12. Dai numeri interi ai numeri reali – seconda parte

Prerequisiti:

Nell’articolo Dai numeri interi ai numeri reali abbiamo visto come, mediante il teorema fondamentale del calcolo integrale, sia possibile trasformare la differenza tra i valori assunti da una funzione f definita su un insieme di numeri interi, ossia f(b) - f(a), nell’integrale di una sua estensione di classe C^1, \int_a^b \overset{\sim}{f}^{\prime}(t) dt.
Un’operazione analoga è possibile anche con una tecnica diversa, applicando alcune proprietà degli integrali, nel caso in cui l’estensione sia monotòna (cioè crescente oppure decrescente). Il vantaggio è sempre quello di poter usare gli strumenti dell’analisi reale per studiare funzioni originariamente definite su numeri interi. Applicheremo questa tecnica ad una funzione di tipo logaritmico, ottenendo un lemma che ci sarà utile nel seguito.

Maggiorazioni e minorazioni del valore assunto da una funzione definita su numeri interi, per mezzo di integrali di una sua estensione

Consideriamo una funzione f a valori reali, definita su un insieme I \subset \mathbb{Z}, ed una sua estensione \overset{\sim}{f} definita su \overline{I} = \bigcup_{n \in I} [n, n+1) (v. Definizione N.9).
Per ogni n \in I, possiamo osservare che il numero f(n), assumendo per semplicità che sia positivo, coincide con l’area di un rettangolo avente come base 1 e come altezza f(n), che a sua volta coincide con l’integrale della funzione costante f(n) da n ad n + 1:

f(n) = \int_n^{n+1} f(n) dt \tag{1}

Un esempio è mostrato nella seguente Figura:

Figura 1: un valore assunto da una funzione definita su numeri interi, rappresentato in forma di integrale

Abbiamo ottenuto l’uguaglianza (1) utilizzando il concetto intuitivo di area, tuttavia la formula è facilmente dimostrabile per via formale.

Ricordando che la primitiva di una funzione costante c è la funzione c t nella variabile t, per c := f(n) abbiamo che

\int_n^{n+1} f(n) dt = [f(n) t]_n^{n+1} = f(n) (n + 1) - f(n) n = f(n)

che è appunto la (1).

Ma, per definizione di estensione, f(n) = \overset{\sim}{f}(n), per cui la (1) si può riscrivere nel modo seguente:

f(n) = \int_n^{n+1} \overset{\sim}{f}(n) dt \tag{2}

Se inoltre \overset{\sim}{f} è crescente, per cui \overset{\sim}{f}(n) \leq \overset{\sim}{f}(t) per ogni t \in [n, n + 1], si può maggiorare l’integrale della (2) come segue:

f(n) = \int_n^{n+1} \overset{\sim}{f}(n) dt \leq \int_n^{n+1} \overset{\sim}{f}(t) dt \tag{3}

Questo tipo di maggiorazione è molto utilizzata in teoria dei numeri, come avremo modo di vedere.

La Figura 2 mostra graficamente la disuguaglianza (3), nel caso di funzioni a valori non negativi (nel caso di funzioni a valori negativi, la (3) vale comunque, ma il discorso diventa intuitivamente più complicato per via delle aree negative):

Figura 2: un valore assunto da una funzione definita su numeri interi, maggiorato dall’integrale di un’estensione crescente

Se invece l’estensione è decrescente, si può procedere in modo analogo, considerando come intervallo di integrazione [n - 1, n] al posto di [n, n + 1]. In questo caso, l’estensione \overset{\sim}{f} deve essere definita su \underline{I} := \bigcup_{n \in I} (n - 1, n] invece che su \overline{I} (per essere rigorosi bisognerebbe introdurre una nuova definizione di estensione, identica alla Definizione N.9 salvo che per l’uso di \underline{I} al posto di \overline{I}). Si ottiene così la seguente disuguaglianza, illustrata in Figura 3:

f(n) \leq \int_{n-1}^n \overset{\sim}{f}(t) dt
Figura 3: un valore assunto da una funzione definita su numeri interi, maggiorato dall’integrale di un’estensione decrescente

In modo analogo si può minorare f(n), integrando dalla parte opposta, ossia a sinistra per estensioni crescenti e a destra per estensioni decrescenti. Si ottiene così la seguente Proprietà:

Maggiorazioni e minorazioni del valore assunto da una funzione definita su numeri interi, per mezzo di integrali di un’estensione

Sia f: I \rightarrow \mathbb{R} una funzione definita su un insieme I \subset \mathbb{Z}.
Sia \overset{\sim}{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R} un’estensione di f, dove \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n + 1). Allora:

