Enunciati di teoria dei numeri

Segue una lista degli enunciati presenti all’interno dei nostri articoli di teoria dei numeri.

Titolo e riferimento	Enunciato
Teorema N.1: Teorema fondamentale dell’aritmetica (non dimostrato)	Ogni numero intero maggiore di 1 si può scrivere come prodotto di numeri primi. Inoltre tale scrittura, chiamata fattorizzazione o scomposizione in fattori primi, è unica a meno dell’ordine dei fattori.
Proprietà N.1A: Nei numeri naturali, un divisore è minore o uguale di un dividendo positivo	Siano $a$ e $b$ due numeri naturali, con $a \gt 0$ . Se $b \mid a$ , allora $b \leq a$ .
Proprietà N.1B: Numero primo, proprietà caratteristica o definizione alternativa	Un numero primo è un numero intero $p > 1$ tale che, se $p \mid bc$ , allora $p \mid b$ oppure $p \mid c$ , per qualunque coppia di interi $b$ e $c$ . In altri termini, $p$ non può dividere un prodotto di interi $bc$ senza dividere almeno uno dei due fattori.
Teorema N.2: Infinità dei numeri primi	I numeri primi sono infiniti.
Proprietà N.1: Maggiorazione dei binomiali	Per ogni $n > 0$ e per ogni $m$ : $\binom{n}{m} \leq 2^{n-1}$
Proprietà N.2: Minorazione dei binomiali centrali del Triangolo di Tartaglia	Per ogni $n \geq 2$ : $\binom{n}{\frac{n}{2}} \geq \frac{2^n}{n}$ se $n$ è pari, e $\binom{n}{\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil} = \binom{n}{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \geq \frac{2^n}{n}$ se $n$ è dispari.
Proprietà N.3: Minorazione del binomiale centrale del triangolo di Tartaglia, $n$ pari	Per ogni $n \geq 2$ pari: $\binom{n}{\frac{n}{2}} \geq \sqrt{2^{n}}$
Proposizione N.1: Maggiorazione del prodotto dei numeri primi fino ad $x$	Per ogni $x > 0$ : $\theta^{\star}(x) = \prod_{1 \leq p \leq x} p \leq 2^{2(x-1)}$
Teorema N.3: Postulato di Bertrand	Per ogni $n > 0$ , esiste un numero primo compreso tra $n + 1$ e $2n$ .
Lemma N.1: Fattorizzazione del binomiale $\binom{2n}{n}$	Nella fattorizzazione del binomiale $\binom{2n}{n}$ , per $n > 0$ , un numero primo $p$ non può avere un esponente maggiore di $\log_p 2n$ .
Proposizione N.2: Calcolo di $\psi^{\star}(x)$	Per ogni intero $x > 0$ : $\psi^{\star}(x) = \prod_{p \leq x} p^{\left \lfloor \log_p x \right \rfloor}$
Corollario della Proposizione N.2: Maggiorazione di $\psi^{\star}(x)$ mediante $\pi(x)$	Per ogni intero $x > 0$ : $\psi^{\star}(x) \leq x^{\pi(x)}$
Proposizione N.3: Minorazione di $\psi^{\star}(x)$	Per ogni intero $x > 0$ : $\psi^{\star}(x) \geq \sqrt[3]{2^x}$
Lemma N.2: Riformulazione di $\psi^{\star}(x)$ (“calcolo per righe”)	Per ogni intero $x > 0$ : $\psi^{\star}(x) = \left(\prod_{p \leq x} p\right) \cdot \left(\prod_{p^2 \leq x} p\right) \cdot \dots \cdot \left(\prod_{p^R \leq x} p\right)$
Proposizione N.4: Collegamento tra le funzioni $\psi^{\star}$ e $\theta^{\star}$	Per ogni intero $x > 0$ : $\psi^{\star}(x) = \theta^{\star}(x) \cdot \theta^{\star}(\sqrt{x}) \cdot \dots \cdot \theta^{\star}(\sqrt[R]{x})$ , dove $R := \left \lfloor \log_2 x \right \rfloor$ .
