Il lemma dell’area dell’istogramma

Prerequisito: concetto di istogramma

Il problema che ci poniamo in questo articolo è calcolare l’area di un istogramma, ossia un grafico come il seguente:

Figura 1: un semplice istogramma
Figura 1: un semplice istogramma

Naturalmente l’area è data dalla somma delle aree dei singoli rettangoli che compongono il grafico, e l’area di ciascun rettangolo è data dal prodotto di base per altezza, quindi per fare il calcolo ci basta conoscere tutte le basi e tutte le altezze. Fissiamo allora una notazione: posto che l’istogramma sia formato da n rettangoli, indichiamo con c_1, c_2, \ldots, c_n le basi dei rettangoli, numerati da sinistra verso destra, e con f(1), f(2), \ldots, f(n) le rispettive altezze:

Figura 2: basi ed altezze dei rettangoli che compongono l'istogramma della Figura 1
Figura 2: basi ed altezze dei rettangoli che compongono l’istogramma della Figura 1

Possiamo supporre, per generalità, che le basi siano numeri reali non negativi (includendo anche il caso limite di basi nulle) e che le altezze siano numeri reali qualsiasi (includendo anche il caso limite di altezze nulle). In particolare, per quanto riguarda le altezze, possiamo supporre che f sia una funzione da \{1, 2, \ldots, n\} in \mathbb{R}, dove f(i) è l’altezza dell’i-esimo rettangolo (se f assume un valore negativo significa che il corrispondente rettangolo è capovolto, cioè si trova sotto l’asse orizzontale). Nell’esempio abbiamo (c_1, c_2, c_3, c_4) = (2, 3, 1, 2) e (f(1), f(2), f(3), f(4)) = (3, 9/2, 2, 6).

Fissata questa notazione, l’area dell’istogramma è data dalla formula:

c_1 f(1) + c_2 f(2) + \ldots + c_n f(n)

Oppure, in modo più sintetico:

\sum_{i=1}^{n} c_i f(i)

Dunque, se chiamiamo A l’area della Figura 2, abbiamo che

A = c_1 f(1) + c_2 f(2) + c_3 f(3) + c_4 f(4) \tag{1}

Ora vediamo un altro metodo, abbastanza fantasioso, per calcolare quest’area. Alla fine otterremo un lemma che ci servirà in diverse occasioni, a partire dal prossimo articolo.

Anche con questo metodo l’area si ottiene come somma di aree di rettangoli, ma in modo molto diverso da prima. Il primo rettangolo ha per base la somma di tutte le basi e per altezza quella dell’ultimo rettangolo:

Figura 3: metodo alternativo per il calcolo dell'area dell'istogramma della Figura 2, rettangolo di partenza
Figura 3: metodo alternativo per il calcolo dell’area dell’istogramma della Figura 2, rettangolo di partenza

Ora, partendo da questo grande rettangolo, facciamo in modo di ottenere la sagoma dell’ultimo rettangolo dell’istogramma. Per farlo, dobbiamo sottrarre il seguente rettangolo:

Figura 4: metodo alternativo per il calcolo dell'area dell'istogramma della Figura 2, primo passo
Figura 4: metodo alternativo per il calcolo dell’area dell’istogramma della Figura 2, primo passo

Questo rettangolo ha come base la somma delle prime tre basi (c_1 + c_2 + c_3) e come altezza la differenza tra le altezze degli ultimi due rettangoli (f(4) - f(3)). Togliendolo, otteniamo la seguente figura:

Figura 5: metodo alternativo per il calcolo dell'area dell'istogramma della Figura 2, risultato del primo passo
Figura 5: metodo alternativo per il calcolo dell’area dell’istogramma della Figura 2, risultato del primo passo

Ora effettuiamo un’operazione analoga, facendo in modo di ottenere la sagoma del penultimo rettangolo dell’istogramma. Questa volta dobbiamo aggiungere il seguente rettangolo, avente come base la somma delle prime due basi (c_1 + c_2) e come altezza la differenza f(2) - f(3):

Figura 6: metodo alternativo per il calcolo dell'area dell'istogramma della Figura 2, secondo passo
Figura 6: metodo alternativo per il calcolo dell’area dell’istogramma della Figura 2, secondo passo

Otteniamo così la seguente figura:

Figura 7: metodo alternativo per il calcolo dell'area dell'istogramma della Figura 2, risultato del secondo passo
Figura 7: metodo alternativo per il calcolo dell’area dell’istogramma della Figura 2, risultato del secondo passo

Ora manca solo l’ultimo passo:

Figura 8: metodo alternativo per il calcolo dell'area dell'istogramma della Figura 2, ultimo passo
Figura 8: metodo alternativo per il calcolo dell’area dell’istogramma della Figura 2, ultimo passo

Abbiamo sottratto il rettangolo avente come base c_1 e come altezza f(2) - f(1): effettuando quest’operazione otteniamo l’istogramma originale della Figura 2.

