I tratteggi di fattorizzazione

Prerequisiti:

Quando si costruisce un tratteggio lineare, di solito si usa come elenco delle componenti la sequenza dei numeri primi, fino a fermarsi a uno di essi, secondo un certo criterio. Tuttavia, questa non è una regola vera e propria della teoria del tratteggi, che in linea di principio permette di scegliere le componenti in modo arbitrario. Ovviamente, il modo di scegliere le componenti è importante, perché, a seconda di quali e quante se ne usano, la struttura del tratteggio cambia di conseguenza, e quindi cambiano anche le sue proprietà.

Una possibilità è partire dal presupposto che, dato un intero positivo m qualsiasi, lo si può scomporre in fattori primi. Visto che nei tratteggi lineari “classici” si usano appunto i numeri primi come componenti, si possono combinare questi due aspetti tra loro, creando un tratteggio che abbia per componenti proprio i fattori primi di m. Quel che si ottiene è un tipo particolare di tratteggio, che può essere formalmente definito in questo modo:

Tratteggio di fattorizzazione

Dato un numero intero m > 1, si dice tratteggio di fattorizzazione di m un tratteggio lineare che ha per componenti i fattori primi di m, ciascuno preso una sola volta.

Partendo dal numero m = 10, costruiamo ad esempio il relativo tratteggio di fattorizzazione W = (2, 5), le cui componenti sono appunto i divisori primi di 10 (le colonne evidenziate in giallo sono gli spazi):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
5
Per come è formulata l’Ipotesi H.1 (Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi), che considera i tratteggi T_k, le cui componenti sono i primi numeri primi, si nota come lo stesso tratteggio sia utilizzato per diversi numeri pari di partenza. Ad esempio, usando il Visualizzatore di tratteggi scegliendo l’opzione “Numeri primi fino al più piccolo p_k tale che p_{k+1}^2 \gt n“, si vede come i tratteggi dei numeri 10 e 12 siano identici, e coincidano col tratteggio T_2 = (2, 3) (l’unica cosa che cambia è il numero di colonne visualizzato, ma il tratteggio è lo stesso). Per questo motivo, quando si ha a che fare con tratteggi come questi, si dà importanza più all’ordine che al numero di partenza.
Questo tipo di comportamento non vale per i tratteggi di fattorizzazione, in cui assume più importanza, oltre all’ordine, il numero da cui si è partiti per costruirli; questo deriva dal fatto che, dati due numeri naturali, la loro fattorizzazione può essere molto diversa anche se i due numeri sono molto vicini, come si può verificare usando il fattorizzatore sui due numeri 546 e 548.
Ciò non vuol dire che i tratteggi di fattorizzazione siano sempre tutti diversi tra loro. Ad esempio nel visualizzatore di tratteggi, scegliendo l’opzione “Divisori primi di n“, si può osservare che i tratteggi dei numeri 10 e 20 coincidono tra loro, perché questi due numeri hanno gli stessi fattori primi, a meno della potenza a cui sono elevati (10 = 2 \cdot 5 e 20 = 2^2 \cdot 5). Come nel caso precedente, l’unica differenza tra i due tratteggi è che quello relativo al 20 è più esteso, ma la loro struttura di base è comunque la stessa.

I tratteggi di fattorizzazione, essendo lineari, sono periodici per la Proprietà T.4 (I tratteggi lineari sono periodici). In particolare, per i tratteggi di fattorizzazione vale la seguente Proprietà:

Lunghezza di un periodo di un tratteggio di fattorizzazione

La lunghezza di un periodo del tratteggio di fattorizzazione di un numero m è il prodotto dei fattori primi di m, ossia il numero P := \prod_{p \mid m} p. Inoltre P \mid m.

La lunghezza di un periodo del tratteggio di fattorizzazione di m è uguale, per la Proprietà T.4 (I tratteggi lineari sono periodici), al minimo comune multiplo delle sue componenti, in questo caso i divisori primi di m. Quindi, in formule, la lunghezza di un periodo è \mathrm{MCM}_{p \mid m} p. Ma i divisori primi di m, essendo appunto primi, sono anche a due a due coprimi; quindi il loro minimo comune multiplo coincide col loro prodotto \mathrm{MCM}_{p \mid m} p = \prod_{p \mid m} p, che è il numero che nell’enunciato è chiamato P. Resta da dimostrare che P \mid m. A tale scopo, scomponiamo m in fattori primi, ottenendo m = q_1^{m_1} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k}, dove k \geq 1 e q_1, \ldots, q_k sono i fattori primi distinti di m. Dato che abbiamo rappresentato solo i numeri primi che compaiono nella fattorizzazione di m, gli esponenti m_1, \ldots, m_k sono tutti almeno 1 (se qualche m_i fosse 0, il relativo fattore primo q_i, essendo elevato a zero e diverso da tutti gli altri, non sarebbe un fattore primo di m). Invece P = \prod_{p \mid m} p = q_1 \cdot \ldots \cdot q_k. Questo è un divisore di m, perché si ha:

m = q_1^{m_1} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k} = (q_1 \cdot \ldots \cdot q_k)\left(q_1^{m_1 - 1} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k - k}\right) = P\left(q_1^{m_1 - 1} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k - 1}\right)

dove q_1^{m_1 - 1} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k - 1} è un numero intero, essendo m_1, \ldots, m_k tutti maggiori o uguali a 1.

