Le nostre strategie dimostrative: una panoramica

Prerequisito:

Com’è stato già indicato, l’obiettivo finale che ci siamo posti è usare la teoria dei tratteggi per dimostrare la congettura di Goldbach. La stessa teoria dei tratteggi fornisce più di una pista per poter arrivare a una soluzione dell’enigma; in questa pagina e in quelle collegate sono esposte le strategie dimostrative che stiamo portando avanti. Si tratta comunque di indagini che sono ancora in corso, per cui il loro contenuto è in costante evoluzione.
In questa pagina e in quelle correlate, le affermazioni non ancora verificate saranno indicate con la dicitura Ipotesi e saranno numerate usando l’iniziale “H” (dall’inglese “hypothesis”), in modo da poterle distinguere chiaramente da proprietà già dimostrate; mentre definizioni, proprietà e così via, presenti in queste sezioni, saranno indicate con la lettera “L” (da “Lavori in corso”). Sarà inoltre usata questa nomenclatura:

Equazione e coppie di Goldbach

  • L’equazione p + q = 2n, corrispondente al problema alla base della congettura di Goldbach, in cui 2n è il numero pari dato e p e q sono i due numeri primi da trovare, sarà chiamata equazione di Goldbach.
  • Le coppie (p, q), che sono soluzioni dell’equazione di Goldbach, saranno chiamate coppie di Goldbach.

Il punto di partenza

La difficoltà principale nel dimostrare la Congettura di Goldbach è il fatto di coinvolgere i numeri primi, il che porta a scontrarsi con una serie di problemi, ed è per questo che tutte le dimostrazioni tentate finora sono fallite. Il nostro intento, invece, è tentare di aggirare l’ostacolo coinvolgendo i numeri primi solo indirettamente, sfruttando al loro posto qualcosa di più trattabile. Lo strumento che stiamo usando nelle nostre strategie dimostrative è un tipo particolare di tratteggio, ossia una tabella fatta in questo modo:

  • Le colonne sono i numeri da 0 al numero pari 2n di cui cercare le coppie di Goldbach;
  • Le righe, dette componenti, sono i primi k numeri primi, dove k, detto ordine, è preso a piacere;
  • Nelle celle tali che il numero sulla riga è un divisore di quello sulla colonna, si inserisce un trattino;
  • Le colonne che non contengono trattini sono dette spazi.

L’aspetto interessante degli spazi è che essi hanno un legame sia con i numeri primi sia con la somma, ed è per questo che i nostri tentativi di dimostrazione sono basati, direttamente o meno, proprio su di essi.
Ad esempio, supponiamo di dover trovare due numeri primi che sommati diano 10. Possiamo tentare con un primo tratteggio con k = 1, i cui spazi sono evidenziati in giallo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2

In questo tratteggio abbiamo tre coppie di spazi che sommati fanno 10:

  • 1 e 9;
  • 3 e 7;
  • 5 e 5 (è ammesso sommare uno spazio con se stesso, perché la Congettura di Goldbach non impone che i due addendi debbano essere diversi).

Si verrebbe portati a pensare che questo sia il tratteggio giusto, perché le ultime due sono coppie di Goldbach. Però c’è anche una coppia di spazi, la prima, che invece non è formata da due numeri primi; per cui questo tratteggio non si può considerare completamente risolutivo, anche perché, in realtà, ci permette solo di concludere che un numero pari si può scrivere come somma di due numeri dispari. Possiamo provare allora con un tratteggio più “restrittivo” (cioè con meno spazi a parità di colonne), ad esempio con k = 3:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3
5

Questo tratteggio, a differenza del precedente, non contiene coppie di spazi la cui somma è 10: l’unica coppia di spazi, 1 e 7, non ha somma 10, e le sue componenti non sono entrambe numeri primi, dato che solo 7 lo è. Quindi neanche questo tratteggio va bene, perché è troppo restrittivo, tanto da non dar luogo a coppie di Goldbach.
Tentiamo quindi con una via di mezzo, ossia il tratteggio con k = 2:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3