Ricapitolando, siamo partiti dalla Figura 3 e, con una serie di aggiunte e sottrazioni di rettangoli, siamo arrivati all’istogramma della Figura 2. Quindi, dal punto di vista dell’area, possiamo dire che l’area della Figura 2 può essere ottenuta partendo dall’area della Figura 3 e sommando/sottraendo le aree dei rettangoli che di volta in volta abbiamo aggiunto/sottratto:

\begin{aligned}&A =& \\&(c_1 + c_2 + c_3 + c_4) f(4)&\text{(area della Figura 3)}\\-&(c_1 + c_2 + c_3)(f(4) - f(3)) &\text{(area del rettangolo sottratto nel primo passo)}\\+&(c_1 + c_2)(f(2) - f(3))&\text{(area del rettangolo aggiunto nel secondo passo)}\\-&c_1 (f(2) - f(1))&\text{(area del rettangolo sottratto nell'ultimo passo)} \tag{2}\end{aligned}

In effetti, quest’uguaglianza è corretta: lo si può verificare sostituendo la (1) al posto di A e facendo i conti.

Possiamo semplificare la (2) osservando che:

  • abbiamo usato il segno – (cioè abbiamo sottratto un rettangolo) quando il rettangolo successivo è più alto del precedente (il quarto è più alto del terzo, ed il secondo più del primo);
  • abbiamo usato il segno + (cioè abbiamo aggiunto un rettangolo) quando il rettangolo precedente è più alto del successivo (il secondo è più alto del terzo).

Tuttavia, a ben vedere questa distinzione è una inutile complicazione, perchè possiamo ottenere lo stesso risultato sottraendo sempre l’altezza del rettangolo successivo dal precedente (f(3) - f(4), f(2) - f(3) ed f(1) - f(2)) ed usando sempre il segno +, senza preoccuparci delle altezze relative dei rettangoli. In altri termini, la (2) può essere riscritta in modo più semplice come segue:

\begin{aligned}&A = \\&(c_1 + c_2 + c_3 + c_4) f(4)\\+&(c_1 + c_2 + c_3)(f(3) - f(4)) \\+&(c_1 + c_2)(f(2) - f(3)) \\+&c_1 (f(1) - f(2))\tag{3}\end{aligned}

Un altro miglioramento che possiamo apportare, per rendere l’espressione più leggibile, è dare un nome alle somme c_1, c_1 + c_2, c_1 + c_2 + c_3 e c_1 + c_2 + c_3 + c_4, ossia le somme delle prime k basi, con k variabile. Definiamo allora:

C_k := c_1 + c_2 + \ldots + c_k = \sum_{i=1}^{k} c_i

In questo modo la formula (3) diventa:

A = C_4 f(4) + C_3 (f(3) - f(4)) + C_2 (f(2) - f(3)) + C_1 (f(1) - f(2)) \tag{4}

Possiamo notare che C_1 = c_1 per definizione: la somma della prima base, da sola senza altri addendi, è essa stessa.

La (4) può essere facilmente generalizzata per istogrammi con un qualsiasi numero n di rettangoli, come segue:

A = C_n f(n) + C_{n-1} (f(n-1) - f(n)) + \ldots + C_1 (f(1) - f(2)) \tag{5}

Oppure, in notazione compatta:

A = \sum_{k = 1}^{n-1} C_k (f(k) - f(k + 1)) + C_n f(n)

Notiamo che nella notazione compatta la somma risulta invertita rispetto alla (5): se sviluppata, diventa C_1 (f(1) - f(2)) + \ldots + C_{n-1} (f(n-1) - f(n)) + C_n f(n). Questo per rispettare la convenzione del simbolo di sommatoria, dove solitamente l’indice (in questo caso k) va da un numero più basso ad uno più alto; naturalmente il risultato non cambia, per la proprietà commutativa della somma.

Abbiamo così ottenuto il seguente Lemma:

Lemma dell’area dell’istogramma

Siano c_1, c_2, \dots, c_n dei numeri reali non negativi, con n > 0. Sia f: \{1, 2, ..., n\} \rightarrow \mathbb{R} una funzione. Allora l’area A dell’istogramma composto da n rettangoli, ciascuno avente base c_i ed altezza f(i), data da

A = c_1 f(1) + c_2 f(2) + \ldots + c_n f(n) = \sum_{i=1}^{n} c_i f(i) \tag{6}

si può calcolare anche con la formula

\begin{aligned}A &= C_n f(n) + C_{n-1} (f(n-1) - f(n)) + \ldots + C_1 (f(1) - f(2)) \\&= \sum_{k = 1}^{n-1} C_k (f(k) - f(k + 1)) + C_n f(n)\end{aligned} \tag{7}

dove C_k := c_1 + c_2 + \ldots + c_k = \sum_{i=1}^{k} c_i.

A questo punto ci si potrebbe chiedere: perchè complicarsi la vita con la formula (7), se esiste una formula più semplice per il calcolo dell’area, che è la (6)?
Nonostante sia più complicata, il pregio della formula (7) è semplicemente quello di essere diversa: in matematica molte volte le scoperte più interessanti scaturiscono dal vedere le stesse cose in più modi diversi. Inoltre, entrando più nello specifico, la formula (7) introduce le costanti C_k che potrebbero avere un significato di per sé, oltre ad essere la somma delle c_i, come vedremo nei prossimi articoli.

Nel prossimo articolo vedremo una prima applicazione di questo Lemma alla teoria dei numeri.

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