16. Caratterizzazione degli spazi

Prerequisiti:

Uno dei problemi aperti della teoria dei tratteggi è “caratterizzare” gli spazi, ossia cercare un criterio che ci dica quando una certa colonna di un tratteggio è uno spazio e quando non lo è. Certamente una prima caratterizzazione è la definizione stessa di spazio, ma nelle nostre ricerche ci siamo accorti che a volte è utile trovare criteri alternativi. Ad esempio, un’idea può essere quella di caratterizzare gli spazi sulla base dei trattini che si trovano sulla colonna che precede o che segue lo spazio. Questo è particolarmente utile quando si studia la congettura di Goldbach in quanto, in tutte le nostre strategie dimostrative, si impiegano sempre tratteggi la cui prima componente è 2 (questo è vero sia nei tratteggi T_k che nel tratteggio di fattorizzazione di 2n), e tutti gli spazi di tali tratteggi, essendo dispari, precedono e seguono sempre un trattino relativo alla componente 2, nel senso che le colonne a destra e a sinistra dello spazio contengono entrambe un trattino relativo a questa componente (ossia di solito corrispondente alla prima riga). Quindi in tali tratteggi i concetti di spazio, di spazio che segue un trattino della prima riga, e di spazio che precede un trattino della prima riga, sono equivalenti. Perciò, per caratterizzare gli spazi, ci occuperemo di caratterizzare gli ultimi due concetti, definiti formalmente come segue:

Spazi che precedono/seguono un trattino

Sia T un tratteggio, s uno spazio di T e t un trattino di T.
Si dice che s precede t (o che t segue s) se t ha valore s + 1.
Si dice che s segue t (o che t precede s) se t ha valore s - 1.

Per poter ottenere le caratterizzazioni corrispondenti a questa definizione, per gli spazi che precedono un trattino, considerando che ci interessano i trattini della prima riga, si può procedere in questo modo:

  1. Si determina per quali x l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga e uno spazio lo precede;
  2. Si determina il valore della colonna v = \mathrm{t\_valore}(x) di questo trattino;
  3. Allora, per il primo caso della Definizione L.C.1. (ponendo x = t), si ha che x ha valore v = s + 1, per cui il nostro spazio è s = v - 1;
  4. Una volta definito il criterio che caratterizza i nostri x, avremo quindi trovato anche quello che caratterizza i corrispondenti v - 1 = \mathrm{t\_valore}(x) - 1, ossia appunto gli spazi che precedono un trattino.

Il ragionamento relativo agli spazi che seguono un trattino è speculare:

  1. Si determina per quali x l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga e uno spazio lo segue;
  2. Come prima, si determina il valore della colonna v = \mathrm{t\_valore}(x) di questo trattino;
  3. Allora, per il secondo caso della Definizione L.C.1. (ponendo x = t), si ha che x ha valore v = s - 1, per cui il nostro spazio è s = v + 1;
  4. Una volta definito il criterio che caratterizza i nostri x, avremo quindi trovato anche quello che caratterizza i corrispondenti v + 1 = \mathrm{t\_valore}(x) + 1, ossia appunto gli spazi che seguono un trattino.
Come si è già osservato, solo in un tratteggio avente una componente pari a 2, la caratterizzazione degli spazi che precedono o che seguono un trattino di una riga specifica può essere equivalente alla caratterizzazione di tutti gli spazi: questo accade scegliendo come riga proprio quella della componente 2. Le caratterizzazioni che scaturiscono dalla Definizione L.C.1 possono comunque essere applicate a qualsiasi tratteggio lineare; tuttavia, nel caso di tratteggi che non hanno 2 come componente, non si otterrà una caratterizzazione di tutti gli spazi, ma solo di un loro sottoinsieme. Ad esempio, nel tratteggio di primo ordine (4), tutti gli spazi del tipo 2 + 4h, per ogni intero h \geq 0, non seguono né precedono un trattino, perciò non rientrano nella Definizione L.C.1.

