Le nostre strategie dimostrative: una panoramica

Prerequisiti:

Com’è stato già indicato, l’obiettivo finale che ci siamo posti è usare la teoria dei tratteggi per dimostrare la congettura di Goldbach. La stessa teoria dei tratteggi fornisce più di una pista per poter arrivare a una soluzione dell’enigma; in questa pagina e in quelle collegate sono esposte le strategie dimostrative che stiamo portando avanti. Si tratta comunque di indagini che sono ancora in corso, per cui il loro contenuto è in costante evoluzione.
In questa pagina e in quelle correlate, le affermazioni non ancora verificate saranno indicate con la dicitura Ipotesi e saranno numerate usando l’iniziale “H” (dall’inglese “hypothesis”), in modo da poterle distinguere chiaramente da proprietà già dimostrate; mentre definizioni, proprietà e così via, presenti in queste sezioni, saranno indicate con la lettera “L” (da “Lavori in corso”). Sarà inoltre usata questa nomenclatura:

Equazione e coppie di Goldbach

  • L’equazione p + q = 2n, corrispondente al problema alla base della congettura di Goldbach, in cui 2n è il numero pari dato e p e q sono i due numeri primi da trovare, sarà chiamata equazione di Goldbach.
  • Le coppie (p, q), che sono soluzioni dell’equazione di Goldbach, saranno chiamate coppie di Goldbach.

Strategia basata sull’analisi di trattini e spazi

Come già esposto nell’articolo Dai numeri primi ai tratteggi, è evidente che tra gli spazi di un tratteggio e i numeri primi c’è un legame abbastanza forte. In particolare, la Proprietà T.1 (Spazi e numeri primi), pone una serie di condizioni ben precise su quando uno spazio è un numero primo e quando non lo è, con riferimento al tratteggio lineare (2, \ldots, n) avente come componenti tutti i numeri interi compresi tra 2 ed un certo n \geq 2. Inoltre, la Proprietà T.2 (Tratteggi che hanno gli stessi spazi) stabilisce che le stesse condizioni valgono anche per il tratteggio (p_1, \ldots, p_k), ottenuto dal precedente eliminando tutte le componenti che non sono numeri primi. Quindi, se si ragionasse in termini di spazi, la congettura di Goldbach originaria si potrebbe riformulare in questo modo:

Ogni numero pari maggiore di un certo numero fissato m \geq 2 può essere espresso come somma di due spazi di un tratteggio del tipo (p_1, \ldots, p_k), con k opportuno (oppure di un tratteggio del tipo (2, \ldots, n), con n opportuno), tali che siano entrambi numeri primi.

Abbiamo volutamente generalizzato la congettura, sostituendo un generico numero m al posto di 2 perché, come vedremo nel seguito, per i primi numeri pari si possono verificare dei casi particolari che non permettono di trovare coppie di Goldbach. Questo tuttavia non lede la generalità di una eventuale dimostrazione perché, se eventualmente si riuscisse a dimostrare che ogni numero pari maggiore di m è somma di due numeri primi, resterebbe solo un numero finito di casi da verificare, ossia i numeri pari compresi tra 2 ed m, ma questa verifica è già stata fatta da Tomás Oliveira e Silva fino a 4 \cdot 10^{18}; quindi, posto che m non superi questo limite, la congettura di Goldbach risulterebbe ugualmente dimostrata.

Per quanto riguarda la modalità di ricerca delle coppie di Goldbach, l’obiettivo del nostro studio è formulare un ragionamento che, a partire dal numero pari dato, ci permetta di affermare che esiste sicuramente almeno un tratteggio, che contenga almeno una coppia di spazi entrambi primi, la cui somma sia il numero di partenza. La questione di fondo, però, è che i tratteggi che si possono costruire sono tanti, quindi cercare quello giusto è come cercare un ago in un pagliaio.
Ad esempio, supponiamo di dover trovare due numeri primi che sommati diano 10. Possiamo tentare con un primo tratteggio T = (2), i cui spazi sono evidenziati in giallo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2

In questo tratteggio abbiamo tre coppie di spazi che sommati fanno 10:

  • 1 e 9;
  • 3 e 7;
  • 5 e 5 (è ammesso sommare uno spazio con se stesso, perché la congettura di Goldbach non impone che i due addendi debbano essere diversi).

