Elenchiamo nella seguente tabella i vari simboli che sono utilizzati nei nostri articoli di teoria dei numeri. Si assume che tutte le variabili rappresentino interi non negativi, salvo dove diversamente specificato.
| Simbolo | Significato | Restrizioni implicite | Riferimento |
|---|---|---|---|
| p, q | Numeri primi (per convenzione) | Definizione di numero primo | |
| p_i | Di solito indica l’i-esimo numero primo: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, eccetera; altre volte il significato è lo stesso di q_i (v. riga successiva). | i \geq 1 | Definizione di numero primo |
| q_i | Numero estratto da un elenco di numeri primi non necessariamente ordinato o completo. Ad esempio se l’elenco è 5, 17, 3 si pone q_1 := 5, q_2 := 17 e q_3 := 3. | i \geq 1 | Definizione di numero primo |
| n, m, x, d | Numeri interi (per convenzione) | ||
| t, u | Numeri reali (per convenzione) | ||
| \binom{n}{k} | Binomiale “n su k“ | n > 0, 0 \leq k \leq n | Coefficiente binomiale (Wikipedia) |
| b \mid a, b \nmid a | “b divide a“, “b non divide a“ | b \neq 0 | Definizione di numero primo, Definizione N.2 |
| \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor | Parte intera di \frac{a}{b} approssimata per difetto | b \neq 0 | |
| \left \lceil \frac{a}{b} \right \rceil | Parte intera di \frac{a}{b} approssimata per eccesso | b \neq 0 | |
| a = o(b) | a è un “o piccolo” di b | a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali | Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4 |
| a = O(b) | a è un “O grande” di b | a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali | Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4 |
| a \asymp b | a e b sono dello stesso ordine | a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali | Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4 |
| a \sim b | a e b sono asintoticamente equivalenti | a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali | Elementi di analisi asintotica: Definizione A.2, Definizione A.3, Definizione A.4 |
| \theta^{\star}(x) | \prod_{p \leq x} p | x > 0 | Il prodotto dei primi numeri primi: una maggiorazione, Definizione N.4 |
| \psi^{\star}(x) | \mathrm{MCM}(1, \dots, x) | x > 0 | Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi, Definizione N.5 |
| \pi(x) | Numero di numeri primi minori o uguali ad x | x > 0 | Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi, Definizione N.6 |
| \theta(x) | \log \theta^{\star}(x) | x > 0 | Il teorema di Chebyshev, Definizione N.7 |
| \psi(x) | \log \psi^{\star}(x) | x > 0 | Il teorema di Chebyshev, Definizione N.7 |
| \overline{f}(x) | Estensione semplice di f | f: I \rightarrow \mathbb{R} è una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Conseguentemente, la funzione \overline{f} è definita sull’insieme \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1). | Dai numeri interi ai numeri reali, Definizione N.8 |
| \widetilde{f}(x) | Estensione di f | f: I \rightarrow \mathbb{R} è una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. La funzione \widetilde{f} è definita su \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1). | Dai numeri interi ai numeri reali, Definizione N.9 |
| \Lambda^{\star}(x) | \begin{cases} p & \begin{aligned}\text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$} \\ \text{e qualche intero positivo $m$}\end{aligned} \\ 1 & \text{altrimenti}\end{cases} | x > 0 | Il fattoriale e la funzione \Lambda^{\star}, Definizione N.10 |
| \Lambda(x) | \begin{cases} \log p & \begin{aligned}\text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$} \\ \text{e qualche intero positivo $m$}\end{aligned} \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases} | x > 0 | Il Teorema di Chebyshev (versione forte), Definizione N.11 |
| \mathrm{Li}(x) | \int_2^n \frac{1}{\log x} dx | x > 0 | Il Teorema dei numeri primi, Definizione N.12 |
| W(t) | \frac{\overline{\psi}(t) - t}{t} | t \geq 1 | Le funzioni W e V, Definizione N.13 |
| V(u) | \frac{\overline{\psi}(e^u) - e^u}{e^u} | u \geq 0 | Le funzioni W e V, Definizione N.13 |
| \alpha | \limsup_{x \to +\infty} |V(\log x)| | La media integrale e la funzione di errore assoluto R, Definizione N.14 | |
| \beta | \limsup_{x \to +\infty} \frac{1}{\log x} \int_0^{\log x} |V(u)| du | La media integrale e la funzione di errore assoluto R, Definizione N.14 | |
| R(t) | \overline{\psi}(t) - t | t \geq 1 | La media integrale e la funzione di errore assoluto R, Definizione N.15 |
| P_n | Insieme dei divisori di n privi di quadrati che sono prodotto di un numero pari di fattori primi | n \gt 0 | La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.17 |
