Prerequisiti:
In teoria dei numeri, per capire alcune dimostrazioni, è necessaria una certa familiarità col concetto di ”serie numerica”. In questo articolo, dopo aver introdotto brevemente questo concetto, ci soffermeremo su alcune serie utilizzate in teoria dei numeri, che non sempre vengono studiate a scuola o all’università; vedremo in particolare alcune tecniche utili nella pratica per operare con tali serie.
Questo articolo non ha la pretesa di trattare le serie numeriche in modo rigoroso, né in modo esaustivo, ma può essere visto come uno studio complementare per chi ha già studiato le serie, e come spunto di approfondimento per chi non le ha mai studiate.
Breve introduzione alle serie numeriche
Iniziamo il nostro studio sulle serie partendo da un caso concreto, che ricorre spesso in teoria dei numeri. Indicando con p un numero primo, consideriamo la seguente espressione, che è un esempio di serie numerica:
Equivalentemente, si può anche utilizzare la seguente notazione, che descrive la serie in oggetto come una somma (non a caso la lettera greca \Sigma è l’equivalente della lettera S, l’iniziale appunto di “somma”), per ogni i che va da 1 all’infinito, degli inversi di tutti i numeri primi elevati a i:
D’ora in avanti, tuttavia, preferiremo la notazione con i puntini, perché spesso è di più semplice lettura. In tale notazione non è importante quanti termini ci sono prima dei puntini ma, più ce ne sono, più è chiaro come è fatta la serie. In ogni caso, a prescindere da quanti sono i termini prima dei puntini, l’entità matematica rappresentata, cioè la serie stessa, non cambia.
Da un punto di vista intuitivo, una serie può essere considerata una “somma infinita” di numeri reali; nella (1) per esempio abbiamo la “somma” degli inversi di tutte le potenze di p da 1 in poi; la parola “somma” è qui usata in senso intuitivo e formalmente improprio perché – è bene averlo bene in mente – in matematica non esistono “somme infinite”, ma una “somma” di infiniti termini è in realtà definita come il limite della successione delle sue somme parziali, dove per somma parziale si intende la somma dei suoi primi n termini. Questo limite, calcolato per n che tende a infinito, viene chiamato somma della serie, anche se in effetti non è una somma, ma un limite di somme. La serie da cui siamo partiti ad esempio è il limite della seguente successione:
Si tratta quindi del seguente limite:
Premesso ciò, può essere utile vedere una serie come una somma infinita; l’importante è tenerne a mente il vero significato, ossia ricordare che è il limite della successione delle sue somme parziali.
Da un punto di vista grafico, ciascun termine della serie può essere rappresentato da un rettangolo avente per base 1 e per altezza il valore numerico del termine stesso che, dato che la base è 1, coinciderà anche con l’area. La somma della serie è quindi il limite del processo di calcolo incrementale dell’area dei primi n rettangoli, per n che tende a infinito, come mostrato nell’immagine seguente con riferimento alla serie (1) per p = 2:
Intuitivamente, si può pensare questo limite come l’area dell’immaginario istogramma completo contenente infiniti rettangoli, uno per ciascun termine della serie; è bene però ricordare che questo “istogramma infinito”, al pari della “somma infinita”, non esiste come oggetto matematico, ma è solamente un modo di vedere il limite del processo grafico illustrato sopra.
Se il limite delle somme parziali di una serie esiste ed è un numero reale (in particolare non è \pm \infty), la serie si dice convergente (altri tipi di serie, dove il limite non esiste o è infinito, sono meno importanti per i nostri articoli).
La serie (1) è convergente, cioè il limite esiste. Ciò che garantisce l’esistenza del limite, in base a risultati noti, è che la serie è del tipo:
dove x è un numero reale tale che |x| \lt 1.