Lemma N.3: Minorazione di $\theta^{\star}(x)$ mediante $\pi(x)$	Per ogni numero reale $\delta \geq 0$ e per ogni $x \gt 1$ : $\theta^{\star}(x) \gt \left(x^{\delta}\right)^{\pi(x) - x^{\delta}}$ .
Teorema N.4: Equivalenza asintotica e ordine di grandezza di $\theta(x)$ e $\psi(x)$	Le funzioni $\theta(x)$ e $\psi(x)$ sono asintoticamente equivalenti ed hanno ordine $x$ : $\theta(x) \sim \psi(x)$ , $\theta(x) \asymp x \asymp \psi(x)$ .
Teorema N.5: Equivalenza asintotica tra $\pi(x)$ e $\frac{\theta(x)}{\log x}$	$\pi(x) \sim \frac{\theta(x)}{\log x}$
Corollario del Teorema N.5: Equivalenza asintotica tra $\pi(x)$ e $\frac{\psi(x)}{\log x}$	$\pi(x) \sim \frac{\psi(x)}{\log x}$
Corollario II del Teorema N.5: Teorema di Chebyshev: ordine di grandezza di $\pi(x)$	$\pi(x) \asymp \frac{x}{\log x}$
Corollario II del Teorema N.5: Teorema di Chebyshev: ordine di grandezza di $\pi(x)$	$\pi(x) \asymp \frac{x}{\log x}$
Lemma N.4: Lemma dell’area dell’istogramma	Siano $c_1, c_2, \dots, c_n$ dei numeri reali non negativi, con $n > 0$ . Sia $f: \{1, 2, ..., n\} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione. Allora l’area $A$ dell’istogramma composto da $n$ rettangoli, ciascuno avente base $c_i$ ed altezza $f(i)$ , data da $A = c_1 f(1) + c_2 f(2) + \ldots + c_n f(n) = \sum_{i=1}^{n} c_i f(i)$ , si può calcolare anche con la formula $\begin{aligned}A &= C_n f(n) + C_{n-1} (f(n-1) - f(n)) + \ldots + C_1 (f(1) - f(2)) \\&= \sum_{k = 1}^{n-1} C_k (f(k) - f(k + 1)) + C_n f(n)\end{aligned}$ dove $C_k := c_1 + c_2 + \ldots + c_k = \sum_{i=1}^{k} c_i$ .
Lemma N.5: Lemma dell’area dell’istogramma, seconda forma	Siano $c_1, c_2, \dots, c_n$ dei numeri reali non negativi, con $n > 0$ . Sia $f: \{1, 2, ..., n\} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione, e sia $\widetilde{f}$ una sua estensione di classe $C^1$ . Allora l’area $A$ dell’istogramma composto da $n$ rettangoli, ciascuno avente base $c_i$ ed altezza $f(i)$ , data da $A = c_1 f(1) + c_2 f(2) + \ldots + c_n f(n) = \sum_{i=1}^{n} c_i f(i)$ , si può calcolare anche con la formula $C(n) f(n) - \int_1^n \overline{C}(k) \widetilde{f}'(t) dt$ dove $C: \{1, 2, ..., n\} \rightarrow \mathbb{N}$ è la funzione definita da $C(k) := c_1 + c_2 + \ldots + c_k = \sum_{i=1}^{k} c_i$ .
Teorema N.6: Approssimazione della somma degli inversi dei primi numeri interi	Per ogni intero $n \gt 0$ : $\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} \approx \log n + \gamma$ dove la base del logaritmo è il numero di Nepero $e$ , mentre $\gamma \approx 0,58$ è la costante di Eulero. In particolare: $\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} = \log n + \gamma + O\left(\frac{1}{n}\right)$ .
