Premi

Seguendo l’esempio del matematico Paul Erdős, abbiamo deciso di mettere in palio dei premi per la soluzione dei nostri problemi irrisolti. Si tratta di alcuni “punti aperti” delle nostre strategie dimostrative, quelli che riteniamo più significativi per avvicinarci all’obiettivo finale, ossia la dimostrazione della Congettura di Goldbach:

ID	Problema	Premio	Stato
2	Siano $n_1$ , $n_2$ e $n_3$ numeri interi tali che $1 \lt n_1 \lt n_2 \lt n_3$ . Si richiede di trovare una funzione $f: \mathbb{N}^{\star} \Rightarrow \mathbb{N}$ tale che, per ogni $x \gt 0$ : $f(x) - \frac{(n_3)^2}{2} \leq \mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x) \leq f(x) + \frac{(n_3)^2}{2} \tag{1}$ dove $\mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)$ indica l’ $x$ -esimo numero intero positivo non divisibile né per $n_1$ , né per $n_2$ , né per $n_3$ . La funzione $f$ deve essere espressa mediante una formula che comprenda solamente operatori di somma, differenza, prodotto, divisione e distinzione tra un numero finito di casi. Si richiede non solo di trovare $f$ , ma anche di dimostrare che la (1) valga qualunque siano $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ e $x$ . Come punto di partenza si può considerare l’articolo Calcolo di $\mathrm{t\_spazio}$ per tratteggi di ordine arbitrario. La soluzione di questo problema risolverebbe l’ultimo punto aperto dell’articolo citato, con $\delta = \frac{(n_3)^2}{2}$ . Questa scelta di $\delta$ è motivata dal fatto che, se $(n_1, n_2, n_3) = (2, 3, 5)$ , allora $\frac{(n_3)^2}{2} = \frac{25}{2}$ è più piccolo della metà dell’ampiezza dell’intervallo di validità, che in questo caso va da $5 + 1 = 6$ a $7^2 - 1 = 48$ compresi (per cui metà dell’ampiezza vale $(48 - 6)/2 = 21$ ). Ciò garantisce che, se $f(x)$ appartiene all’intervallo di validità, anche $\mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)$ deve appartenervi, perché la differenza in valore assoluto $\|f(x) - \mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)\|$ è minore o uguale a $\frac{(n_3)^2}{2}$ , che a sua volta è minore della metà dell’ampiezza dell’intervallo (nel caso peggiore, $f(x)$ può trovarsi al centro dell’intervallo e $\mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)$ può trovarsi vicino a uno degli estremi, ma sarà sempre entro l’intervallo). In tal modo si potrebbe quindi dimostrare l’esistenza di spazi nell’intervallo di validità del tratteggio $T_3$ (stessa definizione di prima) basandosi esclusivamente sulla funzione $f(x)$ . Chiaramente, se ci si limita al solo tratteggio $T_3$ la verifica dell’esistenza di spazi nell’intervallo di validità può essere effettuata direttamente, ma ci auspichiamo che le soluzioni che riceveremo siano potenzialmente estendibili a tutti i tratteggi $T_k$ .	100€	Nessuna soluzione ricevuta
4	Siano $n_1$ , $n_2$ e $n_3$ numeri primi tali che $n_1 \lt n_2 \lt n_3$ ; sia $n$ un numero intero maggiore di 1. Vogliamo dimostrare che esistono due multipli di $n_1$ , che indicheremo con $n_1 h$ e $n_1 k$ con $h$ e $k$ positivi, tali che: $n_1 h - 1$ e $n_1 k + 1$ non sono divisibili né $n_2$ , né per $n_3$ $h + k = n$ Questo enunciato è una forma più generale di un altro che è stato dimostrato da un nostro lettore (v. Studio dell’esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini per tratteggi di secondo ordine). La dimostrazione di quest’ultimo è però abbastanza complessa perché distingue tra molti casi e sottocasi; ci auspichiamo che invece qualche lettore riesca a dimostrare questo problema più generale ragionando in modo diverso. Questo problema si colloca nell’ambito di una delle nostre strategie dimostrative, quella basata sui trattini. La dimostrazione di questo enunciato sarebbe un passo importante per generalizzarlo ulteriormente, fino a dimostrare l’Ipotesi H.1.T, di cui la Congettura di Goldbach è conseguenza diretta.	100€	Nessuna soluzione ricevuta
3	Siano $n_1, n_2, \ldots, n_k$ numeri interi tali che $1 \lt n_1 \lt n_2 \lt \ldots \lt n_k$ . Si consideri l’insieme $S := \left\{x > 0 \mid \begin{aligned}&x \textrm{ non è divisibile per nessuno degli interi } n_1, n_2, ..., n_k;\\& x + 1 \textrm{ è divisibile per } n_1 \end{aligned}\right\}$ Si richiede di dimostrare che tale insieme è esprimibile come $S = \{f(x)\ \|\ g(x) \in \{n_2 a_2 + n_3 a_3 + ... + n_k a_k\ \|\ a_2 \in I_2, a_3 \in I_3, ..., a_k \in I_k\}\}$ dove: $f(x)$ e $g(x)$ sono funzioni da $\mathbb{N}^{\star}$ in $\mathbb{N}$ definite solamente mediante operatori di somma, differenza, prodotto, divisione, modulo, parte intera approssimata per eccesso o per difetto, distinzione tra un numero finito di casi. $I_2, I_3, \ldots, I_k$ sono sottoinsiemi finiti di $\mathbb{N}^{\star}$ Si consiglia di partire dalla dimostrazione della Proposizione L.C.5 (Spazi di un tratteggio del terzo ordine che precedono un trattino della prima riga). Dimostrare un teorema di questo tipo sarebbe fondamentale per fare dei passi in avanti in una delle nostre strategie dimostrative, quella basata sui trattini.	200€	Nessuna soluzione ricevuta