Una serie come la (2) è chiamata serie geometrica di ragione x, ed è noto che la sua somma (cioè \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} x^n) è uguale a:
Nel caso della serie (1), essendo \left| \frac{1}{p} \right| \lt 1, possiamo porre x := \frac{1}{p}, concludendo che la somma delle serie è:
In particolare, il fatto che p sia primo in questo caso non ha nessun ruolo nel rendere convergente la serie; tuttavia la serie (1) ricorre spesso in teoria dei numeri, tanto da giustificare l’introduzione della seguente Proprietà:
Serie degli inversi delle potenze di un numero primo
Sia p un numero primo. Allora:
Una tecnica per calcolare la somma di una serie convergente
Per capire se una serie è convergente ci sono diversi criteri che per brevità non tratteremo in questo articolo. Ci concentreremo invece sull’aspetto numerico, ossia vedremo come calcolare la somma di una serie quando già è noto, mediante un certo criterio o in base a qualche teorema, che essa converge. Questo aspetto è utile quando si studia la teoria dei numeri, in particolare riguardo ad alcune dimostrazioni dove ci sono dei passaggi sostituiscono una serie con la sua somma.
Nel caso della serie precedente, si può ragionare in questo modo:
- Supponiamo che la serie sia convergente, ossia supponiamo che esista un numero reale S tale che
1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots = S
- Moltiplichiamo tutto per p:
p + \frac{p}{p} + \frac{p}{p^2} + \frac{p}{p^3} + \ldots = pS
poi semplifichiamo:
p + 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \ldots = pS - Osserviamo che 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \ldots è la serie di partenza (con un termine in meno prima dei puntini, ma, come abbiamo detto all’inizio, si tratta di una rappresentazione alternativa della stessa serie); quindi possiamo sostituire S al posto di 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \ldots, ottenendo
p + S = pS
- A questo punto non resta che ricavare S:
\begin{aligned}p + S = pS & \Rightarrow \\ p = pS - S & \Rightarrow \\ p = (p - 1)S & \Rightarrow \\ S = \frac{p}{p - 1} & \end{aligned}
La formula (3), valida per la serie 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots, si può ricavare con passaggi simili. L’unica ulteriore accortezza, rispetto al caso precedente, è che si deve supporre x \neq 1; questa ipotesi infatti rende valido l’ultimo passaggio della dimostrazione, in cui si divide per 1 - x.
Supponiamo che la serie converga e abbia somma S:
Moltiplichiamo per x:
Osserviamo che la serie ottenuta è la stessa di partenza privata del termine iniziale; per ritrovare la serie di partenza, possiamo quindi aggiungere quel termine ad ambo i membri:
Ora abbiamo a sinistra la serie di partenza, che possiamo sostituire con S:
Risolviamo l’equazione:
Osserviamo che nell’ultimo passaggio abbiamo diviso per 1 - x, per cui va aggiunta l’ipotesi che x \neq 1.
In generale, la tecnica che proponiamo consiste nei seguenti passi:
- Supporre che la serie sia convergente, cioè supporre che esista un numero reale S uguale alla somma della serie, quindi scrivere l’uguaglianza tra la serie e S;
- Effettuare una o più operazioni algebriche sia a sinistra dell’uguaglianza (cioè sulla serie) che a destra (su S) in modo che a sinistra, semplificando, si ottenga un’espressione che contiene la serie di partenza;
- A sinistra, sostituire S al posto della serie di partenza, ottenendo un’equazione nell’incognita S;
- Risolvere l’equazione per trovare quanto vale S.
Questa tecnica ha il vantaggio di rendere possibile studiare le serie numeriche senza utilizzare altre tecniche sofisticate, ma ha anche il difetto di non aiutarci a capire se una serie converge o meno; la convergenza è sempre un’ipotesi che deve essere verificata in partenza.
Per sottolineare l’importanza dell’ipotesi di convergenza, possiamo provare ad applicare la formula (3) a una serie geometrica che non converge. Ad esempio, se nella serie (2) sostituiamo x = 2, otteniamo la serie 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots, che, secondo la formula (3), avrebbe somma \frac{1}{1 - 2} = \frac{1}{-1} = -1, il che è assurdo: ecco una delle trappole delle serie numeriche!
In sintesi, dobbiamo quindi ricordare che la nostra tecnica fornisce il risultato corretto solo quando è già noto che la serie converge, ma non aiuta a stabilire se essa converga o meno. Enunceremo quindi proprietà come la seguente, in cui come ipotesi compare sia la convergenza della serie, sia eventuali valori da escludere per rendere validi i passaggi della dimostrazione:
Serie delle potenze di un numero reale
Sia x un numero reale diverso da 1. Se la serie 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots converge, allora:
Nel caso della serie geometrica, sappiamo che essa converge quando |x| \lt 1, perciò nell’enunciato precedente potremmo sostituire “Se la serie 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots converge” con “Se |x| \lt 1“. Tuttavia, lo studio della convergenza di una serie esula dagli scopi di questo articolo; quindi, negli enunciati che seguono, ci accontenteremo di un’ipotesi di convergenza generica.