  • Se \overset{\sim}{f} è crescente, allora
    f(n) \leq \int_n^{n+1} \overset{\sim}{f}(t) dt \tag{4}
  • Se \overset{\sim}{f} è decrescente, allora
    f(n) \geq \int_n^{n+1} \overset{\sim}{f}(t) dt \tag{5}

Sia \underset{\sim}{f}: \underline{I} \rightarrow \mathbb{R} un’estensione di f, dove \underline{I} := \bigcup_{n \in I} (n - 1, n]. Allora:

  • Se \underset{\sim}{f} è crescente, allora
    \int_{n-1}^n \underset{\sim}{f}(t) dt \leq f(n) \tag{6}
  • Se \underset{\sim}{f} è decrescente, allora
    \int_{n-1}^n \underset{\sim}{f}(t) dt \geq f(n) \tag{7}

Applicazione alla funzione \log \left(\frac{x}{n} \right) nella variabile n

Dato un intero positivo fissato x, applichiamo la Proprietà N.4 alla funzione g_x: \{1, \ldots, x\} \rightarrow \mathbb{R} tale che, per ogni n \in \{1, \ldots, x\}:

g_x(n) := \log \left(\frac{x}{n} \right)

Per applicare la Proprietà 1, scegliamo l’estensione più “naturale” di g_x, ossia la funzione \overset{\sim}{g_x}: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} tale che, per ogni t \in (0, +\infty):

\overset{\sim}{g_x} := \log \left(\frac{x}{t} \right)

Per capire meglio di che tipo di funzione su tratta, vediamo il grafico per x=10:

Figura 4: grafico della funzione log(10/t)

Applicando la Proprietà N.4, dopo aver fatto opportune considerazioni sulla monotonia e sulla integrabilità di questa funzione su \overline{I} = \overline{\{1, \ldots, x\}} = [1, x + 1) e su \underline{I} = \underline{\{1, \ldots, x\}} = (0, x], si può concludere che:

  • per ogni n \in \{1, \ldots, x\}, \log \left(\frac{x}{n} \right) \geq \int_n^{n+1} g_x(t) dt = \int_n^{n+1} \log \left(\frac{x}{t} \right) dt (per la (5))
  • per ogni n \in \{2, \ldots, x\}, \log \left(\frac{x}{n} \right) \leq \int_{n-1}^{n} g_x(t) dt = \int_{n-1}^{n} \log \left(\frac{x}{t} \right) dt (per la (7))

Quali considerazioni sono necessarie per poter applicare la Proprietà N.4 alla funzione g_x?

Per applicare la Proprietà N.4 alla funzione g_x, bisogna fare alcune considerazioni:

  • L’insieme di definizione dell’estensione \overset{\sim}{g_x}, (0, +\infty), include sia \overline{I} = [1, x + 1) che \underline{I} = (0, x]
  • Sia su \overline{I} che su \underline{I}, la funzione \overset{\sim}{g_x} è decrescente. Infatti, se t varia tra 1 e x + 1, la funzione \frac{x}{t} decresce da x a \frac{x}{x + 1} \lt 1, e di conseguenza anche \overset{\sim}{g_x}(t) = \log \left(\frac{x}{t}\right) descresce, da \log(x) a \log \left( \frac{x}{x + 1} \right) \lt 0. Analogamente, se t varia tra 0 (escluso) ed x, \frac{x}{t} decresce da +\infty (escluso) a 1, ed anche \overset{\sim}{g_x}(t) = \log\left(\frac{x}{t}\right) decresce da +\infty (escluso) a \log(1) = 0.
  • Essendo \overset{\sim}{g_x} decrescente sia in \overline{I} che in \underline{I}, si potrebbero applicare le formule (5) e (7); tuttavia, mentre \overset{\sim}{g_x} è integrabile in tutto \overline{I}, non si può dire la stessa cosa per \underline{I}, perché per t \to 0, \overset{\sim}{g_x} \to +\infty, per cui \overset{\sim}{g_x} non è integrabile in (0, 1] (è integrabile in senso improprio, ma questo è un discorso che si dovrebbe approfondire a parte), per cui la (7) non può essere applicata per n = 1. Tuttavia non ci sono problemi ad applicare la (7) per n \in \{2, \ldots, x\}, posto che sia x \geq 2, cosa che possiamo supporre senza che le nostre conclusioni ne siano influenzate.