Proprietà N.4: Maggiorazioni e minorazioni del valore assunto da una funzione definita su numeri interi, per mezzo di integrali di un’estensione	Sia $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione definita su un insieme $I \subset \mathbb{Z}$ . Sia $\overset{\sim}{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R}$ un’estensione di $f$ , dove $\overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n + 1)$ . Allora: Se $\overset{\sim}{f}$ è crescente, allora $f(n) \leq \int_n^{n+1} \overset{\sim}{f}(t) dt$ Se $\overset{\sim}{f}$ è decrescente, allora $f(n) \geq \int_n^{n+1} \overset{\sim}{f}(t) dt$ Sia $\underset{\sim}{f}: \underline{I} \rightarrow \mathbb{R}$ un’estensione di $f$ , dove $\underline{I} := \bigcup_{n \in I} (n - 1, n]$ . Allora: Se $\underset{\sim}{f}$ è crescente, allora $\int_{n-1}^n \underset{\sim}{f}(t) dt \leq f(n)$ Se $\underset{\sim}{f}$ è decrescente, allora $\int_{n-1}^n \underset{\sim}{f}(t) dt \geq f(n)$
Lemma N.6: Funzione somma dei logaritmi di una frazione al variare del denominatore	$\sum_{n=1}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) = O(x)$
Lemma N.6A: Funzione somma dei logaritmi di una frazione al variare del denominatore, forma generalizzata	Sia $h \in \mathbb{R}$ , $h \gt 0$ . Allora: $\sum_{n=1}^x \log \left(\frac{x}{n} \right) = O(x)$
Proposizione N.5: Ordine di grandezza del fattoriale	$x! = x^x \cdot e^{O(x)}$
Proprietà N.5: Numero di multipli di un dato numero, compresi tra 1 ed $x$	Siano $n$ ed $x$ due interi positivi. Il numero di multipli di $n$ compresi nell’intervallo $[1, x]$ è $\left \lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor$ .
Proposizione N.6: Il fattoriale e la funzione $\Lambda^{\star}$	Per ogni intero $x \gt 0$ : $x! = \prod_{r = 1}^x \left( \Lambda^{\star}(r) \right)^{\left \lfloor \frac{x}{r} \right \rfloor}$
Proprietà N.6: Connessione tra $\Lambda^{\star}$ e $\psi^{\star}$	Per ogni intero $x \gt 0$ : $\prod_{r = 1}^x \Lambda^{\star}(r) = \psi^{\star}(x)$
Proposizione N.7: Ordine di grandezza della funzione simil-fattoriale basata su $\Lambda^{\star}$	$\prod_{r = 1}^x \left( \Lambda^{\star}(r) \right)^{\frac{x}{r}} = x^x \cdot e^{O(x)}$
Corollario della Proposizione N.7: Ordine di grandezza della funzione simil-fattoriale basata su $\Lambda^{\star}$	$\sum_{r = 1}^x \frac{\Lambda(r)}{r} = \log x + O(1)$
Teorema N.7: Limite inferiore e limite superiore della funzione $\frac{\overline{\psi}(t)}{t}$	$\begin{cases} \lim \inf \frac{\overline{\psi}(t)}{t} \leq 1 \\ \lim \sup \frac{\overline{\psi}(t)}{t} \geq 1 \end{cases}$
Corollario del Teorema N.7: Limite inferiore e limite superiore della funzione $\overline{\pi}(t) / \frac{t}{\log t}$	$\begin{cases} \lim \inf \overline{\pi}(t) / \frac{t}{\log t} \leq 1 \\ \lim \sup \overline{\pi}(t) / \frac{t}{\log t} \geq 1 \end{cases}$
Corollario II del Teorema N.7: Teorema di Chebyshev, versione forte	Se la funzione $\pi(x) / \frac{x}{\log x}$ tende a un limite, questo limite è 1.
