Funzioni aritmetiche: definizioni e alcune proprietà

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In questo articolo tratteremo le funzioni aritmetiche, ossia le funzioni definite sui numeri interi positivi; il valore di tali funzioni, tuttavia, può non essere sempre intero. Alcune funzioni aritmetiche sono ben note e ricorrenti in teoria dei numeri, e le abbiamo introdotte nei nostri articoli all’occorrenza. Qui riepilogheremo le loro definizioni e poi vedremo alcune loro proprietà che potenzialmente possono essere di uso comune, anche per quanto riguarda le tecniche utilizzate in alcune dimostrazioni.

Definizioni di alcune funzioni aritmetiche

Nell’articolo La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ abbiamo introdotto la funzione di Möbius, di cui ne riportiamo per comodità la definizione:

Funzione di Möbius

Si definisce la funzione \mu: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \{-1, 1, 0\} tale che:

\mu(d) := \begin{cases} 1 & \text{se $d$ è privo di quadrati ed è il prodotto di un numero pari di fattori primi} \\ -1 & \text{se $d$ è privo di quadrati ed è il prodotto di un numero dispari di fattori primi} \\ 0 & \text{se $d$ non è privo di quadrati} \end{cases}

per ogni d \in \mathbb{N}^{\star}. La funzione \mu è chiamata funzione di Möbius.

Ricordiamo che un intero positivo di dice privo di quadrati quando non è divisibile per nessun numero maggiore di 1 che sia un quadrato, oppure, equivalentemente, quando nella sua fattorizzazione nessun esponente è maggiore di 1.

Nell’articolo Il fattoriale e la funzione \Lambda^{\star} abbiamo introdotto la funzione \Lambda^{\star}, dalla quale, applicando il logaritmo, si ottiene la funzione \Lambda di von Mangoldt:

Funzione \Lambda

Si definisce la funzione \Lambda: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R} tale che:

\Lambda(x) := \begin{cases} \log p & \text{se $x = p^m$ per qualche primo $p$ e qualche intero positivo $m$} \\ 0 & \text{altrimenti}\end{cases}

Altre funzioni aritmetiche hanno definizioni più semplici, per cui le abbiamo utilizzate quando necessario anche senza definirle formalmente. Riportiamo qui le loro definizioni, a scopo di riferimento:

Funzione d

Si definisce la funzione d: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} tale che:

d(n) := \textrm{numero di divisori positivi di $n$}

Ad esempio, d(6) = 4 perché 6 ha 4 divisori positivi: 1, 2, 3 e 6.

Funzione \omega

Si definisce la funzione \omega: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N} tale che:

\omega(n) := \textrm{numero di fattori primi distinti di $n$}

Ad esempio, \omega(45) = 2 perché 45 = 3^2 \cdot 5 ha 2 fattori primi distinti, 3 e 5; la funzione conta i fattori primi una sola volta indipendentemente dal loro esponente, quindi ad esempio il 3, che ha esponente 2, viene contato una sola volta.

Un’altra funzione molto importante è quella di Eulero, a cui dedicheremo un articolo in futuro. Essa può essere definita in vari modi, ma proponiamo qui il più semplice:

Funzione \phi di Eulero

Si definisce la funzione \phi: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} tale che:

\phi(n) := \textrm{numero di interi positivi coprimi con $n$ e minori di esso}

Ad esempio, \phi(10) = 4 perché esistono esattamente 4 interi positivi coprimi con 10 e minori di 10: 1, 3, 7 e 9; gli altri interi positivi minori di 10 hanno in comune con 10 almeno un fattore primo, o 2 o 5 a seconda dei casi.

Funzioni aritmetiche moltiplicative e completamente moltiplicative

Una caratteristica che può avere una funzione aritmetica è quella di essere moltiplicativa:

Funzione moltiplicativa

Una funzione f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R} si definisce moltiplicativa quando soddisfa contemporaneamente le seguenti condizioni:

  • f(1) = 1
  • Per ogni coppia di interi positivi a e b coprimi: f(ab) = f(a)f(b)

Le funzioni moltiplicative sono semplici da calcolare, perché ci si può aiutare scomponendo l’argomento della funzione in fattori coprimi.