A differenza dei due precedenti, in questo tratteggio tutte le coppie di spazi con somma 10 sono coppie di Goldbach: la colonna 5, infatti, è uno spazio ed è anche un numero primo, 5 più 5 fa 10, e non ci sono altre coppie di spazi con somma 10.
Dato che stiamo cercando una soluzione universale, non possiamo però procedere in questo modo, ossia prendendo un numero pari 2n e procedendo ogni volta per tentativi fino a trovare il tratteggio giusto: altrimenti, saremmo costretti a costruire una dimostrazione diversa per ognuno dei numeri pari esistenti, il che è impossibile, dato che sono infiniti; il nostro obiettivo, invece, è trovare una soluzione unica che valga per tutti.
Volendo tentare di trovare una qualche regola basandoci su questo esempio, possiamo già fare una prima serie di osservazioni sul tratteggio che si è rivelato corretto per ottenere coppie di Goldbach per il numero 10:

  • Ha per componenti i primi due elementi della sequenza dei numeri primi 2, 3, 5, 7, 11 e così via;
  • Se avesse meno di due componenti, otterremmo alcune coppie di spazi la cui somma è 10 ma non sono entrambi numeri primi;
  • Se avesse più di due componenti, non otterremmo coppie di spazi la cui somma è 10.

Quindi, il fatto di aver scelto due componenti sembra essere un vincolo importante, per cui potremmo cercare un criterio che ci dica, dato un numero pari 2n, quale dev’essere l’ordine k di un tratteggio, avente per componenti i primi numeri primi, tale che si ottenga almeno una coppia di Goldbach.

La teoria dei tratteggi non pone particolari vincoli su quali debbano essere le componenti di un tratteggio; esse potrebbero non essere numeri primi. Come si può dimostrare facilmente, però, gli spazi non cambiano se una delle componenti è multipla di altre (ad esempio, un tratteggio che ha per componenti 2, 3 e 5 ha gli stessi spazi di un tratteggio che ha per componenti 2, 4, 3, 5 e 6). Dato che a noi interessa studiare gli spazi, prendere come componenti i primi numeri primi è sufficiente.

Scelta dell’ordine corretto

Per poter avanzare delle ipotesi su come determinare che k nel nostro esempio debba essere proprio 2, si può osservare che, per la Proprietà T.1 (Spazi e numeri primi), il tratteggio con componenti p_{1}, p_{2}, ... p_{k}, che d’ora in poi indicheremo con T_k = (p_{1}, p_{2}, ... p_{k}), ha spazi che sono sicuramente numeri primi se sono compresi nell’intervallo che va da p_{k} + 1 a p_{k+1} ^ 2 - 1. A questo punto, se imponiamo che il numero di partenza 2n appartenga a questo intervallo, abbiamo buone probabilità che vi appartengano anche i due spazi p e q. Infatti, perché sia così, è sufficiente che 2n ricada nell’intervallo indicato e sia il più vicino possibile al suo estremo superiore.
Con questo ragionamento basato sull’intuizione abbiamo stabilito un criterio per scegliere k: esso può essere definito come il più piccolo intero tale che p_{k+1} ^ 2 \gt 2n. Nel nostro esempio siamo partiti da 2n = 10, ed effettivamente il più piccolo intero k tale che p_{k+1} ^ 2 \gt 10 è proprio 2. Infatti, per k = 2 la disuguaglianza è verificata, essendo p_{k+1} ^ 2 = p_{3}^2 = 5^2 = 25 \gt 10, mentre per k = 1 non sarebbe verificata, in quanto p_{2} ^ 2 = 3^2 = 9 \lt 10.