Si verrebbe portati a pensare che questo sia il tratteggio giusto, perché le ultime due sono coppie di Goldbach. Però c’è anche una coppia di colonne, la prima, che invece non è formata da due numeri primi; per cui questo tratteggio non si può considerare completamente risolutivo, anche perché, in realtà, ci permette solo di concludere che un numero pari si può scrivere come somma di due numeri dispari. Possiamo provare allora con un tratteggio più “restrittivo” (cioè con meno spazi a parità di colonne), ad esempio U = (2, 3, 5):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3
5

Questo tratteggio, a differenza del precedente, non contiene coppie di spazi la cui somma è 10: l’unica coppia, 1 e 7, non ha somma 10, e non è neanche formata da due numeri primi, dato che solo 7 lo è. Quindi neanche questo tratteggio va bene, perché è troppo restrittivo, tanto da non dar luogo a coppie di Goldbach.
Tentiamo quindi con una via di mezzo, ossia il tratteggio V = (2, 3):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3

A differenza dei due precedenti, in questo tratteggio tutte le coppie di spazi con somma 10 sono coppie di Goldbach: la colonna 5, infatti, è uno spazio ed è anche un numero primo, 5 più 5 fa 10, e non ci sono altre coppie di spazi con somma 10.
Dato che stiamo cercando una soluzione universale, non possiamo però procedere in questo modo, ossia prendendo un numero pari 2n e procedendo ogni volta per tentativi fino a trovare il tratteggio giusto: altrimenti, saremmo costretti a costruire una dimostrazione diversa per ognuno dei numeri pari esistenti, il che è impossibile, dato che sono infiniti; il nostro obiettivo, invece, è trovare una soluzione unica che valga per tutti.
Volendo tentare di trovare una qualche regola basandoci su questo primo esempio, possiamo già fare una prima serie di osservazioni sul tratteggio che si è rivelato corretto per ottenere coppie di Goldbach per il numero 10:

  • Ha per componenti i primi due elementi della sequenza dei numeri primi 2, 3, 5, 7, 11 e così via;
  • Se avesse meno di due componenti, otterremmo alcune coppie di spazi la cui somma è 10 ma non sono entrambi numeri primi;
  • Se avesse più di due componenti, non otterremmo coppie di spazi la cui somma è 10.

Quindi, il fatto di aver scelto due componenti sembra essere un vincolo importante, per cui potremmo cercare un criterio che ci dica, dato un numero pari 2n, quale dev’essere l’ordine k di un tratteggio, avente per componenti i primi numeri primi, tale che si ottenga almeno una coppia di Goldbach.

Scelta dell’ordine corretto

Per poter avanzare delle ipotesi su come determinare che k nel nostro esempio debba essere proprio 2, si può osservare il fatto che, per la Proprietà T.1 (Spazi e numeri primi), tutti gli spazi del tratteggio (p_{1}, p_{2}, ... p_{k}), che d’ora in poi indicheremo con T_k, sono sicuramente dei numeri primi se sono compresi nell’intervallo che va da p_{k} + 1 a p_{k+1} ^ 2 - 1. A questo punto, se imponiamo che il numero di partenza 2n appartenga a questo intervallo, abbiamo buone probabilità che vi appartengano anche i due spazi p e q. Infatti:

  • Se 2n appartiene all’intervallo, allora 2n \leq p_{k+1} ^ 2 - 1;
  • Allora anche p \leq p_{k+1} ^ 2 - 1, essendo p \lt 2n \leq p_{k+1} ^ 2 - 1, e la stessa cosa vale per q;
  • Quindi p e q sono minori o uguali all’estremo superiore dell’intervallo, per cui l’unica possibilità che non vi appartengano è che siano minori dell’estremo inferiore, ossia che siano minori di p_{k} + 1;
  • Allora, per avere maggiori probabilità che p e q appartengano all’intervallo, i numeri minori di p_{k} + 1 dovrebbero essere pochi, mentre quelli compresi tra p_{k} + 1 e 2n dovrebbero essere tanti;
  • Ma se vogliamo che i numeri compresi tra p_{k} + 1 e 2n siano tanti, dato che 2n non può superare l’estremo superiore dell’intervallo p_{k+1} ^ 2 - 1, dovrebbe essere il più possibile vicino ad esso. Ciò equivale a dire che k deve essere il più piccolo intero tale che p_{k+1} ^ 2 - 1 \geq 2n, ossia p_{k+1} ^ 2 \gt 2n.