Se f è una funzione moltiplicativa:

f(60) = f(4 \cdot 15) = f(4) \cdot f(15) = f(4) \cdot f(3 \cdot 5) = f(4) \cdot f(3) \cdot f(5)

I valori di f(4), f(3) e f(5) non possono essere scomposti ulteriormente, perché 4, 3 e 5 non si possono esprimere come un prodotto di due numeri coprimi (il motivo è che tutti e tre hanno un unico fattore primo, ripetuto nel caso del 4).
L’immagine seguente illustra il processo di scomposizione effettuato:

Figura 1: calcolo di un valore di una funzione moltiplicativa
Figura 1: calcolo di un valore di una funzione moltiplicativa

Come si vede dall’esempio, il calcolo di una funzione moltiplicativa su un numero qualsiasi può essere sempre ricondotto al calcolo della funzione sui numeri primi o su potenze di numeri primi:

Calcolo dei valori di una funzione moltiplicativa

Sia f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R} una funzione moltiplicativa e sia n un numero intero positivo. Sia n = p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} la fattorizzazione di n (con p_1, \ldots, p_k fattori primi distinti e a_1, \ldots, a_k interi positivi). Allora:

f(n) = f\left(p_1^{a_1}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(p_k^{a_k}\right) \tag{1}

Procediamo per induzione su k, ossia sul numero di fattori primi distinti di n. Se k = 1, allora n = p_1^{a_1}: in tal caso per ottenere la tesi è sufficiente applicare la f ad ambo i membri.
Supponiamo ora che la proprietà sia valida per tutti i numeri che hanno k fattori primi distinti, e dimostriamo che vale per un numero m che ha k+1 fattori primi distinti.
Sia m = p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} \cdot p_{k+1}^{a_{k+1}} la fattorizzazione di m (con p_1, \ldots, p_k, p_{k+1} fattori primi distinti e a_1, \ldots, a_k, a_{k+1} interi positivi). Allora possiamo scrivere m come m = \left(p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\right) \cdot p_{k+1}^{a_{k+1}}; in questo modo m risulta il prodotto di due fattori coprimi, per cui:

f(m) = f\left(p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\right) \cdot f\left(p_{k+1}^{a_{k+1}}\right) \tag{a}

Ma il numero p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} ha k fattori primi distinti, per cui possiamo applicare l’ipotesi di induzione, ottenendo:

f\left(p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\right) = f\left(p_1^{a_1}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(p_k^{a_k}\right)

da cui, sostituendo nella (a), abbiamo che la proprietà vale anche per k+1:

f(m) = f\left(p_1^{a_1}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(p_k^{a_k}\right) \cdot f\left(p_{k+1}^{a_{k+1}}\right)

Possiamo intendere la proprietà precedente in questo modo: se sappiamo quanto vale una funzione moltiplicativa su tutte le potenze dei numeri primi, allora sappiamo quanto vale su tutti i numeri interi positivi. Infatti, come possiamo vedere dalla formula (1), il calcolo di f(n) per qualsiasi n si riconduce al calcolo della funzione sulle potenze dei numeri primi. Quindi, se sappiamo quanto vale una funzione moltiplicativa su tutte le potenze dei numeri primi, sappiamo di conseguenza quanto vale anche su tutti gli altri numeri, cioè conosciamo l’intera funzione; in altri termini, i valori assunti da una funzione moltiplicativa sulle potenze dei numeri primi determinano univocamente la funzione stessa. Per questo motivo, quando si definisce una funzione moltiplicativa, è sufficiente definirla solo sulle potenze dei numeri primi.

Nella (1) non rientra il caso n = 1, perché 1 non può essere fattorizzato in fattori primi, ed anche volendolo esprimere nella forma p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}, tutti gli esponenti sarebbero nulli, condizione che però è esclusa per ipotesi. Questo però non è un problema, perché, se f è moltiplicativa, f(1) = 1 per definizione.

Nell’esempio precedente possiamo osservare che, se avessimo espresso il numero 60 come 6 \cdot 10 anziché come 4 \cdot 15, non saremmo potuti andare avanti nella scomposizione, in quanto per utilizzare le Definizione N.27 i due fattori devono essere coprimi, mentre 6 e 10 non lo sono. Esistono però funzioni aritmetiche che non hanno questo vincolo per poter essere calcolate su un prodotto: sono le funzioni completamente moltiplicative.