Ricapitolando, siamo partiti dal numero pari 2n dell’equazione di Goldbach ed abbiamo trovato un criterio per calcolare k, in modo tale che il tratteggio T_k = (p_{1}, p_{2}, ... p_{k}) permetta di ottenere il maggior numero possibile di coppie di Goldbach formate da spazi. Infatti, per costruzione 2n è minore di p_{k+1} ^ 2 - 1 e tutti gli spazi del tratteggio T_k compresi tra p_{k} + 1 e p_{k+1} ^ 2 - 1 sono primi, perciò sono buoni candidati per sostituire p e q nell’equazione di Goldbach. Formalizziamo questi concetti nella seguente definizione:

Ordine, tratteggio ed intervallo di validità

Per ogni intero h \gt 0, si indicherà col simbolo T_h il tratteggio (p_1, p_2, \ldots p_h), avente per componenti i primi h numeri primi.
Dato un numero pari 2n \gt 2, sia k il più piccolo intero tale che p_{k+1}^2 \gt 2n. Allora l’intero k ed il relativo tratteggio T_k si dicono rispettivamente ordine di validità e tratteggio di validità relativi all’intero 2n. Inoltre, l’intervallo degli interi compresi tra p_{k} + 1 e p_{k+1} ^ 2 - 1 (estremi inclusi) si dice intervallo di validità del tratteggio T_k.

Calcoliamo ad esempio qual è l’intervallo di validità del nostro tratteggio V = T_2 = (2, 3):

  • p_{1} = 2, p_{2} = 3;
  • k = 2;
  • p_{k} = p_{2} = 3;
  • p_{k} + 1 = p_{2} + 1 = 3 + 1 = 4;
  • p_{k+1} è il numero primo che segue p_{k} = p_{2} = 3, ossia 5;
  • p_{k+1} ^ 2 - 1 = 5 ^ 2 - 1 = 25 - 1 = 24;
  • L’intervallo di validità è l’insieme degli interi compresi tra p_{k} + 1 = 4 e p_{k+1} ^ 2 - 1 = 24.

La Proprietà T.1 (Spazi e numeri primi), applicata al tratteggio V, afferma che tutti gli spazi compresi tra 4 e 24 sono anche numeri primi, e viceversa. Effettivamente è così, perché 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23 sono gli spazi compresi in questo intervallo, ma sono anche i numeri primi compresi nello stesso intervallo, per cui la Proprietà è verificata.

Ricerca delle coppie di Goldbach

Metodi basati sullo studio dei tratteggi T_k

A questo punto rimane comunque il problema principale: sappiamo qual è l’ordine corretto per trovare coppie di Goldbach formate da spazi, ma non è detto che le troveremo, dobbiamo dimostrarlo. Possiamo tradurre questo problema in un’ipotesi:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi

Sia 2n \gt 4 un numero pari, e sia k è il più piccolo numero intero tale che (p_{k+1})^2 > 2n. Allora il tratteggio T_k contiene almeno due spazi p e q, tali che (p, q) sia una coppia di Goldbach per 2n.

Abbiamo posto 2n \gt 4, e non 2n \gt 2 come nella congettura di Goldbach. Infatti, se ponessimo 2n = 4, il corrispondente k sarebbe 1, essendo p_{1}^2 = 2^2 = 4 e p_{2}^2 = 3^2 = 9 \gt 4, quindi dovremmo utilizzare il tratteggio T_1 = (2); ma in questo tratteggio l’unica coppia di spazi aventi somma 4 è (1, 3), dove 1 non è primo.
Tuttavia, partendo da 2n = 6, finora non abbiamo trovato nessun numero pari che non soddisfi l’ipotesi. Quindi, pur trattandosi appunto di un’ipotesi, ossia non essendo stata dimostrata universalmente, essa non è stata neanche confutata. È possibile verificarla per un numero pari a piacere usando il Visualizzatore di tratteggi, in cui è presente un’opzione specifica per le componenti, “Numeri primi fino al più piccolo p_{k}​ tale che (p_{k+1})^2 > n“.