Caratterizzazione degli spazi di un tratteggio del primo ordine

Il criterio per stabilire quando l’x-esima colonna di un tratteggio del primo ordine è uno spazio si ottiene dalla sua stessa struttura: un tratteggio del primo ordine, infatti, è sempre formato dal ripetersi di un trattino seguito da un certo numero di spazi. Prendiamo ad esempio il tratteggio T = (n_1) = (3), che per chiarezza viene riportato fino alla colonna 9, con i trattini numerati e gli spazi evidenziati:

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3     1     2     3

Per applicare la procedura che abbiamo stabilito all’inizio, dobbiamo prima di tutto stabilire quando l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga e segue uno spazio (poi ci occuperemo di quelli che precedono uno spazio). Dato che il tratteggio è del primo ordine, tutti i trattini appartengono alla prima riga (che in questo caso è l’unica); resta quindi da determinare quali di essi seguono uno spazio.
Per arrivare alla caratterizzazione, è sufficiente osservare che, in un tratteggio di questo tipo, tutti i trattini tranne quello della colonna 0 seguono uno spazio; quindi:

  1. Le x tali che l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga e segue uno spazio sono tutte quelle che soddisfano la condizione x \gt 0;
  2. Il valore della colonna v = \mathrm{t\_valore}(x) dei trattini corrispondenti è pari a n_1 \cdot x, per la Proposizione T.1 (Funzioni t e t\_valore lineari di primo ordine);
  3. Allora, lo spazio che cerchiamo è pari a n_1 \cdot x - 1.

Da cui si ottiene la caratterizzazione vera e propria:

Spazi di un tratteggio del primo ordine che precedono un trattino

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di primo ordine T = (n_1) che precedono un trattino sono dati dalla formula

n_1 \cdot x - 1

dove x \gt 0.

In modo analogo si ottiene la caratterizzazione degli spazi che seguono un trattino, con l’unica differenza che in questo caso x \geq 0, perché anche il trattino della colonna 0 precede uno spazio:

Spazi di un tratteggio del primo ordine che seguono un trattino

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di primo ordine T = (n_1) che seguono un trattino sono dati dalla formula

n_1 \cdot x + 1

dove x \geq 0.

Per superare la differenza nel vincolo sulla x tra le Proposizioni L.C.1 ed L.C.2, si può pensare di teorizzare tratteggi che contemplano anche valori negativi dei trattini. Ciò non è stato ancora necessario per le nostre ricerche, in quanto i numeri primi sono per definizione positivi, ma potrebbe esserlo in futuro. In ogni caso si tratta di un punto aperto della teoria dei tratteggi.

Caratterizzazione degli spazi di un tratteggio del secondo ordine

Analogamente a come si è fatto per il primo ordine, si può procedere per i tratteggi del secondo, anche se la questione diventa più complessa, perché le righe diventano due. Il punto di partenza è il Teorema T.2 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di secondo ordine), che ci dice quando l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga di un tratteggio del secondo ordine T = (n_1, n_2):

\mathrm{t}_T(x) \in T[1] \Leftrightarrow (n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \lt n_2

dove è sottinteso che il modulo può partire da un minimo di zero, per cui questa equivalenza può essere riscritta come segue:

\mathrm{t}_T(x) \in T[1] \Leftrightarrow 0 \leq (n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \lt n_2 \tag{1}

Dato che a noi interessano non tutti i trattini della prima riga, ma solo quelli che seguono uno spazio, dobbiamo escludere quei trattini che non seguono uno spazio, ossia quelli che seguono una colonna contenente almeno un trattino. Per fare ciò, innanzitutto possiamo osservare che nella (1), l’espressione (n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) grazie al Lemma T.1 (Uguaglianza tra (n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) + 1 e n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2)) può essere riscritta come n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) - 1:

\mathrm{t}_T(x) \in T[1] \Leftrightarrow 0 \leq n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) - 1 \lt n_2

Sommando 1 a tutti i membri della disuguaglianza, a sua volta questa formula si può riscrivere come segue:

\mathrm{t}_T(x) \in T[1] \Leftrightarrow 1 \leq n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \leq n_2 \tag{2}

Ma per il Teorema T.3 (Differenza tra i valori di un trattino della riga i ed il precedente della riga j, in un tratteggio lineare di secondo ordine), se l’x-esimo trattino di T appartiene alla riga 1, allora l’espressione n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) rappresenta la differenza tra il suo valore e quello del precedente trattino della riga 2. Quindi, posto che \mathrm{t}_T(x) \in T[1], la disuguaglianza 1 \leq n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \leq n_2 che ne consegue in base alla (2), non fornisce alcuna informazione aggiuntiva, perché dice semplicemente che questa differenza può variare tra un minimo di 1 ed un massimo di n_2, che sono tutti i valori possibili (il valore n_2 si ha quando nella colonna di \mathrm{t}_T(x) vi è anche un trattino della seconda riga; per come è stato definito l’ordinamento dei trattini, in questo caso la differenza non è 0 ma n_2). Possiamo però modificare questa disuguaglianza per richiedere che l’x-esimo trattino segua uno spazio, basta porre che la differenza col valore del precedente trattino dell’altra riga sia maggiore di 1, ossia:

n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \gt 1 \tag{3}

Mentre per richiedere che l’x-esimo trattino preceda uno spazio, bisogna porre che la differenza col successivo trattino dell’altra riga non sia 1, ossia, per il Corollario del Teorema T.3 (Differenza tra i valori di un trattino della riga i ed il successivo della riga j, in un tratteggio lineare di secondo ordine):

n_2 - n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \neq 1

ossia

n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \neq n_2 - 1 \tag{4}

Unendo le formule (2), (3) e (4), e utilizzando la formula nota per il calcolo di \mathrm{t\_valore} fornita dal Corollario del Teorema T.8 (Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine per la prima riga), possiamo enunciare quindi le seguenti Proposizioni, assieme a dei rispettivi Corollari che ne conseguono in base al Lemma T.1:

Spazi di un tratteggio del secondo ordine che precedono un trattino della prima riga

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di secondo ordine T=(n_1, n_2) che precedono un trattino di componente n_1 sono dati dalla formula

n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil - 1

dove x è tale che

n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \in P_T(1)

e

P_T(1) := \{2, \ldots, n_2\}

Spazi di un tratteggio del secondo ordine che precedono un trattino della prima riga, seconda forma

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di secondo ordine T=(n_1, n_2) che precedono un trattino di componente n_1 sono dati dalla formula

n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil - 1

dove x è tale che

(n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \in \{1, \ldots, n_2 - 1\}

Spazi di un tratteggio del secondo ordine che seguono un trattino della prima riga

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di secondo ordine T=(n_1, n_2) che seguono un trattino di componente n_1 sono dati dalla formula

n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil + 1

dove x è tale che

n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \in S_T(1)

e

S_T(1) := \{1, \ldots, n_2 - 2, n_2\}

Spazi di un tratteggio del secondo ordine che seguono un trattino della prima riga, seconda forma

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di secondo ordine T=(n_1, n_2) che seguono un trattino di componente n_1 sono dati dalla formula

n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil + 1

dove x è tale che

(n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \in \{0, \ldots, n_2 - 3, n_2 - 1\}
Si potrebbe generalizzare facilmente, trovando una caratterizzazione per gli spazi che precedono/seguono un trattino di una generica riga i, ma per brevità trascuriamo questo aspetto perché, come si è detto, per i nostri scopi interessa solo la prima riga.
Prendiamo ad esempio il tratteggio (n_1, n_2) = (2, 3), dove il numero dell’x-esimo trattino è stato indicato all’interno della relativa casella, e gli spazi sono stati evidenziati:

  0 1 2 3 4 5 6
2   1   3   4
3     2     5

Applichiamo ad esempio il Corollario della Proposizione L.C.3 per determinare gli spazi che precedono un trattino della prima riga. Essi sono dati dalla formula

2 \biggl \lceil \cfrac{3 \cdot x + 1}{2 + 3} \biggr \rceil - 1 = 2 \biggl \lceil \cfrac{3 \cdot x + 1}{5} \biggr \rceil - 1

dove x è tale che

0 \lt (2 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (2 + 3) \lt 3

ossia, eseguendo i calcoli intermedi:

0 \lt (2 x - 1) \mathrm{\ mod\ } 5 \lt 3

Verifichiamo quali x sono trattini della prima riga che seguono uno spazio:

x Resto divisione (2x - 1)/5 x rispetta la caratterizzazione?
1 1
2 3 No
3 0 No
4 2
5 4 No

Quindi, i trattini 1 e 4 sono gli unici due che appartengono alla prima riga e seguono uno spazio, ed è quello che ci aspettavamo, come si può verificare osservando la tabella. Gli spazi corrispondenti sono:

2 \biggl \lceil \cfrac{3 \cdot 1 + 1}{5} \biggr \rceil - 1 = 2 \biggl \lceil \cfrac{3 + 1}{5} \biggr \rceil - 1 = 2 \biggl \lceil \cfrac{4}{5} \biggr \rceil - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1
2 \biggl \lceil \cfrac{3 \cdot 4 + 1}{5} \biggr \rceil - 1 = 2 \biggl \lceil \cfrac{12 + 1}{5} \biggr \rceil - 1 = 2 \biggl \lceil \cfrac{13}{5} \biggr \rceil - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5

Gli spazi ottenuti sono quelli corretti, come si può verificare dalla tabella.

Verifichiamo, all’opposto, se gli elementi non corrispondenti non rispettano il criterio 0 \lt (n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \lt 3: per il trattino x = 3, che non segue uno spazio, si ha

(n_1 x - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) = (2 \cdot 3 - 1) \mathrm{\ mod\ } (2 + 3) = 5 \mathrm{\ mod\ } 5 = 0

che infatti non rispetta la disuguaglianza.

