3. Periodicità e simmetria nei tratteggi lineari

Prerequisiti:

In questo articolo parleremo di due proprietà fondamentali dei tratteggi lineari: la periodicità e la simmetria.

Periodicità e numero di trattini di un periodo

Nella Tabella 4 dell’articolo Dai numeri primi ai tratteggi abbiamo visto che, nella rappresentazione di un tratteggio lineare, esiste un certo schema che si ripete infinite volte. Ciò si esprime matematicamente dicendo che un tratteggio lineare è periodico, nel senso espresso dalla seguente definizione:

Tratteggio periodico

Sia T un tratteggio. Se esiste un intero positivo h tale che, per ogni i, l’i-esima colonna e la i+h-esima colonna di T sono uguali, allora:

  • T si dice periodico
  • Detto M il più piccolo valore possibile di h, M si dice lunghezza del periodo
  • Qualunque insieme di M numeri naturali consecutivi si dice periodo

Tutti i tratteggi visti nell’articolo Dai numeri primi ai tratteggi, eccetto quelli delle Tabelle 1, 10 e 11, sono periodici. Non si tratta di un caso: questi tratteggi sono infatti tutti lineari, e si può dimostrare che un tratteggio lineare è periodico. Abbiamo già accennato a questa proprietà a proposito del tratteggio (2,3,4,5) (Tabella 4), ma vediamo nel dettaglio il meccanismo che c’è dietro, nel caso del tratteggio (2,3). Nella rappresentazione grafica scriviamo al posto dei trattini, come nella Tabella 13, il loro numero ordinale:

Tabella 14: rappresentazione grafica del tratteggio lineare (2, 3), dove sono evidenziati il numero ordinale di ogni trattino, e tre periodi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 3 4 6 8 9 11 13 14 16
2 5 7 10 12 15

In questa tabella possiamo osservare che lo stesso schema di trattini si ripete ogni 6 colonne, 6 perché è il minimo comune multiplo delle componenti del tratteggio, che sono 2 e 3. In particolare, se consideriamo le colonne a 6 a 6 come evidenziato nella Tabella 14, lo schema che si ripete è il seguente:

Tabella 15: Schema che si ripete nella Tabella 14, prendendo le colonne a 6 a 6 partendo dalla colonna 0

Anche partendo da un’altra colonna, e prendendo le colonne sempre a gruppi di 6 consecutive, abbiamo uno schema che si ripete. Ad esempio, se trascuriamo la colonna 0 e consideriamo i gruppi di colonne 1-6, 7-12, 13-18, ecc., lo schema che si ripete è il seguente:

Tabella 16: Schema che si ripete nella Tabella 14, prendendo le colonne a 6 a 6 partendo dalla colonna 1

Avremmo una situazione analoga partendo da qualunque altra colonna, prendendo sempre le colonne a gruppi di 6 consecutive: in ogni caso di ripeterebbe sempre uno stesso schema di trattini. Gli schemi così ottenuti sono diversi tra loro (come si può vedere nelle Tabelle 15 e 16) ma possiamo osservare che contengono tutti lo stesso numero di trattini, 5 nell’esempio che stiamo considerando. Ciò deriva dal fatto che, comunque presi 6 numeri interi consecutivi, tre di essi sono divisibili per 2 e due di essi sono divisibili per 3: ad esempio nell’insieme \{1,2,3,4,5,6\} i numeri divisibili per 2 sono 2, 4 e 6, ed i numeri divisibili per 3 sono 3 e 6: ciò coincide esattamente con quanto mostrato nella Tabella 16. Ricapitolando, abbiamo che:

  • Il tratteggio (2,3) presenta uno schema che si ripete ogni 6 colonne, qualunque sia la colonna di partenza
  • Ogni schema così ottenuto contiene 5 trattini, a prescindere dalla colonna di partenza