Sviluppiamo la seconda disuguaglianza:

\log \left(\frac{x}{n} \right) \leq \int_{n-1}^{n} \log \left(\frac{x}{t} \right) dt \tag{8}

Ricordando che la (8) vale per ogni n \in \{2, \ldots, x\}, possiamo sommare membro a membro, ottenendo:

\sum_{n=2}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) \leq \sum_{n=2}^x \int_{n-1}^{n} \log \left(\frac{x}{t} \right) dt = \int_1^x \log \left(\frac{x}{t} \right) dt \tag{9}

L’aver introdotto gli integrali è stato fondamentale, in quanto possiamo sviluppare l’ultima espressione mediante la tecnica della sostituzione di variabile, ponendo u := \frac{x}{t}, ottenendo:

\int_1^x \log \left(\frac{x}{t} \right) dt = x \int_1^x \frac{\log u}{u^2} du \tag{10}

Ponendo u := \frac{x}{t}, si ha che t = \frac{x}{u} e quindi dt = -\frac{x}{u^2} du. Inoltre, se t varia tra 1 ed x, u varia, all’opposto, tra \frac{x}{1} = x ed \frac{x}{x} = 1 (per ottenere questo comportamento simmetrico, è stato essenziale sommare gli integrali, nel passaggio dalla (8) alla (9)). Sostituendo nell’integrale della (9), si ha che

\begin{aligned}\int_1^x \log \left(\frac{x}{t} \right) dt & = \\ - \int_x^1 \log(u) \frac{x}{u^2} du & = \\ \int_1^x \log(u) \frac{x}{u^2} du & = \\ x \int_1^x \frac{\log u}{u^2} du \end{aligned}

A questo punto si può osservare che l’integrale sulla destra è una costante:

\int_1^x \frac{\log u}{u^2} du = A \in \mathbb{R} \tag{11}

Osservando che la funzione integranda è positiva e passando al limite, possiamo scrivere:

0 \leq \int_1^x \frac{\log u}{u^2} du \leq \lim_{y \to +\infty} \int_1^y \frac{\log u}{u^2} du = \int_1^{+\infty} \frac{\log u}{u^2} du \tag{12}

Per il criterio dell’integrale, essendo la funzione integranda positiva decrescente, l’integrale converge se e solo se la serie associata converge. Esaminiamo quindi la serie associata:

\sum_1^{+\infty} \frac{\log n}{n^2}

Si tratta di una serie armonica generalizzata di tipo II, che converge, essendo l’esponente di n al denominatore maggiore di 1. Quindi, per il criterio dell’integrale, anche l’integrale \int_1^{+\infty} \frac{\log u}{u^2} du converge, ossia è pari ad una costante reale. Allora, per la (12), anche l’integrale di partenza \int_1^x \frac{\log u}{u^2} du, a maggior ragione, è una costante reale.

Unendo le formule (9), (10) e (11), abbiamo che

\begin{aligned}\sum_{n=2}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) & \leq \\ \int_1^x \log \left(\frac{x}{t} \right) dt & = \\ x \int_1^x \frac{\log u}{u^2} du & = \\ xA\end{aligned}

E quindi, in particolare, considerando la somma \sum_{n=2}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) come una funzione di x, possiamo applicare la notazione O grande per dire che:

\sum_{n=2}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) = O(x)

A questo punto, non cambia nulla se aggiungiamo il termine che si ottiene per n = 1, che per questioni tecniche avevamo scartato, ottenendo la seguente funzione g: \mathbb{N}^{\star} \Rightarrow \mathbb{R}:

g(x) := \sum_{n=1}^x \log \left(\frac{x}{n} \right)

per la quale si ha che:

g(x) = \log x + \sum_{n=2}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) = \log x + O(x) = O(x)

dove l’ultimo passaggio tiene conto del fatto che \log x è asintoticamente più piccolo di x.

Abbiamo dimostrato quindi il seguente Lemma:

Funzione somma dei logaritmi di una frazione al variare del denominatore

\sum_{n=1}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) = O(x)

Questo risultato è comunque abbastanza evidente dal grafico della funzione g:

Figura 5: grafico della funzione somma, per n che va da 1 a x, di log(x/n)

Si può osservare che non cambierebbe nulla se, al posto della funzione \log, utilizzassimo la funzione \log^h, per qualsiasi esponente reale h \gt 0. Con gli stessi passaggi si può infatti dimostrare la seguente forma generalizzata del Lemma precedente:

\sum_{n=1}^x \log^h \left(\frac{x}{n} \right) = O(x)

che vale per ogni h \in \mathbb{R}, h \gt 0.

A questo punto è abbastanza naturale chiedersi da dove sia saltata fuori la funzione g: perché abbiamo studiato proprio questa funzione? Vedremo la risposta nel prossimo articolo.

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