Teorema N.8: Teorema dei numeri primi	$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$
Teorema N.9: Teorema dei numeri primi, versione forte	$\pi(x) \sim \mathrm{Li}(x)$
Proposizione N.7A: Le funzioni $W$ e $V$ sono limitate	Le funzioni $W$ e $V$ sono limitate.
Lemma N.7: Condizione sufficiente per la validità del Teorema dei Numeri Primi	Una condizione sufficiente per la validità del Teorema dei Numeri Primi è la seguente: $\limsup_{x \to +\infty} \|V(\log x)\| = 0$ dove la funzione $V$ è definita nella Definizione N.13.
Corollario I della Proposizione N.7A: $\alpha$ e $\beta$ sono reali	Le costanti $\alpha$ e $\beta$ definite dalla Definizione N.14 sono numeri reali.
Lemma N.8	Fissato un numero intero $x \gt 0$ , le seguenti disuguaglianze sono equivalenti: $\|V(\log x)\| \leq \frac{1}{\log x} \int_0^{\log x} \|V(u)\| du$ $\log x \|R(x)\| \leq \int_1^x \left\|R\left(\frac{x}{t}\right)\right\| dt$
Teorema N.10: Teorema di Selberg	$R(x) \log x + \sum_{n = 1}^x \Lambda(n) R\left(\frac{x}{n}\right) = O(x)$
Proprietà N.7: Caratterizzazione dei numeri interi privi di quadrati	Un numero intero è privo di quadrati se e solo se nella sua fattorizzazione compaiono solo fattori primi distinti.
Proprietà N.8: Una proprietà del conteggio dei divisori di un numero intero maggiore di 1	Sia $n \gt 1$ un numero intero. Siano $P_n$ e $D_n$ i seguenti insiemi: $P_n := \left\{ \begin{gathered} \text{divisori di $n$ privi di quadrati,} \\ \text{che sono il prodotto di un numero pari di fattori primi} \end{gathered}\right\}$ $D_n := \left\{ \begin{gathered} \text{divisori di $n$ privi di quadrati,} \\ \text{che sono il prodotto di un numero dispari di fattori primi} \end{gathered}\right\}$ Allora $\|P_n\| = \|D_n\|$ .
Proprietà N.9: Una proprietà del prodotto dei divisori di un numero intero positivo avente almeno due fattori primi distinti	Sia $n$ un numero intero positivo avente almeno due fattori primi distinti. Siano $P_n$ e $D_n$ gli insiemi definiti nella Proprietà N.8. Allora $\prod_{a \in P_n} a = \prod_{b \in D_n} b$ .
Proprietà N.9 (seconda forma): Una proprietà del prodotto dei divisori di un numero intero positivo avente almeno due fattori primi distinti	Sia $n$ un numero intero positivo avente almeno due fattori primi distinti. Allora: $\frac{\prod_{d \in P_n} d}{\prod_{d \in D_n} d} \cdot \prod_{d \in Q_n} d = \prod_{d \mid n} d^{\mu(d)} = 1$
Proprietà N.8 (seconda forma): Una proprietà del conteggio dei divisori di un numero intero maggiore di 1	Sia $n \gt 1$ un numero intero. Allora: $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$
Proprietà N.10: Una proprietà del prodotto dei divisori di un numero intero positivo	Sia $n \in \mathbb{N}^{\star}$ . Allora: $\prod_{d \mid n} d^{\mu(d)} = \frac{1}{\Lambda^{\star}(n)}$
Proprietà N.10 (forma logaritmica): Una proprietà del prodotto dei divisori di un numero intero positivo	Sia $n \in \mathbb{N}^{\star}$ . Allora: $\sum_{d \mid n} \mu(d) \log d = - \Lambda(n)$
Proprietà N.11: Una proprietà del conteggio dei divisori di un numero intero positivo	Sia $n \in \mathbb{N}^{\star}$ . Allora: $\sum_{d \mid n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{se $n = 1$} \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$