Possiamo anche osservare che l’ipotesi che x sia diverso da 1 è ridondante, perché tale ipotesi è inclusa nell’ipotesi di convergenza della serie (se |x| \lt 1, sicuramente in particolare x \neq 1). Tuttavia, la dimostrazione non entra nel merito di quando la serie è convergente e quando non lo è, quindi all’interno della dimostrazione non abbiamo elementi per accorgerci della ridondanza e, per giustificare il passaggio di divisione per x - 1, siamo costretti ad aggiungere un’ipotesi separata.
Per quanto riguarda la verifica dell’ipotesi di convergenza, come accennavamo, esistono vari criteri, a cui bisognerebbe dedicare un articolo a parte. Per il momento ci limitiamo ad osservare che in molti casi la non convergenza può essere dimostrata semplicemente calcolando il limite delle somme parziali: se il limite è infinito, la serie non converge, per cui sappiamo che non possiamo applicare la formula. Ad esempio, la serie 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots per x = 2 diventa 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots, le cui somme parziali sono 1, 1 + 2, 1 + 2 + 4, 1 + 2 + 4 + 8, \ldots = 1, 3, 7, 15, \ldots, successione che chiaramente ha limite infinito (è sufficiente applicare la definizione di limite, osservando che si tratta della successione delle potenze di 2 diminuite di un’unità).
Un aspetto da tenere a mente quando si applica questa tecnica è che, quando si effettuano operazioni algebriche sulle serie, bisogna sempre chiedersi se tali operazioni sono lecite. Ad esempio, uno dei passaggi che abbiamo effettuato per trovare la somma della serie 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots è il seguente:
Esso significa che, moltiplicando per p ciascun elemento della serie 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \ldots che ha per ipotesi somma S, si ottiene una serie che ha somma pS. Questa proprietà, che può sembrare ovvia, va in realtà dimostrata. La dimostrazione dovrebbe partire dalla definizione della somma di una serie come limite delle sue somme parziali, facendo poi ricorso alle proprietà dei limiti. In questo caso per esempio si dovrebbe utilizzare la proprietà che, se una successione di termine generale a_n ha limite l \in \mathbb{R}, allora la successione di termine generale c a_n, ottenuta moltiplicando per una costante c ciascun termine della precedente, ha limite c \cdot l. Per brevità ometteremo dettagli di questo tipo nelle dimostrazioni di questo articolo; invitiamo però i nostri lettori a fare l’esercizio di individuare questi passaggi critici e pensare a quali proprietà dei limiti si possono utilizzare per giustificarli.
Se nella Proprietà A.20 si sostituisce \frac{1}{x} al posto di x (con l’ipotesi aggiuntiva che x \neq 0, dato che compare al denominatore), si ottiene la versione più generale della Proprietà A.19:
Serie degli inversi delle potenze di un numero reale
Sia x un numero reale non nullo e diverso da 1. Se la serie 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots converge, allora:
La dimostrazione è immediata; infatti sostituendo \frac{1}{x} al posto di x nella formula \frac{1}{1-x} si ottiene \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x}{x - 1}.
Esempi di applicazione
Il secondo punto della tecnica – ossia le operazioni da effettuare su entrambi i membri dell’uguaglianza, in modo da ottenere al membro di sinistra un’espressione che contiene la serie stessa – è il più complicato. Infatti, le operazioni da effettuare variano da una serie all’altra e, per trovare le operazioni più convenienti, bisogna avere un po’ di inventiva o un po’ di esperienza. A tal proposito, proponiamo le seguenti serie come ulteriori esempi che possono facilitare la comprensione del meccanismo.
Serie degli inversi delle potenze di un numero reale con segni alterni
Sia x un numero reale non nullo e diverso da -1. Se la serie 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^5} + \ldots converge, allora:
Dato che per ipotesi la serie converge, la sua somma è un numero reale, che possiamo chiamare S:
Chiaramente l’ipotesi che x sia non nullo è necessaria, altrimenti i termini della successione non sarebbero definiti.