Problema

Premio

Stato

Siano

n_1

n_2

n_3

numeri interi tali che

1 \lt n_1 \lt n_2 \lt n_3

. Si richiede di trovare una funzione

f: \mathbb{N}^{\star} \Rightarrow \mathbb{N}

tale che, per ogni

x \gt 0

f(x) - \frac{(n_3)^2}{2} \leq \mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x) \leq f(x) + \frac{(n_3)^2}{2} \tag{1}

dove $\mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)$ indica l’ $x$ -esimo numero intero positivo non divisibile né per $n_1$ , né per $n_2$ , né per $n_3$ .
La funzione $f$ deve essere espressa mediante una formula che comprenda solamente operatori di somma, differenza, prodotto, divisione e distinzione tra un numero finito di casi. Si richiede non solo di trovare $f$ , ma anche di dimostrare che la (1) valga qualunque siano $n_1$ , $n_2$ , $n_3$ e $x$ .

Come punto di partenza si può considerare l’articolo Calcolo di $\mathrm{t\_spazio}$ per tratteggi di ordine arbitrario. La soluzione di questo problema risolverebbe l’ultimo punto aperto dell’articolo citato, con $\delta = \frac{(n_3)^2}{2}$ .

Questa scelta di

\delta

è motivata dal fatto che, se

(n_1, n_2, n_3) = (2, 3, 5)

, allora

\frac{(n_3)^2}{2} = \frac{25}{2}

è più piccolo della metà dell’ampiezza dell’intervallo di validità, che in questo caso va da

5 + 1 = 6

7^2 - 1 = 48

compresi (per cui metà dell’ampiezza vale

(48 - 6)/2 = 21

). Ciò garantisce che, se

f(x)

appartiene all’intervallo di validità, anche

\mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)

deve appartenervi, perché la differenza in valore assoluto

|f(x) - \mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)|

è minore o uguale a

\frac{(n_3)^2}{2}

, che a sua volta è minore della metà dell’ampiezza dell’intervallo (nel caso peggiore,

f(x)

può trovarsi al centro dell’intervallo e

\mathrm{t\_spazio}_{(n_1, n_2, n_3)}(x)

può trovarsi vicino a uno degli estremi, ma sarà sempre entro l’intervallo). In tal modo si potrebbe quindi dimostrare l’esistenza di spazi nell’intervallo di validità del tratteggio

T_3

(stessa definizione di prima) basandosi esclusivamente sulla funzione

f(x)

. Chiaramente, se ci si limita al solo tratteggio

T_3

la verifica dell’esistenza di spazi nell’intervallo di validità può essere effettuata direttamente, ma ci auspichiamo che le soluzioni che riceveremo siano potenzialmente estendibili a tutti i tratteggi

T_k

100€

Nessuna soluzione ricevuta

Siano $n_1$ , $n_2$ e $n_3$ numeri primi tali che $n_1 \lt n_2 \lt n_3$ ; sia $n$ un numero intero maggiore di 1. Vogliamo dimostrare che esistono due multipli di $n_1$ , che indicheremo con $n_1 h$ e $n_1 k$ con $h$ e $k$ positivi, tali che:

$n_1 h - 1$ e $n_1 k + 1$ non sono divisibili né $n_2$ , né per $n_3$
$h + k = n$

Questo enunciato è una forma più generale di un altro che è stato dimostrato da un nostro lettore (v. Studio dell’esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini per tratteggi di secondo ordine). La dimostrazione di quest’ultimo è però abbastanza complessa perché distingue tra molti casi e sottocasi; ci auspichiamo che invece qualche lettore riesca a dimostrare questo problema più generale ragionando in modo diverso.