Proprietà N.12: Espressione di $\Lambda^{\star}$ mediante $\mu$	Sia $n \in \mathbb{N}^{\star}$ . Allora: $\prod_{d \mid n} \left( \frac{n}{d} \right)^{\mu(d)} = \Lambda^{\star}(n)$
Proprietà N.12 (forma logaritmica): Espressione di $\Lambda$ mediante $\mu$	Sia $n \in \mathbb{N}^{\star}$ . Allora: $\sum_{d \mid n} \mu(d) \log \frac{n}{d} = \Lambda(n)$
Proprietà N.13: Scambio di $d$ ed $\frac{n}{d}$ nelle sommatorie estese ai divisori di un numero intero positivo	Sia $n$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{d \mid n} f\left(d, \frac{n}{d}\right) = \sum_{d \mid n} f\left(\frac{n}{d}, d\right)$ $\prod_{d \mid n} f\left(d, \frac{n}{d}\right) = \prod_{d \mid n} f\left(\frac{n}{d}, d\right)$ () Per la precisione, è necessario che sull’insieme di arrivo siano definite l’operazione di somma e di prodotto, e che esse siano commutative. Tuttavia in questo contesto è inutile porsi il problema, perché ciò è vero per gli insiemi numerici che ci interessano ( $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ ed $\mathbb{R}$ ).
Proprietà N.14: Forma equivalente per le sommatorie in cui compaiono $d$ ed $\frac{n}{d}$	Sia $n$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{d \mid n} f\left(d, \frac{n}{d}\right) = \sum_{ab = n} f(a,b)$ $\prod_{d \mid n} f\left(d, \frac{n}{d}\right) = \prod_{ab = n} f(a,b)$ () Per la precisione, è necessario che sull’insieme di arrivo siano definite l’operazione di somma e di prodotto, e che esse siano commutative. Tuttavia in questo contesto è inutile porsi il problema, perché ciò è vero per gli insiemi numerici che ci interessano ( $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ ed $\mathbb{R}$ ).
Proprietà N.15: Terza forma equivalente per le sommatorie dove il prodotto degli indici divide una costante	Sia $n$ un numero intero positivo. Siano $g$ ed $h$ due qualunque funzioni definite su $\mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{d \mid n} \sum_{d^{\prime} \mid d} g(d^{\prime}) h\left(\frac{d}{d^{\prime}}\right) = \sum_{ab \mid n} g(a) h(b)$ $\prod_{d \mid n} \prod_{d^{\prime} \mid d} g(d^{\prime}) h\left(\frac{d}{d^{\prime}}\right) = \prod_{ab \mid n} g(a) h(b)$ () Valgono le stesse considerazioni fatte per la Proprietà N.14
Proprietà N.16: Semplificazione mediante la funzione di Möbius di una doppia sommatoria estesa ai divisori di un numero intero positivo, e ai divisori dei divisori	Sia $n$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{ab \mid n} \mu(a) f(b) = f(n)$ () Valgono le stesse considerazioni fatte per la Proprietà N.13
Proprietà N.17: Espressione del logaritmo come sommatoria di $\Lambda$	Sia $n$ un numero intero positivo. Allora: $\sum_{d \mid n} \Lambda(d) = \log n$
Proprietà N.18: Formula di inversione di Möbius	Sia $n$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()), e sia $g$ la funzione definita per ogni $n \in \mathbb{N}^{\star}$ come segue: $g(n) := \sum_{d \mid n} \mu(d) f\left(\frac{n}{d}\right)$ Allora $\sum_{d \mid n} g(d) = f(n)$ per ogni $n \in \mathbb{N}^{\star}$ . () Valgono le stesse considerazioni fatte per la Proprietà N.13.
Lemma N.9: Primo lemma sulle sommatorie con la funzione di Möbius e il logaritmo	$\sum_{n \leq x} \sum_{d \mid n} \mu(d) \log \left(\frac{x}{d}\right) = O(x)$ dove la funzione sulla sinistra si intende definita per $x \in \mathbb{N}^{\star}$ .