Inoltre, sempre per la loro linearità, i tratteggi di fattorizzazione sono simmetrici per la Proprietà T.5 (I tratteggi lineari sono simmetrici). Per questa Proprietà, qualunque insieme di colonne consecutive comprese tra due multipli della lunghezza di un periodo è simmetrico; in particolare, per il tratteggio di fattorizzazione di m possiamo considerare le colonne da 0 ad m, perché entrambi sono multipli della lunghezza di un periodo (m lo è per la Proprietà precedente). Effettuando questa scelta, dalla Proprietà T.5 si ottiene la seguente Proprietà dei tratteggi di fattorizzazione:

Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione

Nel tratteggio di fattorizzazione di un numero m, le colonne da 0 ad m sono simmetriche, nel senso che la colonna i coincide con la colonna m - i, per ogni i = 0, \ldots, m.

Il numero 0 è ovviamente multiplo di m, e la lunghezza di un periodo del tratteggio di fattorizzazione è multipla di m per la Proprietà L.F.1. Allora, per la Proprietà T.5 (I tratteggi lineari sono simmetrici), le colonne da 0 ad m sono simmetriche. La restante parte della tesi si ottiene ponendo, nella Proprietà citata, h := 0 e k := \frac{m}{M}, dove M nell’enunciato della Proprietà rappresenta la lunghezza di un periodo. In questo modo si ottiene che la colonna h \cdot M + i = 0 \cdot M + i = i coincide con la colonna k \cdot M - i = m - i, per ogni 0 \leq i \leq (k - h) \cdot M = k \cdot M = m.

Oltre a queste caratteristiche che derivano dalla linearità, i tratteggi di fattorizzazione ne presentano altre che invece sono specifiche di tratteggi fatti in questo modo. Una è la seguente:

Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari

Nel tratteggio di fattorizzazione di un numero pari 2n, tutti i numeri primi p tali che n \lt p \lt 2n sono anche spazi.

Un fattore primo di 2n è evidentemente 2. Gli altri fattori primi, quindi, devono essere divisori di n, pertanto sono sicuramente minori o uguali ad n. Quindi, se un numero primo p fosse maggiore di n, non potrebbe essere un fattore primo di 2n, cioè non potrebbe coincidere con una componente del suo tratteggio di fattorizzazione. Ma, in qualsiasi tratteggio lineare, un numero primo p che non coincide con nessuna delle componenti del tratteggio è uno spazio. Questo si dimostra applicando a p la definizione di spazio: essendo un numero primo, gli unici numeri interi positivi per cui p è divisibile sono se stesso e 1, ma 1 non è una componente del tratteggio per definizione, mentre p non lo è perché si è detto che p non coincide con nessuna componente del tratteggio. Quindi, nessun divisore di p è una componente del tratteggio, ossia p è uno spazio.

Un’ulteriore proprietà è la seguente:

Spazi piccoli in un tratteggio di fattorizzazione

In un tratteggio di fattorizzazione avente per componenti q_1, q_2, \ldots q_k, tutti gli spazi maggiori di 1 e minori di q_k, o sono numeri primi o hanno come divisori primi solo numeri primi minori o uguali a q_k che non sono componenti del tratteggio.

Sia s uno spazio maggiore di 1 e minore di q_k. Se s è primo, la tesi è banalmente vera. Il caso restante da dimostrare è quello in cui s non è primo, che si dimostra per assurdo: si inizia negando la tesi, ossia affermando che s ha almeno un divisore primo p:

  1. che sia anche componente del tratteggio;
  2. oppure che sia maggiore di q_k.

Ma, se la 1. fosse vera, s sarebbe il valore di un trattino della riga della componente p (per definizione di trattino), per cui non sarebbe uno spazio.

Se invece fosse vera la 2., dato che p \gt q_k, anche s, che è un suo multiplo, sarebbe maggiore di q_k.

In entrambi i casi si ottiene una contraddizione con l’ipotesi di partenza, per cui la tesi è vera.

Se con il Visualizzatore di tratteggi si visualizza il tratteggio del numero 34, scegliendo le opzioni Divisori primi di n e Evidenzia le colonne che sono spazi, si vede come la componente minima è q_1 = 2, quella massima è q_2 = 17, e gli spazi maggiori di 1 e minori di q_2 sono i seguenti:

  • 3, 5, 7, 11 e 13, che sono numeri primi;
  • 9 e 15, che invece sono composti, hanno come divisori primi 3 e 5, che sono compresi tra q_1 e q_2 ma non sono componenti del tratteggio.

Tratteggi di fattorizzazione del tipo (2, p)

I tratteggi di fattorizzazione che sono di interesse per lo studio della congettura di Goldbach sono quelli costruiti a partire da un numero pari 2n. Un caso particolare molto semplice si ha quando il tratteggio di fattorizzazione che si ottiene è del secondo ordine. Ciò significa che 2n ha due soli divisori primi distinti, di cui uno evidentemente è 2, mentre l’altro può essere qualsiasi primo p \gt 2. Il tratteggio di fattorizzazione che si ottiene è quindi (2, p) (ciò non significa necessariamente che n = p, perché ad esempio si ottiene lo stesso tratteggio di fattorizzazione se n = 2p^2).

Entrando più nel dettaglio di questo tipo di tratteggi, si nota immediatamente che è abbastanza semplice trovare un criterio per capire se una colonna è uno spazio:

Spazi di un tratteggio di fattorizzazione del tipo (2, p)

In un tratteggio di fattorizzazione del tipo (2, p), con p \gt 2 primo, tutte le colonne s che, contemporaneamente, sono dispari e non sono divisibili per p, sono anche spazi, e viceversa.

La dimostrazione di questa proprietà deriva dalla definizione stessa di spazio: gli spazi sono tutte e sole quelle colonne del tratteggio che non sono divisibili per nessuna componente del tratteggio. Nel nostro caso, le componenti sono 2 e p, per cui una colonna s è uno spazio se e solo se è dispari (cioè non è divisibile per 2) e non è divisibile per p.

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