Prerequisito:
Una delle strategie che abbiamo elaborato per tentare di dimostrare la Congettura di Goldbach è quella basata sugli spazi. In particolare, nell’ambito di tale strategia, è emersa l’importanza del concetto di massima distanza tra spazi consecutivi in un doppio tratteggio lineare. Per approfondire questo concetto, abbiamo cominciato a studiarlo per i tratteggi singoli, come prima fase, prima di passare a quelli doppi. Grazie al calcolatore della massima distanza tra spazi abbiamo calcolato la massima distanza tra spazi consecutivi dei tratteggi che abbiamo chiamato T_k, utilizzati nelle nostre strategie dimostrative, ossia quelli aventi come componenti i primi k numeri primi consecutivi. I risultati, che esporremo qui di seguito, hanno mostrato delle sorprendenti regolarità.
Massima distanza tra spazi consecutivi nei tratteggi T_k
Riportiamo nella seguente tabella i risultati che abbiamo ottenuto utilizzando il calcolatore della massima distanza tra spazi per i tratteggi di tipo T_k:
| k | T_k | Massima distanza tra spazi consecutivi | Prima coppia di spazi consecutivi alla massima distanza |
|---|---|---|---|
| 2 | (2,3) | 4 | 1, 5 |
| 3 | (2,3,5) | 6 | 1, 7 |
| 4 | (2,3,5,7) | 10 | 1, 11 |
| 5 | (2,3,5,7,11) | 14 | 113, 127 |
| 6 | (2,3,5,7,11,13) | 22 | 9939, 9461 |
| 7 | (2,3,5,7,11,13,17) | 26 | 217127, 217153 |
| 8 | (2,3,5,7,11,13,17,19) | 34 | 60043, 60077 |
| 9 | (2,3,5,7,11,13,17,19,23) | 40 | 20332471, 20332511 |
| 10 | (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29) | 46 | 417086647, 417086693 |
| 11 | (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31) | 58 | 74959204291, 74959204349 |
Abbiamo notato che in tutti i casi, tranne che per k = 9, la massima distanza è pari al doppio della penultima componente del tratteggio, cioè 2 \cdot p_{k-1}. Ad esempio, per k = 4 la massima distanza è 10 che è pari a 2 \cdot 5 = 2 \cdot p_3 = 2 \cdot p_{k-1}. Il caso di k = 9 fa eccezione perché secondo questa regola la massima distanza dovrebbe essere 38, mentre è 40, cioè 2 \cdot (p_{k-1} + 1). Nonostante ciò, sembra esserci una tendenza molto forte, quindi è possibile che ci sia un fondamento teorico, e che quindi il fenomeno si possa spiegare in qualche modo.
Riguardo al caso di k = 9, un altro aspetto che abbiamo notato, che forse ha a che fare con l’anomalia riscontrata, è che questo è l’unico caso in cui sono state trovate più coppie di spazi alla massima distanza nella prima metà del primo periodo del tratteggio, cioè nell’intervallo \left[0, \frac{p_1 p_2 \ldots p_k}{2} - 1 \right]. Infatti, in tutti gli altri casi la coppia di spazi riportata è l’unica che si trova in questo intervallo, e poi per simmetria ve n’è un’altra nell’intervallo \left[\frac{p_1 p_2 \ldots p_k}{2}, p_1 p_2 \ldots p_k - 1 \right]. Ci potrebbe essere anche il caso di una coppia di spazi a cavallo della metà del primo periodo, cioè tale che il primo spazio si trova nel primo intervallo e il secondo spazio si trova nel secondo intervallo, ma per k \gt 2 questo caso non si è mai verificato. Per k = 9, invece, il programma ha trovato sei coppie di spazi alla massima distanza nella metà del primo periodo (e, per simmetria, ce ne sono altrettante nella seconda metà): nello specifico, si tratta delle coppie (20332471, 20332511); (24686821, 24686861); (36068191, 36068231); (65767861, 65767901); (82370089, 82370129); (97689751, 97689791).
Se avete eseguito il programma per k \gt 11, o se ritenete di avere una buona spiegazione teorica dei risultati del programma, saremmo lieti di ricevere un vostro contributo.