Lemma N.10: Secondo lemma sulle sommatorie con la funzione di Möbius e il logaritmo	$\sum_{n \leq x} \sum_{d \mid n} \mu(d) \log^2 \left(\frac{x}{d}\right) = 2x \log x + O(x)$ dove la funzione sulla sinistra si intende definita per $x \in \mathbb{N}^{\star}$ .
Proprietà N.19: Semplificazione della doppia sommatoria per $n \leq x$ e per $d \mid n$	Sia $x$ un intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita sui numeri interi positivi (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{n \leq x} \sum_{d \mid n} f(d) = \sum_{n \leq x} \left \lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor f(n)$ () Per la precisione, è necessario che sull’insieme di arrivo sia definita l’operazione di somma, e che essa sia commutativa. Tuttavia in questo contesto è inutile porsi il problema, perché ciò è vero per gli insiemi numerici che ci interessano ( $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ ed $\mathbb{R}$ ).
Proprietà N.20: Seconda forma equivalente per le sommatorie dove il prodotto degli indici è minore o uguale di una costante	Sia $x$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{n \leq x} \sum_{m \leq \left\lfloor \frac{x}{n} \right\rfloor} f(n, m) = \sum_{nm \leq x} f(n, m)$ () Valgono le stesse considerazioni fatte per la Proprietà N.14
Lemma N.11: Terzo lemma sulle sommatorie con la funzione di Möbius e il logaritmo	Sia $x$ un numero intero positivo. Allora: $\sum_{nm \leq x} \Lambda(n) \Lambda(m) - \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \log n = \sum_{n \leq x} \sum_{d \mid n} \mu(d) \log^2 d$
Lemma N.12: Lemma alla base del Teorema di Selberg	Sia $x$ un numero intero positivo. Allora: $\sum_{nm \leq x} \Lambda(n) \Lambda(m) + \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \log n = \sum_{n \leq x} \sum_{d \mid n} \mu(d) \log^2 \left( \frac{n}{d} \right)$
Lemma N.13: Lemma alla base del Teorema di Selberg: stima asintotica	Sia $x$ un numero intero positivo. Allora: $\sum_{nm \leq x} \Lambda(n) \Lambda(m) + \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \log n = 2x \log x + O(x)$
Proposizione N.8: Conseguenza del Teorema di Selberg	$R(x) \log^2 x = O(x \log x) + \sum_{n \leq x} \left( \sum_{km = n} \Lambda(k) \Lambda(m) - \Lambda(n) \log n \right) R\left(\frac{x}{n} \right)$
Corollario 1 della Proposizione N.8: Conseguenza del Teorema di Selberg	$\|R(x)\| \log^2 x \leq \sum_{n \leq x} \left(\sum_{km = n} \Lambda(k) \Lambda(m) + \Lambda(n) \log n\right) \left\|R\left(\frac{x}{n}\right)\right\| + O(x)$
Corollario 2 della Proposizione N.8: Conseguenza del Teorema di Selberg, seconda forma	Per ogni intero positivo $x$ , esistono dei numeri reali $a_1, \ldots, a_x$ tali che $\sum_{n \leq x} a_n = 2x \log x + O(x)$ e $\|R(x)\| \log^2 x \leq \sum_{n \leq x} a_n \left\|R\left(\frac{x}{n}\right)\right\| + O(x)$
Proprietà N.21: Forma equivalente per le sommatorie dove il prodotto degli indici è minore o uguale di una costante	Sia $n$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{ab \leq n} f(a, b) = \sum_{k \leq n} \sum_{ab = k} f(a, b)$ () Valgono le stesse considerazioni fatte per la Proprietà N.14