Moltiplichiamo per -x:
Semplifichiamo:
La serie tra parentesi è quella di partenza, che per l’ipotesi iniziale possiamo sostituire con S:
Risolviamo l’equazione:
Nell’ultimo passaggio abbiamo diviso per 1 + x, per cui abbiamo applicato l’ipotesi che x \neq -1.
Serie degli inversi delle potenze di un numero reale dal quadrato in poi
Sia x un numero reale non nullo e diverso da 1. Se la serie \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^5} + \ldots converge, allora:
Dato che per ipotesi la serie converge, la sua somma è un numero reale, che possiamo chiamare S:
Anche in questo caso x deve essere non nullo, affinché i termini della serie siano definiti.
Moltiplichiamo per x:
Semplifichiamo:
La serie tra parentesi è quella di partenza, che per l’ipotesi iniziale possiamo sostituire con S:
Risolviamo l’equazione:
Nell’ultimo passaggio abbiamo diviso per x - 1, applicando l’ipotesi che x \neq 1.
Avremmo potuto trovare la somma di questa serie anche utilizzando un altro principio, che consiste nel ricondursi a una serie già nota. Infatti, la serie può essere ottenuta eliminando i primi due termini dalla serie degli inversi delle potenze:
dove la somma della serie tra parentesi, per la Proprietà A.21, è pari a \frac{x}{x - 1}. Sostituendo, si ottiene:
Una variante della tecnica consiste nel ricondursi, mediante opportuni passaggi algebrici, a un’altra serie già nota, diversa da quella di partenza. Ad esempio, la seguente serie si può ricondurre alla precedente:
Serie delle potenze di un numero reale con coefficienti crescenti
Sia x un numero reale diverso da 1. Se la serie 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + 6x^5 + \ldots converge, allora:
Dato che per ipotesi la serie converge, la sua somma è un numero reale, che possiamo chiamare S:
Moltiplichiamo per (1 - x):
Svolgendo i calcoli, otteniamo:
La serie al primo termine è quella della Proprietà A.20, per cui possiamo sostituirla con la sua somma, che ci è già nota:
Dividendo per 1 - x (che è lecito per l’ipotesi x \neq 1) si ottiene la tesi.
Questo esempio potrebbe continuare all’infinito, ottenendo nuove serie che di volta in volta possono essere ricondotte a quelle precedenti già note. Ad esempio, la seguente serie può essere ricondotta alla precedente:
Serie delle potenze di un numero reale con coefficienti pari alla somma dei primi numeri interi
Sia x un numero reale diverso da 1. Se la serie 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + 15x^4 + 21x^5 + \ldots converge, allora:
In questa serie, l’n-esimo termine è la somma dei primi n numeri interi; ad esempio 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, eccetera.
Dato che per ipotesi la serie converge, la sua somma è un numero reale, che possiamo chiamare S:
Moltiplichiamo per (1 - x):
Svolgendo i calcoli, otteniamo:
Ma la serie al primo termine è quella della Proprietà A.24, per cui possiamo sostituirla con la sua somma, che ci è nota:
Dividendo per 1 - x, che per ipotesi è diverso da 0, si ottiene la tesi.
Da questa dimostrazione e dalla precedente si può intuire qual è la caratteristica che rende possibile ricondurre una serie a un’altra: le differenze tra coefficienti consecutivi di una serie sono uguali ai coefficienti della serie precedente. Ad esempio, nell’ultima serie le differenze tra i coefficienti sono 3 – 1 = 2, 6 – 3 = 3, 10 – 6 = 4, 15 – 10 = 5, 21 – 15 = 6, eccetera; come si può vedere, la successione delle differenze coincide coi coefficienti della serie della Proprietà A.24, dal secondo termine in poi: 2, 3, 4, 5, 6, eccetera. La stessa cosa vale per la serie della Proprietà A.24 rispetto a quella della Proprietà A.21: la differenza tra i coefficienti consecutivi della serie della Proprietà A.24 è sempre 1, proprio come i coefficienti della serie della Proprietà A.21.
