L’obiettivo
La “versione forte” del Teorema di Chebyshev (per alcuni autori semplicemente “Teorema di Chebyshev”) rappresenta, rispetto a quella debole, un ulteriore passo verso il Teorema dei Numeri Primi. Infatti, i due Teoremi sono molto simili, in quanto studiano le stesse funzioni, nello stesso modo. In entrambi i casi, le funzioni oggetto di studio sono \pi(x), che restituisce il numero di numeri primi minori o uguali ad x, e \frac{x}{\log x}; il modo di studiarle consiste nel calcolare il loro rapporto, e vedere come si comporta al crescere di x. La versione forte del Teorema di Chebyshev stabilisce che ci sono solo due possibilità: o questo rapporto non ha un limite, cioè continua ad oscillare all’infinito, oppure, se tende ad un limite, questo limite è 1. Il Teorema dei Numeri Primi va ancora più a fondo, dicendo che la prima possibilità non può presentarsi: il rapporto tra \pi(x) e \frac{x}{\log x} tende ad 1.
La versione forte del Teorema di Chebyshev si può quindi considerare un risultato intermedio tra la versione debole ed il Teorema dei Numeri Primi: l’enunciato somiglia molto a quello del Teorema dei Numeri Primi, ma conserva ancora un po’ dell’indeterminatezza della versione debole, che secondo cui le funzioni \pi(x) e \frac{x}{\log x} hanno genericamente “lo stesso ordine di grandezza”.
Il percorso
Questo percorso estende quello sulla versione debole del Teorema di Chebyshev. Infatti, vedremo che si può passare dalla versione debole a quella forte attraverso l’applicazione di alcune tecniche fondamentali, partendo da una particolare modalità di calcolo delle aree, fino allo studio dell’ordine di grandezza della serie armonica e del fattoriale.