Sempre utilizzando il visualizzatore, è facile notare che ci sono più numeri pari che corrispondono allo stesso k (e quindi allo stesso tratteggio T_k). In particolare, dato un certo k \geq 1, il primo numero pari corrispondente è il più piccolo 2n \geq p_k^2 + 1 e l’ultimo è 2n = (p_{k+1})^2 - 1. Ad esempio, il più piccolo numero pari corrispondente a k = 2 è 2n = 3^2 + 1 = 10 e il più grande è 2n = 5^2 - 1 = 24. Quindi, per cercare coppie di Goldbach per tutti i numeri pari 10 \leq 2n \leq 24, si utilizzerà sempre lo stesso tratteggio, in questo caso T_2 = (2, 3).

In base a questa osservazione, è possibile determinare ad esempio quali sono i numeri pari associati a k = 1, \ldots, 5 e quali sono i tratteggi T_k corrispondenti:

Intervallo di 2n Ordine k Tratteggio T_k
Da 4 a 8 1 (2)
Da 10 a 24 2 (2, 3)
Da 26 a 46 3 (2, 3, 5)
Da 48 a 118 4 (2, 3, 5, 7)
Da 122 a 168 5 (2, 3, 5, 7, 11)

Tornando all’Ipotesi H.1 (Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi), il passo successivo è tentare di dimostrarla, ossia cercare di capire sotto quali condizioni, tra gli spazi contenuti nell’intervallo di validità, ve ne siano almeno due che abbiano come somma il numero di partenza. A questo proposito, stiamo tentando di esplorare le seguenti strategie:

Strategia che usa le proprietà degli spazi

Strategia che usa le proprietà dei trattini

Metodo basato sullo studio dei tratteggi di fattorizzazione

Esiste anche un altro modo di usare i tratteggi per dimostrare la congettura di Goldbach, che considera un tipo particolare di tratteggi, detti di fattorizzazione. La differenza rispetto ai tratteggi visti in precedenza è che le componenti di un tratteggio di fattorizzazione sono i fattori primi di un numero dato, nel nostro caso 2n. Ad esempio, se 2n = 10, il relativo tratteggio di fattorizzazione ha per componenti 2 e 5, che sono i fattori primi di 10:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
5

Il vantaggio di usare i tratteggi di fattorizzazione, rispetto ai tratteggi T_k visti prima, è la simmetria: come si può notare, se p è uno spazio, automaticamente lo è anche q = 2n - p (Proprietà L.F.2). Ad esempio, 1 è uno spazio e anche 9 = 10 - 1 lo è; allo stesso modo 3 è uno spazio e lo è anche 7 = 10 - 3. Quindi, per trovare una coppia di Goldbach (p, q), potremmo iniziare trovando uno spazio p che è anche primo, e a quel punto dimostrare che anche q è primo; ma nel dimostrare che q è primo si potrebbe essere in qualche modo avvantaggiati, essendo esso uno spazio in virtù della simmetria. Possiamo quindi formulare la seguente ipotesi:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi di fattorizzazione

Dato un numero pari 2n \gt 6, il suo tratteggio di fattorizzazione contiene almeno due spazi p e q, tali che (p, q) sia una coppia di Goldbach per 2n.

Anche in questa Ipotesi non siamo partiti da 2n = 4, come vorrebbe l’enunciato della congettura di Goldbach, ma abbiamo dovuto saltare 4 e 6 e partire direttamente da 2n \gt 6, ossia da 8. Questo perché gli spazi dei tratteggi di fattorizzazione di 2n = 4 e 2n = 6, rispettivamente (2) e (2, 3), non consentono di trovare coppie di Goldbach; tuttavia l’ipotesi, finora, sembra sempre essere verificata da 8 in poi.
Chiaramente, se l’Ipotesi H.2 fosse vera, la congettura di Goldbach ne sarebbe una diretta conseguenza. Questo dà origine a un’altra strategia dimostrativa, il cui scopo è dimostrare l’Ipotesi H.2:

Strategia che usa la fattorizzazione

Nessuna delle strategie menzionate si è ancora rivelata risolutiva. Si tratta di indagini ancora in corso, che però hanno prodotto alcuni risultati parziali, i quali potrebbero portare a una soluzione finale.

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