Andando ancora oltre, si può osservare quanto segue. Avendo suddiviso il tratteggio in gruppi di 6 colonne consecutive, come nella Tabella 14, possiamo partire da qualunque trattino e considerare il quinto trattino successivo: si ottiene così un trattino che si trova nel successivo gruppo di 6 colonne, ma nella stessa posizione relativamente allo schema.
Ad esempio, con riferimento alla Tabella 14, partendo dal primo trattino, il trattino (1,1) di valore 2 situato nella parte rossa, e andando avanti di 5 trattini, si incontra il trattino (1,4) di valore 8 nella parte verde. Esso si trova sempre sulla prima riga e, relativamente allo schema mostrato in Tabella 15, corrisponde sempre alla terza colonna:

Tabella 17: Schema che si ripete nella Tabella 14, prendendo le colonne a 6 a 6 partendo dalla colonna 0, dove è evidenziata la colonna corrispondente alle colonne 2, 8, ecc. della Tabella 14.

Ma due trattini che si trovano in due ripetizioni successive dello schema (come quella rossa e quella verde della Tabella 14) e che, relativamente ad esso, si trovano sulla stessa colonna (Tabella 17), hanno certamente valori che differiscono per la lunghezza dello schema stesso, in questo caso 6. Infatti il trattino (1,4) ha valore 8 ed il trattino (1,1) ha valore 2 = 8 – 6.
Si potrebbe anche ripetere il ragionamento nel senso opposto: se partendo da un trattino qualsiasi ci spostiamo di 6 colonne (la lunghezza dello schema) verso destra, otteniamo un trattino che si trova nella stessa posizione relativamente allo schema, e che nell’ordine si trova 5 trattini dopo il trattino di partenza, dove 5 è il numero di trattini contenuti nello schema.

Da quanto detto finora si evince che:

  • Il tratteggio (2,3) è periodico secondo la Definizione T.5. Infatti, la colonna 0 è uguale alla colonna 6, la 1 è uguale alla 7, la 2 è uguale alla 8, e così via.
  • Ogni gruppo di 6 colonne consecutive, partendo da qualsiasi colonna, è costituito dallo stesso schema di trattini
  • In particolare, ogni gruppo di 6 colonne consecutive contiene cinque trattini
  • Partendo da un qualunque trattino, il quinto trattino successivo si trova nella stessa posizione di quello di partenza, relativamente allo schema

Quindi, con riferimento alla Definizione T.5, quello che abbiamo chiamato “schema” è un periodo, ed M = 6 è la lunghezza del periodo.

Approfondendo questo discorso e generalizzando, si possono dimostrare le seguenti proprietà:

Numero di trattini e di spazi di un periodo

Nella rappresentazione di un tratteggio periodico, due periodi qualsiasi hanno lo stesso numero di trattini e lo stesso numero di spazi.

Sappiamo che il tratteggio è periodico, ossia, per definizione, è formato da una sequenza di colonne che si ripete identica. Indicando quindi la colonna j-esima con c_j, e la lunghezza del periodo con M, possiamo rappresentare il tratteggio in questo modo (per motivi di chiarezza non sono indicate le righe):

\ldots c_1 c_2 \ldots c_{M - 2} c_{M - 1} c_M c_1 c_2 \ldots c_{M - 2} c_{M - 1} c_M \ldots

Dobbiamo dimostrare che, date due qualsiasi sequenze di M colonne consecutive presenti nel tratteggio, esse sono formate dalle stesse colonne, eventualmente non nello stesso ordine: se le colonne sono le stesse, di conseguenza le due sequenze conterranno lo stesso numero di trattini e di spazi. Indichiamo queste due sequenze con:

  • P, che inizia in una certa colonna c_p e termina quindi nella colonna c_{p + M - 1};
  • Q, che inizia in una certa colonna c_q e termina quindi nella colonna c_{q + M - 1}.

