Il prodotto dei primi numeri primi: una minorazione

Prerequisito:

Abbiamo notato che le funzioni \theta^{\star}(x) e \psi^{\star}(x) si comportano, in un certo senso, in maniera opposta. Infatti, confrontando la Proposizione N.3 (Minorazione di \psi^{\star}(x)) con la Proposizione N.1 (Maggiorazione del prodotto dei numeri primi fino ad x) si vede che, mentre \psi^{\star}(x) si presta ad essere minorata, \theta^{\star}(x) si presta ad essere maggiorata. La stessa cosa accade quando si introduce la funzione \pi(x): abbiamo visto nel Corollario della Proposizione N.2 che \psi^{\star}(x) può essere maggiorata da un’espressione contenente \pi(x); allo stesso modo, ora vedremo come \theta^{\star}(x) può essere minorata da un’espressione analoga.

Fissiamo un numero intero x e supponiamo che x \gt 1, in modo che vi sia almeno un primo fino a x. Un modo ovvio per minorare la funzione \theta^{\star} consiste nell’escludere alcuni dei primi coinvolti nel suo calcolo, cioè considerare il prodotto di un sottoinsieme di essi. Ma quali escludere? Dato che si tratta di effettuare una minorazione, essa è tanto migliore quanto più il numero ottenuto è grande, cioè vicino a \theta^{\star}(x). Allora la migliore minorazione possibile si ha escludendo i numeri primi più piccoli: potete capirlo facilmente con un esempio, come \theta^{\star}(7) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7: volendo escludere dal prodotto un numero primo, tra i quattro prodotti possibili (3 \cdot 5 \cdot 7, 2 \cdot 5 \cdot 7, 2 \cdot 3 \cdot 7 e 2 \cdot 3 \cdot 5), il più grande è proprio quello ottenuto escludendo il numero primo più piccolo, cioè 3 \cdot 5 \cdot 7.
È questo il principio alla base della minorazione di \theta^{\star}: dal prodotto completo si escludono i fattori primi più piccoli, e poi si cerca una stima per difetto del prodotto di quelli rimasti. In questo modo si ottiene il Lemma N.3.

Minorazione di \theta^{\star}(x) mediante \pi(x)

Per ogni numero reale \delta \geq 0 e per ogni x \gt 1:

\theta^{\star}(x) \gt \left(x^{\delta}\right)^{\pi(x) - x^{\delta}}

Volendo possiamo includere anche il caso x = 1 mettendo \geq al posto di \gt. Questo comunque ha poca importanza, perché ci interessano i valori grandi di x.

Abbiamo visto che, per ottenere una buona stima per difetto, conviene escludere, dal prodotto dei numeri primi fino a x, quelli più piccoli, partendo da 2 fino ad un certo p_i. Ma qual è questo p_i? Dove dobbiamo fermarci nel togliere i primi? È naturale che questo numero dipenda da x, come il numero totale di fattori primi, che è \pi(x). Le scelte più ovvie in questo caso sono \delta x o x^\delta, per qualche costante \delta. Ad esempio, per \delta = \frac{1}{2}, possiamo scegliere di escludere i primi \frac{x}{2} o i primi x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} numeri primi (supponendo per il momento, per semplicità, che questi siano numeri interi). L’esperienza insegna che è più conveniente la seconda scelta. Il motivo è abbastanza sottile e lo vedremo nel prossimo articolo. Per il momento stabiliamo di escludere, dal prodotto \theta^{\star}(x), i primi \sqrt{x} numeri primi. Così facendo, il numero di primi considerati scende da \pi(x) a \pi(x) - \sqrt{x}. Tutto ciò naturalmente ha senso solo se \sqrt{x} \leq \pi(x), caso limite in cui elimineremmo tutti i fattori, ottenendo un prodotto di zero fattori che, come abbiamo convenuto, vale 1. Di certo non può essere \sqrt{x} \gt \pi(x): non possiamo eliminare più fattori di quanti ne abbiamo. Non conviene però perdersi in questi dettagli: andiamo avanti supponendo che \sqrt{x} \leq \pi(x) e alla fine vedremo se la conclusione a cui giungeremo è valida anche se questa supposizione fosse falsa.
Ora, osservando i \pi(x) - \sqrt{x} fattori rimanenti, notiamo che ciascuno di essi è maggiore di \sqrt{x}. Questo deriva da un principio generale. In una successione finita strettamente crescente di interi positivi 0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_{n-1} \lt a_n, l’i-esimo elemento a_i è maggiore o uguale ad i (infatti a_1 \gt 0 \implies a_1 \geq 1, a_2 \gt a_1 \geq 1 \implies a_2 \geq 2, eccetera). Allora se togliamo i primi k elementi, cioè a_1, a_2, \ldots, a_{k}, gli elementi rimasti a_{k+1}, \ldots, a_{n-1}, a_{n} saranno tutti maggiori di k. Infatti, per l’osservazione precedente, a_{k+1} \geq k+1 \gt k ed i successivi elementi saranno anch’essi maggiori di k perché la succeessione è crescente. Nel nostro caso la successione strettamente crescente è quella dei numeri primi minori o uguali ad x: 2, 3, \ldots, p_{\pi(x) - 1}, p_{\pi(x)}, ed il numero k è \sqrt{x}. Dopo la rimozione, il più piccolo numero primo rimasto sarà p_{\sqrt{x} + 1} e, per questo semplice principio, possiamo essere certi che esso sarà maggiore di \sqrt{x}, come anche tutti gli altri primi rimasti, che saranno ancora più grandi.
Ricapitolando, dopo la rimozione restano \pi(x) - \sqrt{x} fattori primi, ciascuno dei quali maggiore di \sqrt{x}. Allora il loro prodotto è maggiore di