Caratterizzazione degli spazi di un tratteggio del terzo ordine

Usando un ragionamento quasi identico a quello appena visto per i tratteggi del secondo ordine, è possibile ottenere la caratterizzazione degli spazi per il terzo; l’unico aspetto che cambia sono le formule coinvolte.
Si parte sempre dalla condizione che ci dice quando l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga di un tratteggio del terzo ordine T = (n_1, n_2, n_3), in cui n_1, n_2 e n_3 sono a due a due coprimi; tale condizione ci viene fornita dal Teorema T.4 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio linare di terzo ordine con componenti a due a due coprime):

\mathrm{t}_T(x) \in T[1] \Leftrightarrow (n_2 + n_3) \cdot n_1 x \mathrm{\ mod\ } N \in R_T(1)

dove

N := n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3

e

R_T(1) := \{n_2 a + n_3 b \mid a \in \{1, \ldots, n_3\}, b \in \{1, \ldots, n_2\}\} \tag{5}

Questa è la condizione che ci indica quando un trattino appartiene alla prima riga, ma a noi interessano quelli che seguono uno spazio. Per ottenerli, è sufficiente prendere gli elementi di un insieme più ristretto di R_T(1), che è il seguente:

P_T(1) := \{n_2 a + n_3 b \mid a \in \{2, \ldots, n_3\}, b \in \{2, \ldots, n_2\}\} \tag{6}

dove la P sta per “Precedente”, per indicare che si stanno caratterizzando gli spazi che precedono un trattino.

Per il Teorema T.5 (Differenza tra il valore di un trattino di una riga e quelli dei precedenti trattini delle altre righe, in un tratteggio lineare di terzo ordine), nell’ipotesi che l’x-esimo trattino di T, che per brevità chiameremo t, appartenga alla prima riga, la variabile a presente nella definizione di R_T(1), ossia nella (5), rappresenta la differenza tra il valore di t e quello del precedente trattino della riga 3, mentre la b rappresenta la differenza tra il valore di t e quello del precedente trattino della riga 2. Quindi, per esprimere il fatto che t segua uno spazio, sia a che b devono essere maggiori di 1: si ottiene così l’equazione (6).
Prendiamo ad esempio il tratteggio T = (2, 3, 5), riportato fino alla colonna 10, con i trattini numerati e gli spazi evidenziati:

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2   1   3   5   7   9
3     2     6     8  
5         4         10

La condizione che ci dice quando l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga, sostituendo le componenti, è la seguente:

\mathrm{t}_T(x) \in T[1] \Leftrightarrow (3 + 5) \cdot 2 x \mathrm{\ mod\ } N \in R_T(1)

dove

N = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 31

e

R_T(1) = \{3a + 5b \mid a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}, b \in \{1, 2, 3\}\} = \newline \{8, 11, 14, 17, 20, 13, 16, 19, 22, 25, 18, 21, 24, 27, 30\}

Ossia, riassumendo:

\mathrm{t}_T(x) \in T[1] \Leftrightarrow 16x \mathrm{\ mod\ } 31 \in R_T(1)

dove

R_T(1) = \{8, 11, 14, 17, 20, 13, 16, 19, 22, 25, 18, 21, 24, 27, 30\}

L’insieme P_T(1), invece, è il seguente:

P_T(1) = \{n_2 a + n_3 b \mid a \in \{2, \ldots, n_3\}, b \in \{2, \ldots, n_2\}\} = \newline \{3a + 5b \mid a \in \{2, 3, 4, 5\}, b \in \{2, 3\}\} = \newline \{16, 19, 22, 25, 21, 24, 27, 30\}

Per ogni x-esimo trattino, verifichiamo se 16x \mathrm{\ mod\ } 31 appartiene a R_T(1) e a P_T(1):

x 16x \mathrm{\ mod\ } 31 È in R_T(1)? È in P_T(1)?
1 16
2 1 No No
3 17 No
4 2 No No
5 18 No
6 3 No No
7 19
8 4 No No
9 20 No
10 5 No No

Quindi:

  • I trattini 1, 3, 5, 7 e 9 corrispondono alla condizione relativa a R_T(1), per cui si trovano nella prima riga;
  • I trattini 1 e 7 corrispondono alla condizione relativa a P_T(1), per cui si trovano nella prima riga e seguono uno spazio.

