Quando si costruisce un tratteggio lineare, di solito si usa come elenco delle componenti la sequenza dei numeri primi, fino a fermarsi a uno di essi, secondo un certo criterio. Tuttavia, questa non è una regola vera e propria della teoria del tratteggi, che in linea di principio permette di scegliere le componenti in modo arbitrario. Ovviamente, il modo di scegliere le componenti è importante, perché, a seconda di quali e quante se ne usano, la struttura del tratteggio cambia di conseguenza, e quindi cambiano anche le sue proprietà.
Una possibilità è partire dal presupposto che, dato un intero positivo m qualsiasi, lo si può scomporre in fattori primi. Visto che nei tratteggi lineari “classici” si usano appunto i numeri primi come componenti, si possono combinare questi due aspetti tra loro, creando un tratteggio che abbia per componenti proprio i fattori primi di m. Quel che si ottiene è un tipo particolare di tratteggio, che può essere formalmente definito in questo modo:
Tratteggio di fattorizzazione
Dato un numero intero m > 1, si dice tratteggio di fattorizzazione di m un tratteggio lineare che ha per componenti i fattori primi di m, ciascuno preso una sola volta.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 2 | – | – | – | – | – | – | |||||
| 5 | – | – | – |
Questo tipo di comportamento non vale per i tratteggi di fattorizzazione, in cui assume più importanza, oltre all’ordine, il numero da cui si è partiti per costruirli; questo deriva dal fatto che, dati due numeri naturali, la loro fattorizzazione può essere molto diversa anche se i due numeri sono molto vicini, come si può verificare usando il fattorizzatore sui due numeri 546 e 548.
Ciò non vuol dire che i tratteggi di fattorizzazione siano sempre tutti diversi tra loro. Ad esempio nel visualizzatore di tratteggi, scegliendo l’opzione “Divisori primi di n“, si può osservare che i tratteggi dei numeri 10 e 20 coincidono tra loro, perché questi due numeri hanno gli stessi fattori primi, a meno della potenza a cui sono elevati (10 = 2 \cdot 5 e 20 = 2^2 \cdot 5). Come nel caso precedente, l’unica differenza tra i due tratteggi è che quello relativo al 20 è più esteso, ma la loro struttura di base è comunque la stessa.
I tratteggi di fattorizzazione, essendo lineari, sono periodici per la Proprietà T.4 (I tratteggi lineari sono periodici). In particolare, per i tratteggi di fattorizzazione vale la seguente Proprietà:
Lunghezza di un periodo di un tratteggio di fattorizzazione
La lunghezza di un periodo del tratteggio di fattorizzazione di un numero m è il prodotto dei fattori primi di m, ossia il numero P := \prod_{p \mid m} p. Inoltre P \mid m.
dove q_1^{m_1 - 1} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k - 1} è un numero intero, essendo m_1, \ldots, m_k tutti maggiori o uguali a 1.
Inoltre, sempre per la loro linearità, i tratteggi di fattorizzazione sono simmetrici per la Proprietà T.5 (I tratteggi lineari sono simmetrici). Per questa Proprietà, qualunque insieme di colonne consecutive comprese tra due multipli della lunghezza di un periodo è simmetrico; in particolare, per il tratteggio di fattorizzazione di m possiamo considerare le colonne da 0 ad m, perché entrambi sono multipli della lunghezza di un periodo (m lo è per la Proprietà precedente). Effettuando questa scelta, dalla Proprietà T.5 si ottiene la seguente Proprietà dei tratteggi di fattorizzazione:
Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione
Nel tratteggio di fattorizzazione di un numero m, le colonne da 0 ad m sono simmetriche, nel senso che la colonna i coincide con la colonna m - i, per ogni i = 0, \ldots, m.
Oltre a queste caratteristiche che derivano dalla linearità, i tratteggi di fattorizzazione ne presentano altre che invece sono specifiche di tratteggi fatti in questo modo. Una è la seguente:
Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari
Nel tratteggio di fattorizzazione di un numero pari 2n, tutti i numeri primi p tali che n \lt p \lt 2n sono anche spazi.
Un’ulteriore proprietà è la seguente:
Spazi piccoli in un tratteggio di fattorizzazione
In un tratteggio di fattorizzazione avente per componenti q_1, q_2, \ldots q_k, tutti gli spazi maggiori di 1 e minori di q_k, o sono numeri primi o hanno come divisori primi solo numeri primi minori o uguali a q_k che non sono componenti del tratteggio.
- che sia anche componente del tratteggio;
- oppure che sia maggiore di q_k.
Ma, se la 1. fosse vera, s sarebbe il valore di un trattino della riga della componente p (per definizione di trattino), per cui non sarebbe uno spazio.
Se invece fosse vera la 2., dato che p \gt q_k, anche s, che è un suo multiplo, sarebbe maggiore di q_k.
In entrambi i casi si ottiene una contraddizione con l’ipotesi di partenza, per cui la tesi è vera.
- 3, 5, 7, 11 e 13, che sono numeri primi;
- 9 e 15, che invece sono composti, hanno come divisori primi 3 e 5, che sono compresi tra q_1 e q_2 ma non sono componenti del tratteggio.
Tratteggi di fattorizzazione del tipo (2, p)
I tratteggi di fattorizzazione che sono di interesse per lo studio della congettura di Goldbach sono quelli costruiti a partire da un numero pari 2n; una delle nostre strategie dimostrative si basa appunto su di essi. Un caso particolare molto semplice si ha quando il tratteggio di fattorizzazione che si ottiene è del secondo ordine. Ciò significa che 2n ha due soli divisori primi distinti, di cui uno evidentemente è 2, mentre l’altro può essere qualsiasi primo p \gt 2. Il tratteggio di fattorizzazione che si ottiene è quindi (2, p) (ciò non significa necessariamente che n = p, perché ad esempio si ottiene lo stesso tratteggio di fattorizzazione se n = 2p^2).
Entrando più nel dettaglio di questo tipo di tratteggi, si nota immediatamente che è abbastanza semplice trovare un criterio per capire se una colonna è uno spazio:
Spazi di un tratteggio di fattorizzazione del tipo (2, p)
In un tratteggio di fattorizzazione del tipo (2, p), con p \gt 2 primo, tutte le colonne s che, contemporaneamente, sono dispari e non sono divisibili per p, sono anche spazi, e viceversa.