\underbrace{\sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x}}_{\pi(x) - \sqrt{x} \textrm{ volte}} = \sqrt{x}^{\pi(x) - \sqrt{x}}

Essendo inoltre il prodotto dei fattori rimasti minore del prodotto completo, che è \theta^{\star}(x), abbiamo che

\theta^{\star}(x) \gt \sqrt{x}^{\pi(x) - \sqrt{x}} \tag{1}

Tutto il ragionamento che ha portato alla formula (1) è riassunto nella seguente figura.

Un lemma sul collegamento tra il prodotto dei primi minori o uguali ad x ed il loro numero

Se ora riconsideriamo l’ipotesi che \sqrt{x} \leq \pi(x), vediamo che non è poi così importante, perché la formula (1) vale in ogni caso: se \sqrt{x} \gt \pi(x), l’esponente è negativo ed il numero \sqrt{x}^{\pi(x) - \sqrt{x}} è minore di 1, e quindi anche di \theta^{\star}(x), che è almeno 1 (ricordiamo infatti che \theta^{\star}(1) = 1). Anche l’ipotesi che \sqrt{x} sia un numero intero non è fondamentale: in caso contrario il numero di fattori primi da togliere sarebbe \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor, quelli rimasti sarebbero maggiori di \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor, quindi almeno \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor + 1 e perciò maggiori di \sqrt{x}, e la formula (1) diventerebbe

\theta^{\star}(x) \gt \sqrt{x}^{\pi(x) - \left \lfloor \sqrt{x} \right \rfloor} \geq \sqrt{x}^{\pi(x) - \sqrt{x}}

da cui si ottiene di nuovo la (1).

Questa approssimazione può sembrare grossolana per come è stata ottenuta, ma nasconde un grande potenziale. Infatti il ragionamento che abbiamo portato avanti con la radice quadrata di x, cioè x^{\frac{1}{2}}, può essere ripetuto analogamente con qualsiasi altra potenza di x con esponente reale \delta \geq 0 (non consideriamo le potenze negative perché in tal caso x^{\delta} sarebbe minore di 1, quindi non toglieremmo nessun numero primo e non varrebbe più il ragionamento svolto finora). Grazie a quest’ultima osservazione si ottiene appunto il Lemma N.3.

A titolo di esempio, applichiamo il Lemma per x = 64 e per due valori di \delta, \delta = \frac{1}{3} e \delta = \frac{1}{2}:

\left(64^{\frac{1}{3}}\right)^{\pi(64) - 64^{\frac{1}{3}}} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^{\pi(64) - \sqrt[3]{64}} = \left(\sqrt[3]{64}\right)^{18 - \sqrt[3]{64}} = 4^{18 - 4} = 4^{14} = 268.435.456
\left(64^{\frac{1}{2}}\right)^{\pi(64) - 64^{\frac{1}{2}}} = \left(\sqrt{64}\right)^{\pi(64) - \sqrt{64}} = \left(\sqrt{64}\right)^{18 - \sqrt{64}} = 8^{18 - 8} = 8^{10} = 1.073.741.824

Entrambe, per il Lemma N.3, sono delle approssimazioni per difetto di \theta^{\star}(64) = 117.288.381.359.406.970.983.270. La seconda è un po’ più vicina al valore reale, ma sono entrambe molto lontane. Eppure, come vedremo nei prossimi articoli, questo tipo di approssimazione è sufficiente per dire qualcosa di interessante sui numeri primi.

Si può notare, anche partendo dall’esempio precedente, che al crescere di \delta si ottiene una approssimazione migliore, ma questo vale per valori minori di 1. Infatti per \delta \geq 1 si ottiene un esponente negativo che produce una stima prossima allo zero, e dunque di nessuna utilità. Ad esempio, riprendendo l’esempio di x = 64 e ponendo \delta = 1, si ottiene:

\left(64^{1}\right)^{\pi(64) - 64^{1}} = 64^{\pi(64) - 64} = 64^{18 - 64} = 64^{-46} \approx 0

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