| D_n | Insieme dei divisori di n privi di quadrati che sono prodotto di un numero dispari di fattori primi | n \gt 0 | La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.17 |
| Q_n | Insieme dei divisori di n non privi di quadrati | n \gt 0 | La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.17 |
| \mu(d) | \begin{cases} 1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{pari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ -1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{dispari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ 0 & \text{se $d$ non è privo di quadrati} \end{cases} | d \gt 0 | La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ, Definizione N.18 |
| \sum_{d \mid n} | \sum_{d \in \{\text{divisori di }n\}} | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.19 |
| \prod_{d \mid n} | \prod_{d \in \{\text{divisori di }n\}} | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.19 |
| \sum_{ab = n} | \sum_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab = n\}} | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.20 |
| \prod_{ab = n} | \prod_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab = n\}} | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.20 |
| \sum_{ab \mid n} | \sum_{(a,b) \in \{(a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \ \mid\ ab \mid n\} } | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.21 |
| \prod_{ab \mid n} | \prod_{((a,b) \in \{(a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \ \mid\ ab \mid n\} } | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.21 |
| \sum_{n \leq x} | \sum_{n = 1}^x | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.22 |
| \prod_{n \leq x} | \prod_{n = 1}^x | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.22 |
| \sum_{ab \leq n} | \sum_{(a,b) \in \{ (a,b) \in \mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star} \mid ab \leq n\}} | n \gt 0 | Alcune sommatorie importanti, Definizione N.23 |
| d(n) | numero di divisori positivi di n | n \gt 0 | Funzioni aritmetiche: definizioni e alcune proprietà, Definizione N.24 |
| \omega(n) | numero di fattori primi distinti di n | n \gt 0 | Funzioni aritmetiche: definizioni e alcune proprietà, Definizione N.25 |
| \phi(n) | numero di interi positivi coprimi con n e minori di esso | n \gt 0 | Funzioni aritmetiche: definizioni e alcune proprietà, Definizione N.26 |
Elenchiamo di seguito le definizioni esplicitamente introdotte nei nostri articoli di teoria dei numeri.
| Definizione | Enunciato |
|---|---|
| N.1: Numero primo | Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che è divisibile solo per se stesso e per 1. |
| N.2: Divisibilità | Un intero a è divisibile per un intero b, con b \neq 0, se a = b c per qualche intero c. Se a è divisibile per b si scrive b \mid a (“b divide a“), altrimenti si scrive b \nmid a (“b non divide a“). |
| N.4: Prodotto dei primi fino a x | Si definisce la funzione \theta^{\star}(x) := \prod_{p \leq x} p dove x è un intero positivo. |
| N.5: Minimo comune multiplo degli interi positivi fino ad x | Si definisce la funzione \psi^{\star}(x) := \mathrm{MCM}(1, \dots, x), dove x > 0 è un intero. |
| N.6: Numero di primi minori o uguali ad x | Si definisce la funzione \pi(x) := |\{\textrm{numeri primi} \leq x\}|, dove x è un intero positivo. |
| N.7: Funzioni logaritmiche \theta(x) e \psi(x) | Si definiscono le funzioni \theta(x) := \log \theta^{\star} e \psi(x) := \log \psi^{\star}(x), dove x è un intero positivo. |
| N.8: Estensione semplice di una funzione definita sui numeri interi, ai numeri reali |
Sia f: I \rightarrow \mathbb{R} una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Si definisce sull’insieme \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1) la funzione \overline{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R} tale che: \forall n \in I\ \forall x \in [n, n+1): \overline{f}(x) := f(n)Chiameremo la funzione \overline{f} “estensione semplice di f ai numeri reali”, o semplicemente “estensione semplice di f“. |
| N.9: Estensione di una funzione definita sui numeri interi, ai numeri reali |
Sia f: I \rightarrow \mathbb{R} una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Sia \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1) ed \widetilde{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R} una funzione tale che: \widetilde{f}_{\mid I} = fDiremo che la funzione \widetilde{f} è una “estensione di f ai numeri reali”, o semplicemente una “estensione di f“. |
