Strategia dimostrativa basata sui trattini

Prerequisito:

La strategia dimostrativa che sarà esposta qui parte da uno dei presupposti dell’Ipotesi H.1 (Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi), ossia il fatto che il tratteggio T_k = (p_1, p_2,\ldots,p_k) ha per componenti i primi k numeri primi, per cui p_1, che è la prima componente, è sempre il numero 2. Questo ha come diretta conseguenza la seguente proprietà:

Trattini che precedono e seguono uno spazio

In un tratteggio lineare le cui componenti sono i primi numeri primi, nelle colonne che precedono o seguono immediatamente uno spazio, c’è sempre un trattino in corrispondenza della prima componente del tratteggio.

La dimostrazione della proprietà si basa sul fatto che la prima componente del tratteggio è 2:

  • Se una colonna è pari, è divisibile per 2, quindi contiene sicuramente un trattino in corrispondenza della prima riga (per definizione di trattino);
  • Quindi, gli spazi devono per forza trovarsi in colonne dispari;
  • Immediatamente prima (o dopo) di ogni numero dispari, ce n’è sempre uno pari;
  • Quindi, immediatamente prima (o dopo) di ogni spazio c’è un numero pari;
  • Quindi, immediatamente prima (o dopo) di ogni spazio c’è una colonna che contiene un trattino nella prima riga.

In base a questo presupposto, è possibile riscrivere l’equazione di Goldbach originaria

p + q = 2n

usando la funzione \mathrm{t\_valore}:


Partiamo dall’equazione originaria, imponendo il vincolo che i due addendi primi p e q siano spazi e appartengano alla prima riga:

p + q = 2n

Le componenti del tratteggio T = (p_1, p_2, ... p_k) sono i primi k numeri primi, per cui p_1 = 2. Il 2 presente nell’espressione 2n, quindi, non è altro che la prima componente del tratteggio, per cui l’equazione di Goldbach si può riscrivere in questo modo:

p + q = p_1 n

Aggiungiamo e sottraiamo 1 nel membro a sinistra:

p + 1 + q - 1 = p_1 n

Infine, raccogliamo:

(p + 1) + (q - 1) = p_1 n

Dato che p e q sono entrambi spazi, per la proprietà precedente esiste sicuramente un trattino nella riga del 2 (ossia la prima) in corrispondenza della colonna p + 1 (che segue immediatamente lo spazio p), e ne esiste un altro in corrispondenza della colonna q - 1 (che precede immediatamente lo spazio q). Allora, dato che in generale \mathrm{t\_valore}(w) indica la colonna del w-esimo trattino, esisteranno due interi positivi x e y tali che \mathrm{t\_valore}(x) = p + 1 e \mathrm{t\_valore}(y) = q - 1, per cui l’uguaglianza precedente si può riscrivere come:

\mathrm{t\_valore}(x) + \mathrm{t\_valore}(y) = p_1 n

con i seguenti vincoli (gli ultimi due sono ovvi, essendo p_1 = 2, ma sono indicati per maggiore chiarezza):

  1. l’x-esimo e l’y-esimo trattino devono trovarsi sulla prima riga;
  2. l’x-esimo trattino deve corrispondere a una colonna che segue uno spazio;
  3. l’y-esimo trattino deve corrispondere a una colonna che precede uno spazio.

I due addendi originari p e q sono ricavabili dalle relazioni

p = \mathrm{t\_valore}(x) - 1
q = \mathrm{t\_valore}(y) + 1

Alla luce di queste osservazioni, l’Ipotesi H.1 (Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi) può essere riscritta in questo modo:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui trattini

Sia 2n \gt 4 un numero pari, e sia k il relativo ordine di validità. Allora esistono due interi positivi x e y tali che, con riferimento al tratteggio T_k:

  1. l’x-esimo e l’y-esimo trattino si trovano entrambi sulla prima riga;
  2. \mathrm{t\_valore}(x) segue immediatamente uno spazio;
  3. \mathrm{t\_valore}(y) precede immediatamente uno spazio;
  4. \mathrm{t\_valore}(x) + \mathrm{t\_valore}(y) = p_1 n;
  5. \mathrm{t\_valore}(x) - 1 e \mathrm{t\_valore}(y) + 1 sono entrambi compresi nell’intervallo di validità.
Figura 1: strategia dimostrativa basata sui trattini. L’x-esimo trattino e l’y-esimo rispettivamente precedono e seguono immediatamente degli spazi (in verde), che si trovano all’interno dell’intervallo di validità (in giallo), la cui somma è 2n.

Se quest’ipotesi fosse vera, allora la verità della congettura di Goldbach ne sarebbe diretta conseguenza, dato che:

  • Se i punti 1., 2., 3. fossero veri, p = \mathrm{t\_valore}(x) - 1 e q = \mathrm{t\_valore}(y) + 1 sarebbero spazi;
  • Se fosse vero anche il punto 5., p e q sarebbero numeri primi, per la Proprietà T.1 (Spazi e numeri primi);
  • Il punto 4. è la riformulazione dell’equazione di Goldbach; quindi, se anch’esso fosse soddisfatto, la somma di p e q sarebbe 2n.