Supponiamo che P non segua Q, ossia che c_p \leq c_q. I casi possibili sono:

  1. P e Q coincidono, ossia c_p = c_q; quindi contengono sicuramente la stessa sequenza di colonne.
  2. Le colonne iniziali di P e Q differiscono per multipli della lunghezza del periodo, ossia c_q = c_{p + wM} per un certo w \gt 0. Il tratteggio è periodico, quindi sappiamo che c_p = c_{p + vM} per qualsiasi v \gt 0, quindi anche per v = w: per cui c_p = c_{p + wM} = c_q, ma anche c_{p+1} = c_{p + wM + 1} = c_{q + 1} e così via, per cui P e Q contengono entrambi la stessa sequenza di colonne ripetuta.
  3. P e Q hanno colonne in comune ma non coincidono, ossia c_p \lt c_q \leq c_{p + M - 1}. Possiamo rappresentare P e Q in questo modo, evidenziando in giallo le colonne che appartengono solo a P, in rosso quelle che appartengono solo a Q, e in verde quelle comuni:

    \ldots c_p \ldots c_{q - 1} c_q \ldots c_{p + M - 1} c_{p + M} \ldots c_{q + M - 1} \ldots

    In questo modo, abbiamo diviso l’intervallo in tre sezioni:

    • J da c_p a c_{q - 1};
    • K da c_q a c_{p + M - 1};
    • L da c_{p + M} a c_{q + M - 1}.

    Indicando con T_i il numero di trattini di una sezione e con S_i il numero di spazi, si ha:

    • T_P = T_J + T_K;
    • T_Q = T_K + T_L;
    • S_P = S_J + T_K;
    • S_Q = S_K + T_L.

    Ma anche le sezioni J e L hanno a loro volta le colonne uguali, dato che, essendo il tratteggio periodico, si ha c_p = c_{p + M}, c_{p + 1} = c_{p + M + 1}, e così via fino a c_{q - 1} = c_{q + M - 1}. Quindi si ha anche T_J = T_L e S_J = S_L, da cui si ottiene

    • T_P = T_J + T_K;
    • T_Q = T_K + T_J;
    • S_P = S_J + S_K;
    • S_Q = S_K + S_J.

    ossia

    • T_P = T_J + T_K = T_Q;
    • S_P = S_J + S_K = S_Q.

    il che vuol dire che P e Q hanno lo stesso numero di trattini e spazi.

  4. P e Q sono distanziati, ma non fanno parte dello stesso periodo, ossia c_q = c_{p + vM + w}, per un certo w \gt 0 e un certo w tale che 0 \lt w \leq M - 1. Questo caso può essere facilmente ricondotto al precedente, dato che il tratteggio è periodico: se infatti sottraiamo wM dagli estremi di Q, otteniamo un nuovo intervallo, che chiameremo R, che inizia con c_{p + w}, e, a causa della periodicità, ha le stesse colonne di Q. Dato che 0 \lt w \leq M - 1, l’estremo iniziale di R è tale che c_p \lt c_{p + w} \lt c_{M - 1}, per cui P e R si trovano nella stessa situazione del caso precedente.

I tratteggi lineari sono periodici

Un tratteggio lineare (n_1, n_2, \dots, n_k) è periodico, con lunghezza del periodo pari a M = \textrm{MCM}(n_1, n_2, \dots, n_k). Inoltre, il numero dei trattini di un periodo è l = \frac{M}{n_1} + \frac{M}{n_2} + \dots + \frac{M}{n_k}.

Data la singola riga relativa a n_i, sicuramente la colonna j e la j + h_i \cdot n_i, per ogni h_i \gt 0, sono uguali, dato che:

  • Se la colonna j è un trattino, è multipla di n_i, quindi esiste k tale che j = k \cdot n_i; per cui si ha j + h_i \cdot n_i = k \cdot n_i + h_i \cdot n_i = (k + h_i) \cdot n_i. Quindi anche la colonna j + h_i \cdot n_i è a sua volta multipla di n_i, quindi è a sua volta un trattino.
  • Se la colonna j non è un trattino, non lo è neanche j + h_i \cdot n_i, perché, ragionando per assurdo, se j + h_i \cdot n_i fosse multipla di n_i, esisterebbe q tale che j + h_i \cdot n_i = q \cdot n_i, da cui si avrebbe j = q \cdot n_i - h_i \cdot n_i = (q - h_i) \cdot n_i. Quindi la colonna j sarebbe a sua volta multipla di n_i, ossia un trattino, il che contraddice l’ipotesi.

