Strategia dimostrativa basata sulla fattorizzazione

Prerequisiti:

Le proprietà degli spazi dei tratteggi di fattorizzazione possono essere sfruttate per impostare una particolare strategia dimostrativa, che può utilizzare non solo la teoria dei tratteggi, ma anche i teoremi noti sui numeri primi.
Come punto di partenza per la dimostrazione, ad esempio, è possibile sfruttare il postulato di Bertrand, secondo il quale esiste un numero primo p compreso tra n + 1 e 2n. Infatti questo numero primo, per la Proprietà L.F.3 (Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari), è anche uno spazio; per cui dalla parte opposta del tratteggio, in posizione simmetrica, ci sarà a sua volta un altro spazio, per la Proprietà L.F.2 (Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione).

Abbiamo così ottenuto una coppia di spazi, uno dei quali è un numero primo. Sulla base di questo si dimostra il seguente risultato, che abbiamo chiamato Teorema di Goldbach-Bertrand, dato che ha una formulazione simile alla congettura di Goldbach, e la dimostrazione impiega il postulato di Bertrand. Si tratta comunque di un nome provvisorio, perché è possibile che in futuro questo Teorema sia soppiantato da qualche risultato migliore, che meriterebbe maggiormente un nome così importante.

Teorema di Goldbach-Bertrand

Ogni numero pari 2n \gt 2 si può scrivere come somma di due numeri interi, di cui uno è primo e l’altro è coprimo con 2n.

Per dimostrare il Teorema, si costruisce prima di tutto il tratteggio di fattorizzazione T di 2n.

Per il postulato di Bertrand, esiste sicuramente un primo p, compreso tra n + 1 e 2n.

Dato che p è un numero primo, per la Proprietà L.F.3 (Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari) è anche uno spazio di T;

Essendo il tratteggio T simmetrico per la Proprietà L.F.2 (Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione), anche q := 2n - p è a sua volta un altro spazio;

Dato che q è uno spazio, per definizione non è divisibile per nessuna delle componenti del tratteggio;

Quindi, q non è divisibile per nessuno dei fattori primi di 2n, ossia, per definizione, q è coprimo con 2n;

Inoltre, si ha p + q = p + (2n - p) = 2n, ossia p + q = 2n.

Riassumendo, abbiamo trovato due numeri p e q, di cui p è primo, q è coprimo con 2n, e la loro somma è 2n, che era la tesi da dimostrare.

Il Teorema di Goldbach-Bertrand, a differenza della congettura di Goldbach, non prende in considerazione la possibilità di esprimere un numero pari 2n come somma di due numeri primi identici, ossia 2n = n + n = p + p, con p primo. Infatti, per il Teorema di Goldbach-Bertrand, uno dei due addendi deve essere primo, e l’altro deve essere coprimo con 2n. Ma se entrambi gli addendi fossero uguali ad uno stesso primo p, allora questo p dovrebbe essere anche coprimo con 2n, e questo non è possibile. Infatti, se fosse 2n = p + p, allora 2n = 2p, quindi \mathrm{MCD}(2n, p) = \mathrm{MCD}(2p, p) = p \gt 1, mentre dovrebbe essere \mathrm{MCD}(2n, p) = 1 se 2n e p fossero coprimi.
A questo punto ci si potrebbe chiedere: dato che le scomposizioni del tipo 2n = p + p non sono prese in considerazione dal Teorema di Goldbach-Bertrand, cosa succede per i numeri pari che per la congettura di Goldbach ammettono solamente questo tipo di scomposizione, cioè 4 = 2 + 2 e 6 = 3 + 3? Questa domanda ci porta ad un’altra differenza tra il Teorema di Goldbach-Bertrand e la congettura di Goldbach: il numero coprimo può anche essere 1. Infatti nel caso di 4 e 6 valgono le scomposizioni 4 = 3 + 1 e 6 = 5 + 1 che rientrano nei casi previsti dal Teorema di Goldbach-Bertrand, pur non essendo accettabili per la congettura di Goldbach. Infatti in entrambe le scomposizioni, il primo addendo è un numero primo ed il secondo, pari ad 1, è coprimo sia con 4 che con 6 (in generale 1 è coprimo con qualunque numero intero).
Quindi, ricapitolando, nel Teorema di Goldbach-Bertrand:

  • Il numero primo ed il numero coprimo che costituiscono la somma non possono essere identici
  • Il numero coprimo può essere 1

Si può anche osservare che il numero coprimo deve essere dispari, in quanto essendo appunto coprimo con 2n non può avere 2 come fattore primo.