Questo legame tra i coefficienti di serie diverse viene sfruttato quando si moltiplica una serie per 1 - x. Infatti questa operazione, come si può osservare in questa dimostrazione e nella precedente, ha l’effetto di generare una nuova serie i cui coefficienti sono le differenze tra i coefficienti consecutivi della serie di partenza; quindi dalla serie della Proprietà A.24 si ottiene quella della Proprietà A.23 e, mediante la stessa operazione, da quest’ultima si ottiene a sua volta quella della Proprietà A.21.
Prodotto di serie e ordine dei termini di una serie
A volte capita di moltiplicare tra loro due serie convergenti; ad esempio, supponendo che le serie 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \ldots e 1 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{y^3} + \ldots convergano, potremmo voler calcolare il prodotto:
Per capire cosa significa questa scrittura, dobbiamo ricordare che, per definizione, una serie non è altro che il limite della successione delle sue somme parziali, per cui la (4) equivale a:
Per le proprietà dei limiti delle successioni, dato che per ipotesi i due limiti tra parentesi esistono, anche il seguente limite esiste ed è uguale al prodotto dei due limiti:
Quindi, scrivendo le sommatorie per esteso, il prodotto delle due serie è uguale al limite della seguente successione:
Sviluppiamo ciascun elemento:
Si può osservare che il k-esimo elemento della successione è la somma di tutti i termini del tipo \frac{1}{x^n y^m}, con 0 \leq n \leq k e 0 \leq m \leq k; di conseguenza, al crescere di k, prima o poi otterremo tutti i possibili termini dati dal prodotto di un termine della prima serie per un termine della seconda serie, ossia tutti i termini del tipo \frac{1}{x^n y^m}, con n \geq 0 e m \geq 0. Spesso, in casi come questo, si usano notazioni compatte come la seguente:
Notazioni come questa hanno il pregio di essere intuitive ma il difetto di non essere rigorose. Una sommatoria del genere, infatti, dice solo quali numeri sommare, ma non in che ordine. Ad esempio, potremmo interpretare la notazione (7) come la successione della somme parziali (6) o come una successione diversa, come la seguente, dove il k-esimo elemento della successione è la somma di tutti i termini del tipo \frac{1}{x^n y^m} con n+m \leq k:
o, in alternativa, qualunque altra successione di somme parziali che la fantasia ci possa suggerire, a patto che prima o poi compaiano tutti i termini della serie.
Per le somme finite sappiamo che l’ordine degli addendi non influisce sul risultato, ma per le serie ciò non è scontato. Come possiamo essere sicuri, ad esempio, che le serie aventi come somme parziali la (6) e la (8), entrambe riconducibili alla forma (7), hanno la stessa somma?
La questione non è affatto banale, ma fortunatamente esiste una risposta semplice: se una serie converge e ha solo termini positivi, allora effettivamente l’ordine dei termini non conta. In termini più formali:
Convergenza di serie e ordinamento di termini
Sia \sum_{i = 0}^{\infty} x_i una serie numerica a termini positivi convergente avente per somma S. Allora qualunque altra serie \sum_{i = 0}^{\infty} y_i tale che \{x_i \mid i \geq 0\} = \{y_i \mid i \geq 0\} converge e ha per somma S.
Di solito, tra una somma parziale e la successiva, la differenza è un singolo termine, mentre nella (6) e nella (8) possiamo vedere che vengono aggiunti più termini simultaneamente. Questo non è un problema, perché si può creare una nuova successione che aggiunge un solo termine alla volta completando i passi mancanti; ad esempio partendo dalla (8) si può creare la successione:
In questo caso si dice che la successione precedente (8) è una sottosuccessione di quella sopra (8′). Un teorema sulle successioni ci assicura che, se una successione ha un certo limite, tutte le sue sottosuccessioni hanno lo stesso limite; nel nostro caso, se la (8′) tende a un limite S, che è la somma della serie (7), anche la (8), che ha alcuni termini “accorpati”, tende ad S. Quindi non è importante se nelle somme parziali si aggiungono più termini alla volta, perché ciò non modifica il limite della successione.