Con questo ragionamento basato sull’intuizione abbiamo stabilito un criterio per scegliere k: esso è stato definito come il più piccolo intero tale che p_{k+1} ^ 2 \gt 2n. Nel nostro esempio siamo partiti da 2n = 10, ed effettivamente il più piccolo intero k tale che p_{k+1} ^ 2 \gt 10 è proprio 2. Infatti, per k = 2 la disuguaglianza è verificata, essendo p_{k+1} ^ 2 = p_{3}^2 = 5^2 = 25 \gt 10, mentre per k = 1 non sarebbe verificata, in quanto p_{2} ^ 2 = 3^2 = 9 \lt 10.

Ricapitolando, siamo partiti dal numero pari 2n dell’equazione di Goldbach ed abbiamo trovato un criterio per calcolare k, in modo tale che il tratteggio T_k = (p_{1}, p_{2}, ... p_{k}) permetta di ottenere il maggior numero possibile di coppie di Goldbach formate da spazi. Infatti, tutti gli spazi del tratteggio T_k compresi tra p_{k} + 1 e p_{k+1} ^ 2 - 1, intervallo al quale appartiene anche 2n, sono primi, pertanto possono essere sostituiti al posto di p e q nell’equazione di Goldbach. Formalizziamo questi concetti nella seguente definizione:

Ordine, tratteggio ed intervallo di validità

Per ogni intero h \gt 0, si indicherà col simbolo T_h il tratteggio (p_1, p_2, \ldots p_h), avente per componenti i primi h numeri primi.
Dato un numero pari 2n \gt 2, sia k il più piccolo intero tale che p_{k+1}^2 \gt 2n. Allora l’intero k ed il relativo tratteggio T_k si dicono rispettivamente ordine di validità e tratteggio di validità relativi all’intero 2n. Inoltre, l’intervallo degli interi compresi tra p_{k} + 1 e p_{k+1} ^ 2 - 1 (estremi inclusi) si dice intervallo di validità del tratteggio T_k.

Calcoliamo ad esempio qual è l’intervallo di validità del nostro tratteggio V = T_2 = (2, 3), per il quale:

  • p_{1} = 2, p_{2} = 3;
  • k = 2;
  • p_{k} = p_{2} = 3;
  • p_{k} + 1 = p_{2} + 1 = 3 + 1 = 4;
  • p_{k+1} è il numero primo che segue p_{k} = p_{2} = 3, ossia 5;
  • p_{k+1} ^ 2 - 1 = 5 ^ 2 - 1 = 25 - 1 = 24;
  • L’intervallo di validità è l’insieme degli interi compresi tra p_{k} + 1 = 4 e p_{k+1} ^ 2 - 1 = 24.

La Proprietà T.1, applicata al tratteggio V, afferma che tutti gli spazi compresi tra 4 e 24 sono anche numeri primi, e viceversa. Effettivamente è così, perché 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23 sono gli spazi compresi in questo intervallo, ma sono anche i numeri primi compresi nello stesso intervallo, per cui la Proprietà è verificata.

A questo punto, rimane comunque il problema principale: ora sappiamo qual è l’ordine corretto per trovare coppie di Goldbach formate da spazi, ma non è detto che le troveremo, dobbiamo dimostrarlo. Possiamo tradurre questo problema in un’ipotesi:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi

Sia 2n \gt 4 un numero pari, e sia k è il più piccolo numero intero tale che (p_{k+1})^2 > 2n. Allora il tratteggio T_k contiene almeno due spazi p e q, tali che (p, q) sia una coppia di Goldbach per 2n.