Funzione completamente moltiplicativa

Una funzione f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R} si definisce completamente moltiplicativa quando soddisfa le seguenti condizioni:

  • f(1) = 1
  • Per ogni coppia di interi positivi a e b: f(ab) = f(a)f(b)

Come si può notare, la definizione è uguale alla precedente, eccetto per la mancanza della parola “coprimi”. Quindi, una funzione completamente moltiplicativa è anche moltiplicativa, ma il viceversa non è sempre vero, perché non sempre due interi positivi sono coprimi.

Se f è una funzione completamente moltiplicativa:

f(60) = f(4 \cdot 15) = f(4) \cdot f(15) = f(2 \cdot 2) \cdot f(3 \cdot 5) = f(2) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(5)

I valori di f(2), f(3) e f(5) non possono essere scomposti ulteriormente, perché 2, 3 e 5 sono numeri primi; l’unico modo in cui possono essere espressi come prodotto di due interi positivi è come se stessi per 1, ma questo non cambierebbe nulla: ad esempio, f(2) = f(2 \cdot 1) = f(2) \cdot f(1) = f(2) \cdot 1 = f(2) (nella penultima uguaglianza abbiamo utilizzato la proprietà f(1) = 1 data dal primo punto della definizione).
L’immagine seguente illustra il processo di scomposizione effettuato:

Figura 2: calcolo di un valore di una funzione completamente moltiplicativa.
Figura 2: calcolo di un valore di una funzione completamente moltiplicativa.

Come si vede dall’esempio, il calcolo di una funzione completamente moltiplicativa su un qualsiasi numero maggiore di 1 può essere sempre ricondotto al calcolo della funzione sui numeri primi (mentre f(1) = 1 per definizione):

Calcolo dei valori di una funzione completamente moltiplicativa

Sia f: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{R} una funzione completamente moltiplicativa e sia n un numero intero maggiore di 1. Sia n = p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} la fattorizzazione di n (con p_1, \ldots, p_k fattori primi distinti e a_1, \ldots, a_k interi positivi). Allora:

f(n) = \left(f(p_1)\right)^{a_1} \cdot \ldots \cdot \left(f(p_k)\right)^{a_k} \tag{2}

Sia p un numero primo e h un numero intero positivo. Dimostriamo che:

f(p^h) = \left(f(p)\right)^h \tag{b}

Procediamo per induzione su h.
Se h = 1, l’uguaglianza è banale. Supponendo che l’uguaglianza valga per h, possiamo dimostrarla per h+1 utilizzando l’ipotesi di induzione come segue:

f(p^{h+1}) = f(p \cdot p^h) = f(p) \cdot f(p^h) = f(p) \cdot \left(f(p)\right)^h = \left(f(p)\right)^{h+1}

dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato il secondo punto della definizione, e nella successiva abbiamo usato l’ipotesi di induzione.

Ora che abbiamo dimostrato la (b) per tutti gli h \gt 0, consideriamo il numero n dell’enunciato. Per la Proprietà N.25:

f(n) = f\left(p_1^{a_1}\right) \cdot \ldots \cdot f\left(p_k^{a_k}\right)

Ora, applicando la (b) a ciascun fattore, abbiamo che f\left(p_1^{a_1}\right) = \left(f(p_1)\right)^{a_1}, \ldots, f\left(p_k^{a_k}\right) = \left(f(p_k)\right)^{a_k}; sostituendo nella formula precedente si ottiene la tesi.

Come si può vedere, il ruolo che avevano le potenze dei numeri primi per le funzioni moltiplicative viene assunto dai numeri primi per le funzioni completamente moltiplicative. Infatti, come possiamo vedere dalla formula (2), il calcolo di f(n) per qualsiasi n si riconduce al calcolo della funzione sui numeri primi. Quindi, i valori assunti da una funzione completamente moltiplicativa sui numeri primi determinano univocamente la funzione stessa. Per questo motivo, quando si definisce una funzione completamente moltiplicativa, è sufficiente definirla sui numeri primi.