Proprietà N.22: Prima forma equivalente per le sommatorie dove il prodotto degli indici divide una costante	Sia $n$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{ad \mid n} f(a, d) = \sum_{ab = n} \sum_{d \mid b} f(a, d)$ () Valgono le stesse considerazioni fatte per la Proprietà N.14
Proprietà N.23: Seconda forma equivalente per le sommatorie dove il prodotto degli indici divide una costante	Sia $n$ un numero intero positivo. Sia $f$ una qualunque funzione definita su $\mathbb{N}^{\star} \times \mathbb{N}^{\star}$ (non importa l’insieme di arrivo^()). Allora: $\sum_{ad \mid n} f(a, d) = \sum_{d \mid n} \sum_{a \mid \frac{n}{d}} f(a, d)$ () Valgono le stesse considerazioni fatte per la Proprietà N.14
Proposizione N.12: Conseguenza del Teorema di Selberg, forma integrale	$\|R(x)\| \log^2 x \leq 2 \int_1^x \log t \left\| R\left(\frac{x}{t}\right) \right\| dt + O(x \log x)$
Proprietà N.24: Relazione tra $\alpha$ e $\alpha^{\prime}$ , e tra $\beta$ e $\beta^{\prime}$	Con riferimento alla Definizione N.23 (Costanti $\alpha^{\prime}$ e $\beta^{\prime}$ ): $\alpha \leq \alpha^{\prime}$ $\beta \leq \beta^{\prime}$
Corollario II della Proposizione N.7A: $\alpha^{\prime}$ e $\beta^{\prime}$ sono reali	Le costanti $\alpha^{\prime}$ e $\beta^{\prime}$ definite dalla Definizione N.23 sono numeri reali.
Proposizione N.23: Relazione tra $\alpha$ e $\beta^{\prime}$	Con riferimento alle Definizioni N.23 e N.14: $\alpha \leq \beta^{\prime}$
Proposizione N.24: Maggiorazione del valore assoluto dell’integrale di $V$ tra 0 e un numero positivo	Esiste un numero reale $A \gt 0$ tale che, per ogni $\xi \gt 0$ : $\left\| \int_0^{\log \xi} V(u)\ du \right\| \lt A$
Corollario della Proposizione N.24: Maggiorazione del valore assoluto dell’integrale di $V$ tra due numeri positivi o nulli	Esiste un numero reale $A \gt 0$ tale che, per ogni $a \geq 0$ e per ogni $b \gt a$ : $\left\| \int_{a}^{b} V(u)\ du \right\| \lt 2A$
Lemma N.14: Maggiorazione dell’integrale di $V$ negli intervalli in cui non cambia segno	Sia $[a, b]$ un intervallo in cui la funzione $V$ è sempre positiva o sempre negativa. Allora esiste una costante positiva $A$ tale che: $\int_{a}^{b} \|V(u)\|\ du \lt 2A$
Proposizione N.25: Maggiorazione del valore assoluto di $V$ dopo un suo zero	Sia $t$ uno zero di $V$ . Allora, per ogni $h \geq 0$ : $\|V(t + h)\| \leq 1 - \frac{1}{e^h} + O\left(\frac{1}{t}\right)$
Proposizione N.26: Relazione tra $\alpha^{\prime}$ e $\beta^{\prime}$	Con riferimento alla Definizione N.23: $\alpha^{\prime} \leq \beta^{\prime}$
Lemma N.15: Maggiorazione dell’integrale di $\|V\|$ migliore di quella del limite superiore, primo caso	Supponiamo che $\alpha^{\prime} \gt 0$ . Siano $\delta \geq \alpha^{\prime}$ e $a \geq 0$ . Se nell’intervallo $[a, a + \delta - \alpha^{\prime}]$ la funzione $\|V\|$ ha almeno uno zero, e se inoltre esiste una costante $h \lt 1$ tale che: $(\delta - \alpha^{\prime}) \alpha^{\prime} + \frac{(\alpha^{\prime})^2}{2} = \delta h \alpha^{\prime}$ allora: $\int_a^{a+\delta} \|V(u)\|\ du \leq \delta h \alpha^{\prime} + o(1) \tag{5}$
Lemma N.16: In un intervallo, se $V$ non ha zeri cambia segno al più una volta	Sia $I$ un intervallo reale nel quale $V$ non ha zeri. Allora $V$ cambia segno al più una volta in $I$ .