La formula per calcolare \mathrm{t\_valore}(x) per un tratteggio del terzo ordine (n_1, n_2, n_3) può essere ottenuta dal Teorema T.11 (Soluzione parziale dell’equazione caratteristica del downcast di t lineare, dal terzo ordine al primo) partendo con il calcolo di y, ponendo i = 1, j = 2 e k = 3, ed applicando infine la Proposizione T.1 (Funzioni t e t_valore lineari di primo ordine):

\mathrm{t\_valore}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot n_3 \cdot x + n_2 + n_3}{n_1 \cdot n_2 + n_1 \cdot n_3 + n_2 \cdot n_3} \biggr \rceil

Tuttavia, sopra il secondo ordine preferiamo svincolare la caratterizzazione degli spazi dalle formule di \mathrm{t\_valore}, perché si tratta di aspetti distinti che riteniamo debbano essere affrontati separatamente (ad esempio, bisognerebbe ricordare che la formula precedente vale sotto opportune ipotesi, che non sono però rilevanti per la caratterizzazione degli spazi). Quindi, indicando semplicemente con \mathrm{t\_valore}(x) il valore dell’x-esimo trattino, si ottiene la seguente caratterizzazione per gli spazi che precedono un trattino della prima riga, relativamente al terzo ordine:

Spazi di un tratteggio del terzo ordine che precedono un trattino della prima riga

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di terzo ordine T=(n_1, n_2, n_3) che precedono un trattino di componente n_1 sono dati dalla formula

\mathrm{t\_valore}_T(x) - 1

dove x è tale che

(n_2 + n_3) \cdot n_1 x \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) \in P_T(1)

e l’insieme P_T(1) è definito come segue:

P_T(1) := \{n_2 a + n_3 b \mid a \in \{2, \ldots, n_3\}, b \in \{2, \ldots, n_2\}\}

Inoltre, analogamente a come è stato fatto per il secondo ordine, si può ottenere la seguente caratterizzazione per gli spazi che seguono un trattino della prima riga:

Spazi di un tratteggio del terzo ordine che seguono un trattino della prima riga

Tutti e soli gli spazi di un tratteggio di terzo ordine T=(n_1, n_2, n_3) che seguono un trattino di componente n_1 sono dati dalla formula

\mathrm{t\_valore}_T(x) + 1

dove x è tale che

(n_2 + n_3) \cdot n_1 x \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) \in S_T(1)

e l’insieme S_T(1) è definito come segue:

S_T(1) := \{n_2 a + n_3 b \mid a \in \{1, \ldots, n_3 - 2, n_3\}, b \in \{1, \ldots, n_2 - 2, n_2\}\}
Si può osservare che la differenza tra gli insiemi P_T(1) ed S_T(1) è che nel primo, rispetto a R_T(1), è stato escluso il 2 dagli insiemi usati all’interno della definizione di R_T(1), e 2 è il numero più piccolo di tali insiemi, mentre nel secondo sono stati esclusi n_3 - 1 ed n_2 - 1. Questo è analogo a quanto si può osservare nel secondo ordine, confrontando le formule (3) e (4) con la (2). Mentre la P di P_T(1) sta per “Precedente”, la S di S_T(1) sta per “Successivo”.

Omettiamo per brevità la dimostrazione della Proposizione L.C.6, essendo il procedimento per ottenerla perfettamente analogo a quello visto per il secondo ordine.

L’obiettivo, una volta trovate le caratterizzazioni per i primi ordini, è generalizzare, ossia determinarne una valida universalmente per un ordine qualsiasi. Questa parte dell’indagine è ancora in corso, ed è ancora in attesa di una soluzione.
Si può ipotizzare, prendendo in esame ad esempio la Proposizione L.C.5, che per l’ordine generico k sia necessario definire l’insieme P_T(1) sulla base di k-1 insiemi di partenza, da ciascuno dei quali è escluso l’elemento 1, ma questo resta da dimostrare.
Un’ulteriore osservazione è che nella condizione del secondo ordine appare l’espressione (n_1 + n_2), che, usando i polinomi simmetrici elementari, può essere riscritta come \sigma_1(n_1, n_2); nella condizione del terzo ordine appare invece l’espressione (n_1 \cdot n_2 + n_1 \cdot n_3 + n_2 \cdot n_3), che può essere riscritta come \sigma_2(n_1, n_2, n_3). Entrambe le espressioni, posto k \in \{2, 3\}, possono quindi essere riscritte con l’unica espressione \sigma_{k - 1}(n_1, \cdots, n_k): questo tipo di scrittura permette di generalizzare facilmente agli ordini superiori, ma anche in questo caso le ipotetiche formule devono ancora essere dimostrate.

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