Per una serie che comprende termini negativi, la tesi del Teorema precedente potrebbe non valere: è possibile che due serie convergenti con gli stessi termini, ma presi in ordine diverso, abbiano somme diverse. Per questo è sbagliato, per una serie di questo tipo, concepirla come una “somma infinita” o graficamente come un “istogramma infinito”: questi concetti, essendo intrinsecamente infiniti, quindi comprensivi dell’effetto di tutti i termini simultaneamente, ci porterebbero a pensare che la somma, o l’area dell’istogramma, siano indipendenti dall’ordine dei calcoli effettuati. In realtà, l’unico oggetto matematico veramente infinito è il processo di limite, che però non considera mai tutti i termini simultaneamente, ma solo un numero finito di essi in ogni dato momento; per questo in alcuni casi il risultato finale dipende dall’ordine con cui si prendono i termini. Per approfondire questo tema, si veda il Teorema 29.7 sul testo Foundations of Mathematical Analysis (R. Johnsonbaugh, W. E. Pfaffenberger).
Il Teorema A.1 giustifica l’uso di notazioni come la (7), in cui l’ordine dei termini non è specificato, quando essi sono tutti positivi, e dal contesto sappiamo che la serie converge.
Come esempio di applicazione, studiamo il seguente prodotto di serie:
Ad esempio, per d = 6 si ottiene:
I numeri che vediamo al denominatore sono accomunati dal fatto che nella loro fattorizzazione compaiono solo i fattori primi 2 e 3, che sono i fattori primi di 6, eventualmente ripetuti. Ciò è una conseguenza di come sono stati ottenuti, ciascuno come prodotto di un elemento della prima serie per uno della seconda.
In generale, vale la seguente Proprietà:
Prodotto delle serie delle potenze inverse dei fattori primi di un numero intero positivo
Sia d un numero intero positivo privo di quadrati. Allora:
In questo caso, ciascuna serie della produttoria a sinistra converge per la Proprietà A.19, e il loro prodotto converge per le proprietà del limite del prodotto di successioni convergenti, come abbiamo visto prima nel caso di due successioni (se le successioni sono più di due, basta iterare il procedimento). A destra invece abbiamo una serie di cui non viene specificato l’ordine dei termini, ma sappiamo che esso non è importante perché i termini sono tutti positivi. Quindi, se dimostriamo che la serie di destra ha gli stessi termini di quella di sinistra, dato che quest’ultima converge, per il Teorema A.1 anche la serie di destra deve convergere alla stessa somma, come stabilisce la tesi del Teorema.
Per prima cosa bisogna osservare che, nel caso particolare d = 1, la produttoria di sinistra non contiene termini (perché 1 non ha fattori primi) e quindi per convenzione vale 1; a destra invece l’unico a da considerare è 1, perché l’unico intero positivo nella cui fattorizzazione compaiono solo fattori primi di 1 (ossia che non ha fattori primi) è 1 stesso; in definitiva si ottiene l’uguaglianza 1 = \frac{1}{1} che è banalmente vera.
Esaminiamo ora il caso d \gt 1, che ci assicura che esiste almeno un divisore primo di d. Essendo d privo di quadrati, possiamo porre d := p_1 \cdot \ldots \cdot p_k, ottenendo:
dove nel passaggio (a) abbiamo implicitamente applicato il Teorema A.1, mentre nel passaggio (b) abbiamo osservato che i termini della prima sommatoria sono del tipo \frac{1}{p_1^{i_1}}, con i_1 non negativo (per i_1 = 0 si ottiene il primo termine, che è 1), e così via per le altre sommatorie, fino alla k-esima.
Resta quindi da dimostrare che:
Per dimostrare questa uguaglianza, sempre per il Teorema A.1, dobbiamo dimostrare che le due serie hanno gli stessi termini, ossia che tutti gli elementi della sommatoria di sinistra compaiono anche nella sommatoria di destra, e viceversa.
Per quanto riguarda la sommatoria di sinistra, è evidente che nel numero p_1 \cdot \ldots \cdot p_k ci sono solo i fattori primi di d, che sono appunto p_1, \ldots, p_k, dunque tale numero sarà uno degli a della sommatoria di destra. Viceversa, se a è un numero nella cui fattorizzazione compaiono solo fattori primi di d, ossia solo p_1, \ldots, p_k, esso si può scrivere nella forma p_1^{i_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{i_k}, con i_1, \ldots, i_k \geq 0 (dove lo 0 permette di esprimere l’assenza di uno o più numeri primi nella fattorizzazione); dunque troveremo il termine \frac{1}{a} nella sommatoria di sinistra. La dimostrazione è così completa.