Quindi, ponendo h_i = 1, la colonna j e la j + h_i della riga n_i, dove h_i è un multiplo di n_i, sono uguali; per cui, se h è contemporaneamente multiplo di n_1, n_2, \ldots n_k, la colonna j e la j + h sono a loro volta uguali. Allora T è sicuramente periodico per definizione; sempre per definizione, la lunghezza del periodo è data dal minimo h possibile, ossia da M = \textrm{MCM}(n_1, ... n_k).

Passiamo ora a dimostrare che il numero dei trattini di un periodo è M / n_1 + M / n_2 + ... M / n_k.
Se c è un trattino, è un multiplo di n_i, quindi esiste v tale che c = v \cdot n_i; quindi c è il v-esimo multiplo di n_i. Dato che il tratteggio è periodico, c + M è un trattino, quindi esiste w tale che c + M = (v + w) \cdot n_i; quindi c + M è il v + w-esimo multiplo di n_i. Allora, il trattino immediatamente precedente a c + M è il v + w - 1-esimo multiplo di n_i, per cui i trattini totali nella riga di n_i sono l’ultimo meno il primo più 1, ossia (v + w - 1) - v + 1 = v + w - 1 - v + 1 = w. Da c + M = (v + w) \cdot n_i si ha:

v \cdot n_i + M = (v + w) \cdot n_i
v \cdot n_i + M = v \cdot n_i + w \cdot n_i
M = w \cdot n_i
w = M / n_i

Ossia, nella riga di n_i, se la colonna c è un trattino, ci sono M / n_i trattini.

Se invece c non fosse un trattino, il ragionamento sarebbe analogo, ma partendo dal trattino immediatamente successivo a c. Questo trattino sarebbe c + r_i = v \cdot n_i, per qualche 0 < r_i < n_i; analogamente c + r_i + M = (v + w) \cdot n_i, e si arriverebbe alla stessa conclusione, ossia che il trattino immediatamente precedente a c + M sarebbe il v + w - 1-esimo multiplo di n_i.

Infine, sommando su tutte le righe, il numero di trattini totali è M / n_1 + M / n_2 + \ldots + M / n_k.

La formula che calcola il numero di trattini di un periodo è particolarmente importante, perchè ricorrerà spesso nelle formule della teoria dei tratteggi che vedremo nei prossimi articoli. In particolare ci interessa un caso specifico di questa formula, in cui le componenti del tratteggio sono a due a due coprime. In questo caso il loro minimo comune multiplo coincide col loro prodotto: M = n_1 \cdot \ldots \cdot n_k. Si ottiene così il seguente Corollario della Proprietà T.4:

Numero di trattini di un periodo di un tratteggio lineare con componenti a due a due coprime

Sia T = (n_1, \ldots, n_k) un tratteggio lineare le cui componenti sono a due a due coprime. Il numero di trattini in un qualsiasi periodo di T è dato dalla formula

\frac{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}{n_1} + \ldots + \frac{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}{n_k} = \sum_{i=1}^k \frac{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}{n_i} \tag{1}

In particolare, per gli ordini k \leq 3, invertendo l’ordine dei termini della sommatoria, si hanno le seguenti formule:

  • Se k = 1: n_1
  • Se k = 2: n_1 + n_2
  • Se k = 3: n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3