Abbiamo posto 2n \gt 4, e non 2n \gt 2 come nella congettura di Goldbach. Infatti, se ponessimo 2n = 4, il corrispondente k sarebbe 1, essendo p_{1}^2 = 2^2 = 4 e p_{2}^2 = 3^2 = 9 \gt 4, quindi dovremmo utilizzare il tratteggio T_1 = (2); ma in questo tratteggio l’unica coppia di spazi aventi somma 4 è (1, 3), dove 1 non è primo.
Tuttavia, partendo da 2n = 6, finora non abbiamo trovato nessun numero pari che non soddisfi l’ipotesi. Quindi, pur trattandosi appunto di un’ipotesi, ossia non essendo stata dimostrata universalmente, essa non è stata neanche confutata. È possibile verificarla per un numero pari a piacere usando il Visualizzatore di tratteggi, in cui è presente un’opzione specifica per le componenti, “Numeri primi fino al più piccolo p_{k}​ tale che (p_{k+1})^2 > n“.

Sempre utilizzando il visualizzatore, è facile notare che ci sono più numeri pari che corrispondono allo stesso k (e quindi allo stesso tratteggio T_k). In particolare, dato un certo k \geq 1, il primo numero pari corrispondente è il più piccolo 2n \geq p_k^2 + 1 e l’ultimo è 2n = (p_{k+1})^2 - 1. Ad esempio, il più piccolo numero pari corrispondente a k = 2 è 2n = 3^2 + 1 = 10 e il più grande è 2n = 5^2 - 1 = 24. Quindi, per cercare coppie di Goldbach per tutti i numeri pari 10 \leq 2n \leq 24, si utilizzerà sempre lo stesso tratteggio, in questo caso T_2 = (2, 3).

In base a questa osservazione, è possibile determinare ad esempio quali sono i numeri pari associati a k = 1, \ldots, 5 e quali sono i tratteggi T_k corrispondenti:

Intervallo di 2n Ordine k Tratteggio T_k
Da 4 a 8 1 (2)
Da 10 a 24 2 (2, 3)
Da 26 a 46 3 (2, 3, 5)
Da 48 a 118 4 (2, 3, 5, 7)
Da 122 a 168 5 (2, 3, 5, 7, 11)

Ricerca delle coppie di Goldbach

Tornando all’Ipotesi H.1 (Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi), il passo successivo è tentare di dimostrarla, ossia cercare di capire sotto quali condizioni tra gli spazi contenuti nell’intervallo di validità, che sono anche numeri primi, ve ne siano almeno due che abbiano come somma il numero di partenza. A questo proposito, stiamo tentando di esplorare due strategie: una che usa le proprietà degli spazi, e un’altra che invece sfrutta le relazioni tra gli spazi ed i trattini che si trovano su colonne adiacenti. Queste due strategie sono descritte in due pagine dedicate:

Nessuna di queste due strategie si è ancora rivelata risolutiva, trattandosi di indagini ancora in corso, per cui sono ancora incomplete; esse contengono tuttavia una serie di risultati parziali, che potrebbero portare a una soluzione finale.

Strategia basata sulla scomposizione in fattori primi

Un’ulteriore possibilità di usare i tratteggi per dimostrare la congettura di Goldbach è usare i tratteggi di fattorizzazione, ossia dei tratteggi che hanno come componenti i fattori primi di un numero dato. Partendo da questo tipo di tratteggi, possiamo formulare una nuova ipotesi specifica:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi di fattorizzazione

Dato un numero pari 2n \gt 6, il suo tratteggio di fattorizzazione contiene almeno due spazi p e q, tali che (p, q) sia una coppia di Goldbach per 2n.


Anche nell’Ipotesi H.2 non siamo partiti da 2n = 4, come vorrebbe l’enunciato della congettura di Goldbach, ma abbiamo dovuto saltare 4 e 6 e partire direttamente da 2n \gt 6, ossia da 8. Questo perché gli spazi dei tratteggi di fattorizzazione di 2n = 4 e 2n = 6, rispettivamente (2) e (2, 3), non consentono di trovare coppie di Goldbach; tuttavia l’ipotesi, finora, sembra sempre essere verificata da 8 in poi.

Lo scopo della strategia dimostrativa basata sulla fattorizzazione è appunto quello di dimostrare l’Ipotesi H.2: se fosse vera, la congettura di Goldbach ne sarebbe una diretta conseguenza, e quindi saremmo riusciti a dimostrarla. I progressi di quest’indagine, che è ancora in corso, sono descritti in una pagina dedicata, il cui contenuto sarà via via modificato e ampliato man mano che l’analisi prosegue.

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