Definizioni e simboli di teoria dei numeri

Elenchiamo nella seguente tabella i vari simboli che sono utilizzati nei nostri articoli di teoria dei numeri. Si assume che tutte le variabili rappresentino interi non negativi.

Simbolo Significato Restrizioni implicite Riferimento
p, q Numeri primi (per convenzione) Definizione di numero primo
p_i i-esimo numero primo: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, eccetera i \geq 1 Definizione di numero primo
q_i Numero estratto da un elenco di numeri primi non necessariamente ordinato o completo. Ad esempio se l’elenco è 5, 17, 3 si pone q_1 := 5, q_2 := 17 e q_3 := 3. i \geq 1 Definizione di numero primo
n, m, x, d Numeri interi (per convenzione)
t, u Numeri reali (per convenzione)
\binom{n}{k} Binomiale “n su k n > 0, 0 \leq k \leq n Coefficiente binomiale (Wikipedia)
b \mid a, b \nmid a b divide a“, “b non divide a b \neq 0 Definizione di numero primo, Definizione N.2
\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor Parte intera di \frac{a}{b} approssimata per difetto b \neq 0
\left \lceil \frac{a}{b} \right \rceil Parte intera di \frac{a}{b} approssimata per eccesso b \neq 0
a = o(b) a è un “o piccolo” di b a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4
a = O(b) a è un “O grande” di b a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4
a \asymp b a e b sono dello stesso ordine a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4
a \sim b a e b sono asintoticamente equivalenti a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.2, Definizione A.3, Definizione A.4
\theta^{\star}(x) \prod_{p \leq x} p x > 0 Il prodotto dei primi numeri primi: una maggiorazione, Definizione N.4
\psi^{\star}(x) \mathrm{MCM}(1, \dots, x) x > 0 Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi, Definizione N.5
\pi(x) Numero di numeri primi minori o uguali ad x x > 0 Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi, Definizione N.6
\theta(x) \log \theta^{\star}(x) x > 0 Il teorema di Chebyshev, Definizione N.7
\psi(x) \log \psi^{\star}(x) x > 0 Il teorema di Chebyshev, Definizione N.7
\overline{f}(x) Estensione semplice di f f: I \rightarrow \mathbb{R} è una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Conseguentemente, la funzione \overline{f} è definita sull’insieme \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1). Dai numeri interi ai numeri reali, Definizione N.8
\widetilde{f}(x) Estensione di f f: I \rightarrow \mathbb{R} è una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. La funzione \widetilde{f} è definita su \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1). Dai numeri interi ai numeri reali, Definizione N.9
\Lambda^{\star}(x) \begin{cases} p & \begin{aligned}\text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$} \\ \text{e qualche intero positivo $m$}\end{aligned} \\ 1 & \text{altrimenti}\end{cases} x > 0 Il fattoriale e la funzione \Lambda^{\star}, Definizione N.10
\Lambda(x) \begin{cases} \log p & \begin{aligned}\text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$} \\ \text{e qualche intero positivo $m$}\end{aligned} \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases} x > 0 Il Teorema di Chebyshev (versione forte), Definizione N.11
\mathrm{Li}(x) \int_2^n \frac{1}{\log x} dx x > 0 Il Teorema dei numeri primi, Definizione N.12
W(t) \frac{\overline{\psi}(t) - t}{t} t \geq 1 Le funzioni W e V, Definizione N.13
V(u) \frac{\overline{\psi}(e^u) - e^u}{e^u} u \geq 0 Le funzioni W e V, Definizione N.13
\alpha \limsup_{x \to +\infty} |V(\log x)| La media integrale e la funzione di errore assoluto R, Definizione N.14
\beta \limsup_{x \to +\infty} \frac{1}{\log x} \int_0^{\log x} |V(u)| du La media integrale e la funzione di errore assoluto R, Definizione N.14
R(t) \overline{\psi}(t) - t t \geq 1 La media integrale e la funzione di errore assoluto R, Definizione N.15
P_n Insieme dei divisori di n privi di quadrati che sono prodotto di un numero pari di fattori primi n \gt 0 La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.17
D_n Insieme dei divisori di n privi di quadrati che sono prodotto di un numero dispari di fattori primi n \gt 0 La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.17
Q_n Insieme dei divisori di n non privi di quadrati n \gt 0 La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.17
\mu(d) \begin{cases} 1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{pari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ -1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{dispari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ 0 & \text{se $d$ non è privo di quadrati} \end{cases} d \gt 0 La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.18
\sum_{d \mid n} \sum_{d \in \{\text{divisori di }n\}} n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.19
\prod_{d \mid n} \prod_{d \in \{\text{divisori di }n\}} n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.19
\sum_{ab = n} \sum_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab = n\}} n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.20
\prod_{ab = n} \prod_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab = n\}} n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.20
\sum_{ab \mid n} \sum_{(a,b) \in \{(a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \ \mid\ ab \mid n\} } n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.21
\prod_{ab \mid n} \prod_{((a,b) \in \{(a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \ \mid\ ab \mid n\} } n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.21
\sum_{n \leq x} \sum_{n = 1}^x n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.22
\prod_{n \leq x} \prod_{n = 1}^x n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.22
\sum_{ab \leq n} \sum_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab \leq n\}} n \gt 0 Alcune sommatorie importanti, Definizione N.23

Elenchiamo di seguito le definizioni esplicitamente introdotte nei nostri articoli di teoria dei numeri.

