Il Teorema di Chen

L’obiettivo

L’obiettivo di questo percorso è dimostrare uno dei teoremi più simili alla Congettura di Goldbach, il Teorema di Chen, il cui enunciato può essere espresso come segue:

Ogni numero pari sufficientemente grande è somma o di due numeri primi, o di un primo e un semiprimo (ossia un prodotto di due numeri primi).

Questo Teorema fu dimostrato per la prima volta dal matematico cinese Chen Jingrun nel 1966 (successivamente la dimostrazione fu perfezionata sia da lui stesso che da altri matematici). La dimostrazione si basa su una teoria matematica che prende il nome di teoria dei crivelli, sviluppatasi pochi anni prima ma dalle origini antichissime, che si possono far risalire al matematico dell’antica Grecia Eratostene di Cirene, inventore dell’omonimo crivello, il primo in assoluto. Chiaramente da allora la teoria dei crivelli si è evoluta parecchio, ma è rimasta sempre una teoria “elementare”, ossia non basata sull’analisi complessa.

Il percorso

Esporremo la dimostrazione del Teorema di Chen con un approccio “dall’alto verso il basso”: dopo aver analizzato in dettaglio l’enunciato, analizzeremo le tecniche principali usate da Chen facendoci guidare da un esempio, fino a scomporre il problema iniziale in tre sottoproblemi che saranno risolti separatamente, come fece lo stesso Chen. Introdurremo alcune nozioni e teoremi importanti di teoria dei numeri man mano che ce ne sarà bisogno. I prerequisiti richiesti sono, come in tutto il nostro sito, una buona conoscenza della matematica scolastica e delle basi dell’analisi reale in una variabile (derivate, integrali, continuità, ecc.). Altri prerequisiti saranno indicati all’inizio di ciascun articolo; per esempio il primo articolo, come tutto il resto del percorso, presuppone una certa conoscenza dell’analisi asintotica, che abbiamo trattato nel nostro sito nel percorso Materiale complementare.

Introduzione generale ai percorsi