L’obiettivo
Questo percorso studia l’insieme delle coppie di Goldbach per un numero pari N \gt 2, ossia l’insieme delle coppie di numeri primi la cui somma è N. Mentre la Congettura di Goldbach afferma che tale insieme contiene sempre almeno un elemento per ogni N, in questo percorso studieremo le stesse coppie dalla prospettiva opposta: cercheremo di stabilire cioè quante possono essere al massimo.
Indicando con \mathfrak{R}(N) il numero di coppie di Goldbach per N, dimostreremo che:
dove la notazione \ll equivalente alla notazione O-grande (semplificando, è una sorta di maggiorazione approssimata, la quale ammette che, al crescere di N, la funzione di destra possa diventare C volte più grande del valore reale, dove C è una costante positiva).
Sebbene questo risultato di per sé non aiuti a dimostrare la Congettura, l’aspetto interessante è che si tratta dell’unico teorema noto che in qualche modo tenta di approssimare il numero di coppie di Goldbach, mentre gli altri studiano insiemi simili ma non identici (terne di numeri primi nel caso della Congettura debole di Goldbach, coppie formate da un primo e un semiprimo nel caso del Teorema di Chen). Riuscirà qualche nostro lettore a invertire la prospettiva, trasformando il \leq in un \geq, aprendo la strada a una possibile dimostrazione della Congettura di Goldbach?
Il percorso
Prima di arrivare alla dimostrazione vera e propria, introdurremo la teoria dei crivelli, partendo dalla definizione e dal crivello più antico e famoso, quello di Eratostene. Successivamente studieremo una tecnica di crivello più moderna, il crivello di Selberg, che ci permetterà di giungere al risultato finale con l’aiuto di due Lemmi ausiliari.
Introduzione generale ai percorsi di teoria dei crivelli