Definizione Enunciato
N.1: Numero primo Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che è divisibile solo per se stesso e per 1.
N.2: Divisibilità Un intero a è divisibile per un intero b, con b \neq 0, se a = b c per qualche intero c.
Se a è divisibile per b si scrive b \mid a (“b divide a“), altrimenti si scrive b \nmid a (“b non divide a“).
N.4: Prodotto dei primi fino a x Si definisce la funzione \theta^{\star}(x) := \prod_{p \leq x} p dove x è un intero positivo.
N.5: Minimo comune multiplo degli interi positivi fino ad x Si definisce la funzione \psi^{\star}(x) := \mathrm{MCM}(1, \dots, x), dove x > 0 è un intero.
N.6: Numero di primi minori o uguali ad x Si definisce la funzione \pi(x) := |\{\textrm{numeri primi} \leq x\}|, dove x è un intero positivo.
N.7: Funzioni logaritmiche \theta(x) e \psi(x) Si definiscono le funzioni \theta(x) := \log \theta^{\star} e \psi(x) := \log \psi^{\star}(x), dove x è un intero positivo.
N.8: Estensione semplice di una funzione definita sui numeri interi, ai numeri reali

Sia f: I \rightarrow \mathbb{R} una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Si definisce sull’insieme \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1) la funzione \overline{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R} tale che:

\forall n \in I\ \forall x \in [n, n+1): \overline{f}(x) := f(n)

Chiameremo la funzione \overline{f} “estensione semplice di f ai numeri reali”, o semplicemente “estensione semplice di f“.

N.9: Estensione di una funzione definita sui numeri interi, ai numeri reali

Sia f: I \rightarrow \mathbb{R} una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Sia \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1) ed \widetilde{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R} una funzione tale che:

\widetilde{f}_{\mid I} = f

Diremo che la funzione \widetilde{f} è una “estensione di f ai numeri reali”, o semplicemente una “estensione di f“.

N.10: Funzione \Lambda^{\star} \Lambda^{\star}(x) := \begin{cases} p & \text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$ e qualche intero positivo $m$} \\ 1 & \text{altrimenti}\end{cases}
N.11: Funzione \Lambda \Lambda(x) := \log \Lambda^{\star}(x) = \begin{cases} \log p & \text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$ e qualche intero positivo $m$} \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}
N.12: Funzione \mathrm{Li} (integrale logaritmico)

Si definisce la funzione \mathrm{Li}: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R}, detta integrale logaritmico, tale che per ogni x \in \mathbb{N}^{\star}:

\mathrm{Li}(x) := \int_2^n \frac{1}{\log x} dx
N.13: Funzioni W e V

Si definiscono le seguenti funzioni W: [1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} e V: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}:

\begin{aligned} W(t) := & \frac{\overline{\psi}(t) - t}{t} \\ V := & W \circ \mathrm{exp} \end{aligned}
N.14: Costanti \alpha e \beta

Data la variabile a valori interi x \gt 0, si definiscono le seguenti costanti:

\alpha := \limsup_{x \to +\infty} |V(\log x)|
\beta := \limsup_{x \to +\infty} \frac{1}{\log x} \int_0^{\log x} |V(u)| du
N.15: Funzione R

Si definisce la seguente funzione R: [1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}:

R(t) := \overline{\psi}(t) - t

per ogni t \in [1, +\infty).

N.16: Numero intero privo di quadrati Un numero intero si dice privo di quadrati (o libero da quadrati) se non è divisibile per nessun numero quadrato maggiore di 1.
N.17: Insiemi di divisori di un numero intero positivo

Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti insiemi:

  • P_n := \left\{ \begin{aligned} & \text{divisori di $n$ privi di quadrati} \\ & \text{che sono prodotto di un numero pari di fattori primi} \end{aligned} \right\}
  • D_n := \left\{ \begin{aligned} & \text{divisori di $n$ privi di quadrati} \\ & \text{che sono prodotto di un numero dispari di fattori primi} \end{aligned} \right\}
  • Q_n := \left\{ \text{divisori di $n$ non privi di quadrati} \right\}
N.18: Funzione di Möbius

Si definisce la funzione \mu: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \{-1, 1, 0\} tale che:

\mu(d) := \begin{cases} 1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{pari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ -1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{dispari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ 0 & \text{se $d$ non è privo di quadrati} \end{cases}

per ogni d \in \mathbb{N}^{\star}. La funzione \mu è chiamata funzione di Möbius.

N.19: Sommatorie estese ai divisori di un numero intero positivo

Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti simboli:

  • \sum_{d \mid n} := \sum_{d \in \{\text{divisori di }n\}}
  • \prod_{d \mid n} := \prod_{d \in \{\text{divisori di }n\}}

dove per “divisori” si intendono, come di consueto, i divisori positivi.

N.20: Sommatorie e produttorie estese a coppie di variabili con prodotto costante

Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti simboli:

  • \sum_{ab = n} := \sum_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab = n\}}
  • \prod_{ab = n} := \prod_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab = n\} }
N.21: Sommatorie e produttorie estese a coppie di variabili il cui prodotto divide una costante

Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti simboli:

  • \sum_{ab \mid n} := \sum_{(a,b) \in \{(a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \ \mid\ ab \mid n\} }
  • \prod_{ab \mid n} := \prod_{((a,b) \in \{(a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \ \mid\ ab \mid n\} }
N.22: Sommatorie e produttorie che partono da 1

Sia x un intero positivo. Si definiscono i seguenti simboli:

  • \sum_{n \leq x} := \sum_{n = 1}^x
  • \prod_{n \leq x} := \prod_{n = 1}^x