1 - 2}(n_2, \ldots, n_1)}{\sigma_{1 - 1}(n_1, \ldots, n_1)} \biggr \rceil + 0

Proseguiamo con i calcoli intermedi:

f_1(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{\sigma_0() x + \sigma_{-1}()}{\sigma_0()} \biggr \rceil

Sostituiamo \sigma_0() con il suo valore, che è 1:

f_1(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{1 \cdot x + \sigma_{-1}()}{1} \biggr \rceil

Possiamo porre \sigma_{-1}() = 0, dato che la funzione non è definita per l’indice -1. Questo sembra ragionevole per distinguerla da \sigma_0() = 1: se da una parte \sigma_0() è l’elemento neutro del prodotto, che quindi preserva un prodotto, \sigma_{-1}() è l’elemento neutro della somma, che ha la proprietà di annullare un prodotto. Con quest’assunzione otteniamo:

f_1(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{1 \cdot x + 0}{1} \biggr \rceil

ossia

f_1(x) = n_1 \lceil x \rceil

Ma x, arrotondato per eccesso, è pari a x stesso: quindi la formula diventa

f_1(x) = n_1 \cdot x

che è esattamente quella che ci aspettavamo che fosse.

In totale, quindi, l’Ipotesi H.3 è valida per tutti i tratteggi lineari dal primo al quarto ordine.

Resta da verificare se l’Ipotesi H.3 è valida anche per tratteggi di ordine superiore al quarto; un ulteriore campo di indagine è capire se g(x) è calcolabile a sua volta tramite una formula con operazioni algebriche e di parti intere.

Calcolo per i trattini di una riga qualsiasi

L’obiettivo finale è determinare una formula generale per \mathrm{t\_valore} che valga per i trattini di qualsiasi riga di un tratteggio lineare di ordine arbitrario. Per il momento, come abbiamo specificato in precedenza, ci stiamo soffermando sulla prima riga, cercando però di trovare una formula che valga per tutti gli ordini.

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