Nessuna delle funzioni che abbiamo definito in precedenza è completamente moltiplicativa, come possiamo vedere dai seguenti controesempi:

  • \mu(3) = -1 ma \mu(3 \cdot 3) = 0 \neq \mu(3) \cdot \mu(3); infatti, 9 non è privo di quadrati mentre 3 lo è;
  • \Lambda(3) = \log 3 ma \Lambda(3 \cdot 3) = \log 3 \neq \Lambda(3) \cdot \Lambda(3); infatti, per qualunque potenza di 3 con esponente positivo, \Lambda assume valore \log 3;
  • d(2) = 2 ma d(2 \cdot 2) = 3 \neq d(2) \cdot d(2); infatti 4 ha come divisori 1, 2 e 4 (3 in tutto), mentre 2 ha 2 divisori, 1 e 2;
  • \omega(2) = 1 ma \omega(2 \cdot 2) = 1 \neq \omega(2) \cdot \omega(2); infatti, il numero di fattori primi distinti di un numero primo o di una sua potenza è sempre 1;
  • \phi(2) = 1 ma \phi(2 \cdot 2) = 2 \neq \phi(2) \cdot \phi(2); infatti, l’unico intero positivo coprimo con 2 è 1, mentre esistono 2 interi positivi coprimi con 4 e minori di esso: 1 e 3.

Tuttavia, con l’eccezione di \Lambda, si può dimostrare che tutte le funzioni citate sono moltiplicative. Le dimostrazioni saranno aggiunte in seguito, man mano che serviranno nei nostri articoli. Per quanto riguarda \Lambda, la moltiplicatività non vale perché la funzione è stata definita in modo da essere utilizzata nelle somme invece che nei prodotti; però si può dimostrare che, se considerassimo la sua funzione esponenziale, ossia e^{\Lambda}, otterremmo una funzione moltiplicativa.

Alcune proprietà delle funzioni aritmetiche che abbiamo definito

In questo paragrafo vedremo alcune proprietà delle funzioni aritmetiche definite in precedenza. Queste proprietà saranno utilizzate nei nostri articoli per dimostrare teoremi specifici, ma di per sé possono essere di interesse generale, sia perché utilizzabili in diversi contesti, sia per le tecniche utilizzate nelle loro dimostrazioni. L’elenco è quindi in costante espansione, perché inseriremo nuove proprietà man mano che ci serviranno nei nostri articoli.

Proprietà della funzione di Möbius

Alcune proprietà della funzione di Möbius sono state presentate nell’articolo La funzione di Möbius e la sua connessione con la funzione Λ e non le ripeteremo qui. Lo stesso vale per l’articolo La formula di inversione di Möbius, dedicato a un’altra proprietà della stessa funzione. Vediamo ora una proprietà meno nota, che abbiamo utilizzato per la dimostrazione del crivello di Selberg, in particolare nell’articolo Il crivello di Selberg: studio dei parametri λ.

Formula di inversione duale di Möbius

Sia n un numero naturale positivo e sia f una funzione definita sui divisori di n.
Sia g la seguente funzione definita sui divisori di n:

g(d) := \sum_{d \mid d^{\prime} \mid n} f(d^{\prime})

Allora, per ogni k \mid n:

f(k) = \sum_{k \mid d \mid n} \mu \left(\frac{d}{k}\right) g(d)

Prima di entrare nei dettagli della dimostrazione, vediamo un esempio per capire quali calcoli vengono effettuati:

Supponiamo che n = 30 e k = 2. Allora, per la formula di inversione duale di Möbius, dovrebbe essere:

f(2) = \sum_{2 \mid d \mid 30} \mu \left(\frac{d}{2}\right) g(d) = \sum_{2 \mid d \mid 30} \mu \left(\frac{d}{2}\right) \sum_{d \mid d^{\prime} \mid 30} f(d^{\prime}).

Verifichiamo che sia effettivamente così:

\begin{aligned} \sum_{2 \mid d \mid 30} \mu \left(\frac{d}{2}\right) \sum_{d \mid d^{\prime} \mid 30} f(d^{\prime}) &= \\ \sum_{d \in \{2, 6, 10, 30\}} \mu \left(\frac{d}{2}\right) \sum_{d \mid d^{\prime} \mid 30} f(d^{\prime}) &= \\ \mu \left(\frac{2}{2}\right) \sum_{2 \mid d^{\prime} \mid 30} f(d^{\prime}) + \mu \left(\frac{6}{2}\right) \sum_{6 \mid d^{\prime} \mid 30} f(d^{\prime}) + \mu \left(\frac{10}{2}\right) \sum_{10 \mid d^{\prime} \mid 30} f(d^{\prime}) + \mu \left(\frac{30}{2}\right) \sum_{30 \mid d^{\prime} \mid 30} f(d^{\prime}) &= \\ \mu(1) \sum_{d^{\prime}\in\{2, 6, 10, 30\}} f(d^{\prime}) + \mu(3) \sum_{d^{\prime}\in\{6, 30\}} f(d^{\prime}) + \mu(5) \sum_{d^{\prime} \in \{10, 30\}} f(d^{\prime}) + \mu(15) \sum_{d^{\prime} \in \{30\}} f(d^{\prime}) &= \\ \left(f(2) + f(6) + f(10) + f(30)\right) - \left( f(6) + f(30) \right) - \left( f(10) + f(30) \right) + f(30) &= \text{(*)} \\ f(2) \cdot 1 + f(6) \cdot (1 - 1) + f(10) \cdot (1 - 1) + f(30) \cdot ( 1 - 1 - 1 + 1) &= \\ f(2) \cdot 1 + f(6) \cdot 0 + f(10) \cdot 0 + f(30) \cdot 0 &=\\ f(2) \end{aligned}.

La dimostrazione si basa sul passaggio (*) dell’esempio: mettendo in evidenza i valori della funzione f, si vede che essi sono moltiplicati per delle somme algebriche che risultano sempre nulle eccetto f(k) che è moltiplicato sempre per 1; la proprietà in base alla quale si verifica ciò è la Proprietà N.11.

\begin{aligned} \sum_{k \mid d \mid n} \mu \left(\frac{d}{k}\right) \sum_{d \mid d^{\prime} \mid n} f(d^{\prime}) &= \text{[poniamo $r := \frac{d}{k}$, da cui $d = kr$]} \\ \sum_{kr \mid n} \mu(r) \sum_{kr \mid d^{\prime} \mid n} f(d^{\prime}) &= \text{[$kr \mid d^{\prime} \Rightarrow d^{\prime} = krs$]} \\ \sum_{kr \mid n} \mu(r) \sum_{krs \mid n} f(krs) &= \\ \sum_{r \mid \frac{n}{k}} \mu(r) \sum_{rs \mid \frac{n}{k}} f(krs) &= \\ \sum_{r \mid \frac{n}{k}} \sum_{rs \mid \frac{n}{k}} \mu(r) f(krs) &= \\ \sum_{r \mid rs \mid \frac{n}{k}} \mu(r) f(krs) &= \text{[$a := rs$]} \\ \sum_{r \mid a \mid \frac{n}{k}} \mu(r) f(ka) &= \\ \sum_{a \mid \frac{n}{k}} \sum_{r \mid a} \mu(r) f(ka) &= \\ \sum_{a \mid \frac{n}{k}} f(ka) \sum_{r \mid a} \mu(r) &= \text{[per la Proprietà N.11, $\sum_{r \mid a} \mu(r) \neq 0 \Leftrightarrow a = 1$]} \\ f(k)\end{aligned}

Proprietà della funzione \omega

Numero di coppie di interi aventi un minimo comune multiplo fissato, privo di quadrati

Sia d un numero intero positivo privo di quadrati. Il numero di coppie ordinate di interi positivi aventi minimo comune multiplo d è pari a:

3^{\omega(d)}

La proprietà parla di coppie ordinate nel senso che, ad esempio, le coppie (2, 3) e (3, 2) sono da considerarsi distinte, ed entrambe hanno come minimo comune multiplo 6.

Se d = 15 = 3 \cdot 5, le coppie ordinate di interi positivi che hanno come minimo comune multiplo d sono le seguenti:

(15, 1), (3, 5), (15, 5), (5, 3), (1, 15), (5, 15), (15, 3), (3, 15), (15, 15)

Il numero di coppie è 9 = 3^2 = 3^{\omega(15)}, come previsto dalla Proprietà.