Osserviamo che i polinomi generati dalla (1) sono simmetrici: in ciascuno di essi possiamo permutare in qualsiasi modo due o più variabili, riottenendo sempre lo stesso polinomio. Ad esempio, nel polinomio n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3, mettendo n_1 al posto di n_2​, n_2​ al posto di n_3​ ed n_3​ al posto di n_1​ si ottiene il polinomio n_3 n_1 + n_3 n_2 + n_1 n_3 che, tenendo conto della commutatività del prodotto e della somma, è equivalente al polinomio di partenza.
Ma i polinomi generati dalla (1) non sono dei polinomi simmetrici qualsiasi: essi si chiamano polinomi simmetrici elementari (v. Definizioni e simboli) ed hanno una grande importanza in algebra. Il polinomio ottenuto sopra per un certo valore di k si indica in generale con la notazione \sigma_{k-1}(n_1, \ldots, n_k).

Simmetria

Non solo i tratteggi lineari sono periodici, ma sono anche simmetrici, nel senso che, se M è la lunghezza del periodo, preso l’insieme delle M+1 colonne consecutive \{0,1,\ldots,M-1,M\} (cioè il periodo che comincia con la colonna 0, più un’altra colonna), l’ultima colonna di questo insieme è uguale alla prima; la penultima è uguale alla seconda, e così via.
Possiamo facilmente visualizzare questa proprietà riprendendo il tratteggio (2,3) della Tabella 14. In questo caso la lunghezza del periodo è \textrm{MCM}(2, 3) = 2 \cdot 3 = 6, e si può osservare la simmetria nell’insieme delle colonne \{0,1,2,3,4,5,6\}. Infatti, la colonna 0 è uguale alla colonna 6, la colonna 1 è uguale alla colonna 5, la 2 è uguale alla 4; infine la colonna 3, che coincide naturalmente con se stessa, funge da centro di simmetria della porzione di tratteggio considerata (questo centro di simmetria esiste per il fatto che il numero di colonne considerate, 7, è dispari; altrimenti ci sarebbe stata simmetria senza avere una colonna centrale):

Tabella 18: rappresentazione grafica del tratteggio lineare (2, 3), dove sono evidenziate con lo stesso colore le colonne simmetriche dell’insieme \{0,\ldots,6\}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Una simmetria del genere non può essere osservata in qualunque insieme di colonne consecutive, per esempio non c’è simmetria nelle colonne \{1,2,3,4,5,6,7\} o nelle colonne \{0,2,3,4,5,6,7,8\}. Tuttavia c’è simmetria in altri insiemi di colonne, in virtù della periodicità. Ad esempio, sempre con riferimento al tratteggio (2,3), sappiamo che le colonne da 0 a 6 coincidono, nell’ordine, con le colonne da 6 a 12, per cui anche questa porzione del tratteggio presenta la stessa simmetria:

Tabella 19: rappresentazione grafica del tratteggio lineare (2, 3), dove sono evidenziate con lo stesso colore le colonne simmetriche dell’insieme \{6,\ldots,12\}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Analogamente, si può osservare una simmetria in qualunque insieme di colonne del tipo \{k \cdot M, \ldots, (k + 1) \cdot M, per ogni k \geq 0. Ma possiamo andare anche oltre, applicando la periodicità per estendere la porzione di colonne simmetriche considerate. Infatti:

  • La colonna 0 è simmetrica alla colonna 6 rispetto al gruppo di colonne da 0 a 6, ma la colonna 6, per la periodicità, è uguale alla colonna 12
  • La colonna 1 è simmetrica alla colonna 5 rispetto al gruppo di colonne da 0 a 6, ma la colonna 5, per la periodicità, è uguale alla colonna 11
  • La colonna 2 è simmetrica alla colonna 4 rispetto al gruppo di colonne da 0 a 6, ma la colonna 4, per la periodicità, è uguale alla colonna 10
  • La colonna 3, per la periodicità, è uguale alla colonna 9
  • La colonna 8 è simmetrica alla colonna 10 rispetto al gruppo di colonne da 6 a 12, ma la colonna 10, per la periodicità, è uguale alla colonna 4
  • La colonna 7 è simmetrica alla colonna 11 rispetto al gruppo di colonne da 6 a 12, ma la colonna 11, per la periodicità, è uguale alla colonna 5
  • La colonna 6, per la periodicità, è uguale alla colonna 0