Lemma N.17: Maggiorazione dell’integrale di $\|V\|$ migliore di quella del limite superiore, secondo caso	Supponiamo che $\alpha^{\prime} \gt 0$ . Sia $A$ la costante del Lemma N.14, siano $\delta \geq \alpha^{\prime}$ e $a \geq 0$ . Se nell’intervallo $[a, a + \delta - \alpha^{\prime}]$ la funzione $\|V\|$ non ha zeri, e se inoltre esiste una costante $k \lt 1$ tale che $4A + (\alpha^{\prime})^2 = \delta k \alpha^{\prime}$ allora: $\int_a^{a+\delta} \|V(u)\|\ du \leq \delta k \alpha^{\prime} + o(1)$
Proposizione N.27: Maggiorazione dell’integrale di $\|V\|$ migliore di quella del limite superiore, in intervalli di ampiezza opportuna	Supponiamo che $\alpha^{\prime} \gt 0$ . Sia $\delta \geq \frac{4A}{\alpha^{\prime}} + \frac{3 \alpha^{\prime}}{2}$ , dove $A$ è la costante del Lemma N.14. Allora esiste una costante $h \lt 1$ tale che, per ogni $a \geq 0$ : $\int_a^{a+\delta} \|V(u)\|\ du \leq \delta h \alpha^{\prime} + o(1)$
Proprietà N.25: Calcolo dei valori di una funzione moltiplicativa	Sia $f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione moltiplicativa e sia $n$ un numero intero positivo. Sia $n = p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$ la fattorizzazione di $n$ (con $p_1, \ldots, p_k$ fattori primi distinti e $a_1, \ldots, a_k$ interi positivi). Allora: $f(n) = f\left(p_1^{a_1}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(p_k^{a_k}\right)$
Proprietà N.26: Calcolo dei valori di una funzione completamente moltiplicativa	Sia $f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione completamente moltiplicativa e sia $n$ un numero intero positivo. Sia $n = p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$ la fattorizzazione di $n$ (con $p_1, \ldots, p_k$ fattori primi distinti e $a_1, \ldots, a_k$ interi positivi). Allora: $f(n) = \left(f(p_1)\right)^{a_1} \cdot \ldots \cdot \left(f(p_k)\right)^{a_k}$
Proposizione N.28: Formula di inversione duale di Möbius	Sia $n$ un numero naturale positivo e sia $f$ una funzione definita sui divisori di $n$ . Sia $g$ la seguente funzione definita sui divisori di $n$ : $g(d) := \sum_{d \mid d^{\prime} \mid n} f(d^{\prime})$ Allora, per ogni $k \mid n$ : $f(k) = \sum_{k \mid d \mid n} \mu \left(\frac{d}{k}\right) g(d)$
Proposizione N.29: Numero di coppie di interi aventi un minimo comune multiplo fissato, privo di quadrati	Sia $d$ un numero intero positivo privo di quadrati. Il numero di coppie ordinate di interi positivi aventi minimo comune multiplo $d$ è pari a: $3^{\omega(d)}$
Proposizione N.30: Ordine asintotico della sommatoria di $d(n)$ per i primi numeri interi positivi	Sia $x$ un numero intero positivo. Allora: $\sum_{n \leq x} d(n) = x \log x + O(x)$
Proposizione N.31: Ordine asintotico della sommatoria di $d(n)$ su $n$ per i primi numeri interi positivi	Sia $x$ un numero intero positivo. Allora: $\sum_{n \leq x} \frac{d(n)}{n} \gg \log^2 x$