Per contare quante coppie di interi positivi hanno minimo comune multiplo d, dobbiamo ricordarci un metodo di calcolo del minimo comune multiplo basato sulla fattorizzazione: dopo aver fattorizzato i due numeri, il loro minimo comune multiplo è dato dal prodotto dei loro fattori primi comuni e non comuni, col massimo esponente. Se ad esempio i due numeri sono d_1 = 2^2 \cdot 3 e d_2 = 2 \cdot 5^2, il loro minimo comune multiplo sarà d = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2. Questo esempio, però, non può verificarsi nel nostro caso, perché siamo partiti da un numero d privo di quadrati, che quindi è il prodotto di fattori primi distinti, per cui nella fattorizzazione di d possiamo trovare solo numeri primi con esponente 1.
Date queste premesse, per contare quante possibili coppie di numeri interi hanno d come minimo comune multiplo, dobbiamo ragionare al contrario: cioè, se tutti i fattori primi di d hanno esponente 1, essendo quindi 1 il massimo esponente con cui tali fattori compaiono in d_1 o in d_2, vuol dire per ciascun fattore primo p si possono verificare solo tre casi:

  • p è presente in d_1 con esponente 1 e non è presente in d_2;
  • p è presente in d_2 con esponente 1 e non è presente in d_1;
  • p è presente sia in d_1 che in d_2, in entrambi con esponente 1.

Infatti, se p fosse assente in entrambi, sarebbe assente anche nel minimo comune multiplo, mentre, se esso avesse in uno dei due numeri un esponente maggiore di 1, avrebbe un esponente maggiore di 1 anche nel minimo comune multiplo; ma entrambe queste circostanze sono da escludersi, per cui sono possibili solo i tre casi elencati.
Questo discorso vale per tutti i fattori primi p di d: se ce ne sono più di uno, i tre casi citati si combinano per ciascun fattore, moltiplicandosi. Ad esempio, se nel minimo comune multiplo ci sono due fattori p e q, i casi possibili diventano 9, perché ciascuno dei tre casi possibili per p può combinarsi con ciascuno dei tre casi possibili per q. In generale, se in d vi sono k fattori primi, il numero dei casi possibili è 3 moltiplicato per se stesso k volte, ossia 3^k.
Ciascuno dei casi così ottenuti dice esattamente quali fattori primi compaiono in d_1 e in d_2: infatti, d_1 e d_2 non possono avere fattori primi che non sono in d. Quindi i due numeri sono univocamente determinati da quali fattori primi di d essi contengono, che è esattamente quanto stabilito da ciascun caso. Di conseguenza, il numero di possibili coppie coincide col numero di casi possibili, ossia 3^k, dove k è il numero di fattori primi di d.

Supponiamo che d = 3 \cdot 5, un prodotto di k = 2 numeri primi distinti. Allora, se \mathrm{mcm}(d_1, d_2) = d, si possono verificare 3^2 = 9 casi:

  • 3 è presente in d_1 con esponente 1 e non è presente in d_2; 5 è presente in d_1 con esponente 1 e non è presente in d_2;
  • 3 è presente in d_1 con esponente 1 e non è presente in d_2; 5 è presente in d_2 con esponente 1 e non è presente in d_1;
  • 3 è presente in d_1 con esponente 1 e non è presente in d_2; 5 è presente sia in d_1 che in d_2, in entrambi con esponente 1;
  • 3 è presente in d_2 con esponente 1 e non è presente in d_1; 5 è presente in d_1 con esponente 1 e non è presente in d_2;
  • 3 è presente in d_2 con esponente 1 e non è presente in d_1; 5 è presente in d_2 con esponente 1 e non è presente in d_1;
  • 3 è presente in d_2 con esponente 1 e non è presente in d_1; 5 è presente sia in d_1 che in d_2, in entrambi con esponente 1;
  • 3 è presente sia in d_1 che in d_2, in entrambi con esponente 1; 5 è presente in d_1 con esponente 1 e non è presente in d_2;
  • 3 è presente sia in d_1 che in d_2, in entrambi con esponente 1; 5 è presente in d_2 con esponente 1 e non è presente in d_1;
  • 3 è presente sia in d_1 che in d_2, in entrambi con esponente 1; 5 è presente sia in d_1 che in d_2, in entrambi con esponente 1.

In corrispondenza di ciascun caso, si ottengono rispettivamente le seguenti coppie ordinate di interi aventi come minimo comune multiplo d:

  • (d_1, d_2) = (15, 1)
  • (d_1, d_2) = (3, 5)
  • (d_1, d_2) = (15, 5)
  • (d_1, d_2) = (5, 3)
  • (d_1, d_2) = (1, 15)
  • (d_1, d_2) = (5, 15)
  • (d_1, d_2) = (15, 3)
  • (d_1, d_2) = (3, 15)
  • (d_1, d_2) = (15, 15)

Abbiamo così ritrovato le coppie viste nell’esempio precedente.

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