Prendendo nel complesso tutte queste osservazioni, ciò che si ottiene è la simmetria di un gruppo di colonne più ampio, da 0 a 12:

Tabella 20: rappresentazione grafica del tratteggio lineare (2, 3), dove sono evidenziate con lo stesso colore le colonne simmetriche dell’insieme \{0,\ldots,12\}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Allo stesso modo si può osservare che qualunque insieme di colonne comprese tra due multipli della lunghezza del periodo M, è simmetrico. Enunciamo la proprietà di simmetria dei tratteggi lineari in questa forma più generale:

I tratteggi lineari sono simmetrici

Dato un tratteggio lineare avente lunghezza del periodo M, preso qualunque insieme di colonne consecutive comprese tra due multipli di M compresi, esse sono simmetriche, nel senso che la prima delle colonne considerate è uguale all’ultima, la seconda è uguale alla penultima, e così via. In altri termini, per ogni h \geq 0 e per ogni k \gt h, la colonna h \cdot M + i è uguale alla colonna k \cdot M - i, per ogni 0 \leq i \leq (k - h) \cdot M.

Dobbiamo dimostrare che:

  1. Per ogni h \geq 0 e per ogni k \gt h, se in corrispondenza della riga di n_j e della colonna h \cdot M + i c’è un trattino, allora in corrispondenza della riga di n_j e della colonna k \cdot M - i c’è un trattino, per ogni 0 \leq i \leq (k − h) \cdot M.
  2. Per ogni h \geq 0 e per ogni k \gt h, se in corrispondenza della riga di n_j e della colonna h \cdot M + i non c’è un trattino, allora in corrispondenza della riga di n_j e della colonna k \cdot M - i non c’è un trattino, per ogni 0 \leq i \leq (k − h) \cdot M.

Iniziamo con il dimostrare il punto 1. Per ipotesi, nella riga di n_j e nella colonna h \cdot M + i c’è un trattino, quindi, per h = 0, anche nella colonna i c’è un trattino, per cui i è un multiplo di n_j. Allora, esiste v \gt 0 tale che i = v \cdot n_j.
Per ipotesi, M è (il minimo comune) multiplo di tutte le righe compresa quella di n_j, quindi esiste w \gt 0 tale che M = w \cdot n_j. Quindi si ha:

k \cdot M - i = k \cdot w \cdot n_j - v \cdot n_j = n_j \cdot (k \cdot w - v)

Per cui, anche k \cdot M - i è a sua volta un multiplo di n_j, quindi anche in k \cdot M - i c’è un trattino, che è la tesi.

Passiamo ora al punto 2, che invece si dimostra per assurdo. Il primo passo è negare la tesi: supporremo quindi che in corrispondenza della riga di n_j e della colonna k \cdot M - i ci sia un trattino.

Per ipotesi, k \cdot M - i è un trattino, quindi, per k = 1, in M - i c’è un trattino. Per il punto 1, ponendo h = 0 e k = 1, si ha che, se nella colonna i c’è un trattino, allora nella colonna M - i c’è a sua volta un trattino.
Quindi, se in M - i c’è un trattino, in M - (M - i) = i c’è un trattino; per cui esiste v \gt 0 tale che i = v \cdot n_j.
Ma per ipotesi, M è (il minimo comune) multiplo di tutte le righe, compresa quella di n_j, quindi esiste w \gt 0 tale che M = w \cdot n_j. Per cui si ha:

h \cdot M + i = h \cdot w \cdot n_j + v \cdot n_j = (h \cdot w + v) \cdot n_j

Quindi h \cdot M + i è un multiplo di n_j, ossia in corrispondenza della riga di n_j e della colonna h \cdot M + i c’è un trattino, il che contraddice l’ipotesi; per cui la tesi è vera.

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