Per poter dimostrare quest’ipotesi, è possibile procedere per gradi. Una possibile osservazione è che essa ha due presupposti abbastanza forti:

  • Prende in esame il tratteggio T_k che ha come componenti i primi numeri primi (cosa che ci ha permesso di scrivere il numero 2n della congettura di Goldbach come p_1 n);
  • Vincola i due spazi a trovarsi all’interno dell’intervallo di validità (per cui abbiamo dovuto porre 2n \gt 4, altrimenti non si riescono a trovare soluzioni).

Possiamo pensare di rilassare questi vincoli, generalizzando l’ipotesi precedente in questo modo:

Ipotesi di esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini

Siano n \gt 0 un numero intero, e T = (n_1, n_2, \ldots, n_k) un tratteggio lineare di ordine k \geq 1, le cui componenti sono numeri primi (non necessariamente consecutivi). Allora esistono due interi positivi x, y tali che, con riferimento al tratteggio T:

  1. l’x-esimo e l’y-esimo trattino si trovano entrambi sulla prima riga;
  2. \mathrm{t\_valore(x)} segue immediatamente uno spazio;
  3. \mathrm{t\_valore(y)} precede immediatamente uno spazio;
  4. \mathrm{t\_valore(x)} + \mathrm{t\_valore(y)} = n_1 n.

In questa nuova Ipotesi abbiamo sostituito il tratteggio T_k, avente per componenti i primi numeri primi, con un più generico tratteggio T avente per componenti sempre numeri primi, ma non necessariamente i primi k. Conseguentemente, nell’equazione \mathrm{t\_valore(x)} + \mathrm{t\_valore(y)} = p_1 n dell’ipotesi precedente, p_1 è stato sostituito da n_1, mantenendo il fatto che il numero che moltiplica n è la prima componente del tratteggio, ma questa componente non è più il primo numero primo p_1 = 2, ma un generico numero primo n_1, che dipende dal tratteggio T considerato.
Inoltre, abbiamo eliminato il vincolo sull’intervallo di validità, innanzitutto perché questo concetto è definito solo per i tratteggi T_k, ma anche perché rimuovendo questo vincolo possiamo concentrarci su un aspetto importante del problema, tutt’altro che banale: trovare due spazi di un tratteggio la cui somma sia un numero fissato, multiplo della prima componente del tratteggio stesso.

Con questa premessa, l’Ipotesi H.1.T (Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui trattini) diventa un caso particolare della precedente; da quest’ultima, infatti, si può ottenere l’Ipotesi H.1.T modificando due aspetti:

  • ponendo n \gt 2 e T := T_k, dove k è l’ordine di validità di 2n;
  • aggiungendo la condizione che \mathrm{t\_valore}(x) - 1 e \mathrm{t\_valore}(y) + 1 siano entrambi compresi nell’intervallo di validità del tratteggio T_k.

I passaggi necessari per dimostrare l’Ipotesi H.1.T sono quindi i seguenti:

  • Dimostrare l’Ipotesi H.1.T.A (Ipotesi di esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini) per i tratteggi di secondo ordine (la dimostrazione per il primo ordine è abbastanza banale, essendo diretta conseguenza del fatto che un tratteggio di primo ordine è sempre un’alternanza di un trattino e un certo numero di spazi);
  • Dimostrarla per i tratteggi di terzo ordine;
  • Analizzare e confrontare tra di loro le dimostrazioni ottenute nei passaggi precedenti, per ricavare una dimostrazione valida per qualsiasi tratteggio di un ordine qualsiasi (includendo perciò anche tutti i tratteggi di tipo T_k);
  • Infine, introdurre l’ipotesi sull’intervallo di validità, dimostrando così l’Ipotesi H.1.T.

Attualmente l’indagine è in corso sul primo punto, e i relativi progressi sono esposti in una pagina dedicata. Una volta completata, si potrà passare ai successivi, fino concludere il ragionamento globale, con lo scopo di ottenere un Teorema vero e proprio, nell’ultimo punto.
L’ultimo punto può sembrare molto ostico, ma questo in realtà dipenderà dai risultati dei punti precedenti. È importante, infatti, dimostrare l’Ipotesi H.1.T.A in modo costruttivo, ossia dimostrare non solo che esistono x e y, ma anche, nel modo più accurato possibile, quali sono questi numeri, e di conseguenza quali sono i corrispondenti \mathrm{t\_valore(x)} e \mathrm{t\_valore(y)}. Così facendo, quando si introdurrà la condizione sull’intervallo di validità dell’Ipotesi H.1.T, gran parte del lavoro sarà stata fatta, perché le soluzioni saranno già state in qualche modo localizzate; resterà da verificare solo se tale localizzazione sarà sufficiente, per essere certi che vi sia almeno una soluzione all’interno dell’intervallo di validità.

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