Questo problema si colloca nell’ambito di una delle nostre strategie dimostrative, quella basata sui trattini. La dimostrazione di questo enunciato sarebbe un passo importante per generalizzarlo ulteriormente, fino a dimostrare l’Ipotesi H.1.T, di cui la Congettura di Goldbach è conseguenza diretta.

100€

Nessuna soluzione ricevuta

Siano

n_1, n_2, \ldots, n_k

numeri interi tali che

1 \lt n_1 \lt n_2 \lt \ldots \lt n_k

. Si consideri l’insieme

S := \left\{x > 0 \mid \begin{aligned}&x \textrm{ non è divisibile per nessuno degli interi } n_1, n_2, ..., n_k;\\& x + 1 \textrm{ è divisibile per } n_1 \end{aligned}\right\}

Si richiede di dimostrare che tale insieme è esprimibile come

S = \{f(x)\ |\ g(x) \in \{n_2 a_2 + n_3 a_3 + ... + n_k a_k\ |\ a_2 \in I_2, a_3 \in I_3, ..., a_k \in I_k\}\}

dove:

$f(x)$ e $g(x)$ sono funzioni da $\mathbb{N}^{\star}$ in $\mathbb{N}$ definite solamente mediante operatori di somma, differenza, prodotto, divisione, modulo, parte intera approssimata per eccesso o per difetto, distinzione tra un numero finito di casi.
$I_2, I_3, \ldots, I_k$ sono sottoinsiemi finiti di $\mathbb{N}^{\star}$

Si consiglia di partire dalla dimostrazione della Proposizione L.C.5 (Spazi di un tratteggio del terzo ordine che precedono un trattino della prima riga).

Dimostrare un teorema di questo tipo sarebbe fondamentale per fare dei passi in avanti in una delle nostre strategie dimostrative, quella basata sui trattini.

200€

Nessuna soluzione ricevuta

Se pensate di aver trovato la soluzione per uno di questi problemi:

Scrivetela in tutti i dettagli, in italiano o in inglese, ed inviatela a . Potete usare il formato che preferite, purché sia facilmente leggibile, ad esempio Word con formule scritte in MathType, PDF generati da LaTeX, oppure pagine HTML che fanno uso delle librerie KaTeX o MathJax (preferiamo quest’ultimo formato, perché ci faciliterebbe la pubblicazione sul nostro sito nel caso in cui la soluzione fosse accettata).
Vi risponderemo in breve tempo confermandovi la ricezione della vostra mail. Contestualmente, aggiorneremo lo stato del problema in questa pagina, per rendere pubblico il fatto che abbiamo ricevuto una soluzione.
Esamineremo la vostra soluzione per verificare se è valida. Questa fase, che è la più delicata, potrebbe richiedere del tempo. Nel caso avessimo ricevuto più soluzioni per lo stesso problema, le esamineremo tutte in ordine di ricezione. Solo la prima soluzione che riterremo valida avrà diritto al premio, ma tutte le soluzioni valide potranno essere pubblicate sul nostro sito.
Se riterremo la vostra soluzione non valida, ad esempio perché errata o incompleta, ve lo segnaleremo, eventualmente proponendo dei miglioramenti, in modo che possiate inviarcene una nuova versione. Se ce la invierete modificata, la esamineremo nuovamente, riprendendo dal punto 3.
Se riterremo la vostra soluzione valida, vi chiederemo il consenso per pubblicarla sul nostro sito sotto la Licenza Creative Commons Attribuzione – Condividi allo stesso modo 3.0 Unported, citando il vostro nome (o lo pseudonimo che preferite). Tale consenso è obbligatorio ai fini del ricevimento del premio.
Ricevuto il consenso richiesto, aggiorneremo lo stato del problema con la dicitura “Risolto, da pubblicare”
Vi chiederemo le coordinate del vostro conto corrente bancario, per procedere all’erogazione del premio. Riceverete un bonifico bancario da un conto corrente italiano, con causale “soluzione problema X www.dimostriamogoldbach.it”, dove X è l’ID del problema. Al momento non sono previste altre modalità di erogazione del premio.
Pubblicheremo la vostra soluzione sul nostro sito, rispettando la Licenza Creative Commons Attribuzione – Condividi allo stesso modo 3.0 Unported. Contestualmente, rimuoveremo il problema da questa pagina.