| N.10: Funzione \Lambda^{\star} | \Lambda^{\star}(x) := \begin{cases} p & \text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$ e qualche intero positivo $m$} \\ 1 & \text{altrimenti}\end{cases} |
| N.11: Funzione \Lambda | \Lambda(x) := \log \Lambda^{\star}(x) = \begin{cases} \log p & \text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$ e qualche intero positivo $m$} \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases} |
| N.12: Funzione \mathrm{Li} (integrale logaritmico) |
Si definisce la funzione \mathrm{Li}: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R}, detta integrale logaritmico, tale che per ogni x \in \mathbb{N}^{\star}: \mathrm{Li}(x) := \int_2^n \frac{1}{\log x} dx
|
| N.13: Funzioni W e V |
Si definiscono le seguenti funzioni W: [1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} e V: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}: \begin{aligned} W(t) := & \frac{\overline{\psi}(t) - t}{t} \\ V := & W \circ \mathrm{exp} \end{aligned}
|
| N.14: Costanti \alpha e \beta |
Data la variabile a valori interi x \gt 0, si definiscono le seguenti costanti: \alpha := \limsup_{x \to +\infty} |V(\log x)|
\beta := \limsup_{x \to +\infty} \frac{1}{\log x} \int_0^{\log x} |V(u)| du
|
| N.15: Funzione R |
Si definisce la seguente funzione R: [1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}: R(t) := \overline{\psi}(t) - t
per ogni t \in [1, +\infty). |
| N.16: Numero intero privo di quadrati | Un numero intero si dice privo di quadrati (o libero da quadrati) se non è divisibile per nessun numero quadrato maggiore di 1. |
| N.17: Insiemi di divisori di un numero intero positivo |
Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti insiemi:
|
| N.18: Funzione di Möbius |
Si definisce la funzione \mu: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \{-1, 1, 0\} tale che: \mu(d) := \begin{cases} 1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{pari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ -1 & \begin{aligned} & \text{se $d$ è privo di quadrati} \\ & \text{ed è il prodotto di un numero} \\ & \text{dispari di fattori primi} \end{aligned} \\ \\ 0 & \text{se $d$ non è privo di quadrati} \end{cases}
per ogni d \in \mathbb{N}^{\star}. La funzione \mu è chiamata funzione di Möbius. |
| N.19: Sommatorie estese ai divisori di un numero intero positivo |
Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti simboli:
dove per “divisori” si intendono, come di consueto, i divisori positivi. |
| N.20: Sommatorie e produttorie estese a coppie di variabili con prodotto costante |
Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti simboli:
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| N.21: Sommatorie e produttorie estese a coppie di variabili il cui prodotto divide una costante |
Sia n \in \mathbb{N}^{\star}. Si definiscono i seguenti simboli:
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| N.22: Sommatorie e produttorie che partono da 1 |
Sia x un intero positivo. Si definiscono i seguenti simboli:
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| N.23: Costanti \alpha^{\prime} e \beta^{\prime} |
Data la variabile \xi che può assumere valori nell’intervallo reale [1, +\infty), si definiscono le seguenti costanti: \alpha^{\prime} := \limsup_{\xi \to +\infty} |V(\log \xi)|
\beta^{\prime} := \limsup_{\xi \to +\infty} \frac{1}{\log \xi} \int_0^{\log \xi} |V(u)|\ du
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| N.24: Funzione d |
Si definisce la funzione d: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} tale che: d(n) := \textrm{numero di divisori positivi di $n$}
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| N.25: Funzione \omega |
Si definisce la funzione \omega: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N} tale che: \omega(n) := \textrm{numero di fattori primi distinti di $n$}
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| N.26: Funzione \phi di Eulero |
Si definisce la funzione \phi: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} tale che: \phi(n) := \textrm{numero di interi positivi coprimi con $n$ e minori di esso}
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| N.27: Funzione moltiplicativa |
Una funzione f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R} si definisce moltiplicativa quando soddisfa contemporaneamente le seguenti condizioni:
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| N.28: Funzione completamente-moltiplicativa |
Una funzione f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R} si definisce completamente moltiplicativa quando soddisfa le seguenti condizioni:
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