Ringraziamo il nostro lettore Ultima per gli spunti che ci hanno consentito di scrivere questa osservazione ed il seguente esempio.

A titolo di esempio, vediamo quali scomposizioni del numero 14 sono previste dal Teorema di Goldbach-Bertrand.

Dato che una delle condizioni è che il primo addendo deve essere un numero primo, vediamo innanzitutto quali sono le scomposizioni di 14 che rispettano questa condizione (il numero primo che costituisce il primo addendo è in grassetto):

\begin{aligned} 14 &= \mathbf{2} + 12 \\ &= \mathbf{3} + 11 \\ &= \mathbf{5} + 9 \\ &= \mathbf{7} + 7 \\ &= \mathbf{11} + 3 \\ &= \mathbf{13} + 1 \end{aligned}

Ora passiamo in rassegna ciascuna di queste scomposizioni, per verificare quali soddisfano anche l’altra condizione, ossia quali hanno il secondo addendo coprimo con 14. I secondi addendi sono rispettivamente 12, 11, 9, 7, 3 ed 1, ma tra questi solo 11, 9, 3 e 1 sono coprimi con 14; gli altri due numeri non lo sono in quanto \mathrm{MCD}(12, 14) = 2 \gt 1 e \mathrm{MCD}(7, 14) = 7 \gt 1. Restano quindi le seguenti scomposizioni che rispettano l’enunciato del Teorema di Goldbach-Bertrand:

\begin{aligned} 14 &= \mathbf{3} + 11 \\ &= \mathbf{5} + 9 \\ &= \mathbf{11} + 3 \\ &= \mathbf{13} + 1 \end{aligned}

Come abbiamo osservato prima, non compare la scomposizione 14 = 7 + 7, anche se è prevista dalla congettura di Goldbach, mentre compaiono le scomposizioni 14 = 5 + 9 e 14 = 13 + 1 che non sono previste dalla congettura.
Naturalmente, sia nella congettura di Goldbach che nel Teorema di Goldbach-Bertrand, una delle due scomposizioni 14 = 3 + 11 e 14 = 11 + 3 può essere tolta, perché esse differiscono solamente per l’ordine degli addendi.

Le connessioni tra il postulato di Bertrand e la congettura di Goldbach non si esauriscono col Teorema di Goldbach-Bertrand. Infatti, si può anche dimostrare che la congettura di Goldbach implica il postulato di Bertrand; ossia, se la congettura di Goldbach fosse vera, la si potrebbe usare per dimostrare il postulato di Bertrand. Si possono trovare maggiori dettagli nell’articolo Goldbach’s Conjecture Implies Bertrand’s Postulate di H. J. Ricardo. La dimostrazione è anche riportata in questa pagina: https://proofwiki.org/wiki/Goldbach_implies_Bertrand.

Il Teorema di Goldbach-Bertrand è un punto di partenza, ma è ancora lontano dal traguardo finale. Per arrivare alla dimostrazione della congettura di Goldbach vera e propria, bisognerà trovare una condizione che permetta di scegliere p in modo che sia primo anche 2n - p, ossia il numero della colonna che si trova in posizione simmetrica rispetto alla colonna p.

Un possibile spunto per proseguire è chiederci se esiste una regola su come sono fatti i nostri potenziali 2n - p, che chiameremo q, di cui conosciamo finora alcune caratteristiche:

  • q \leq n;
  • q è uno spazio del tratteggio di fattorizzazione di 2n;
  • q è sicuramente dispari, perché, essendo 2 una componente del tratteggio, se fosse pari non sarebbe uno spazio.

Questa strategia dimostrativa è rappresentata nell’immagine seguente:

Figura 1: Strategia dimostrativa basata sulla fattorizzazione. Nel tratteggio di fattorizzazione di 2n=14, vanno cercati due spazi p e 2n-p (in verde), entrambi primi, la cui somma è 2n. L’esistenza di p e il fatto che sia primo sono garantiti dal postulato di Bertrand.

Il passo successivo è stringere il cerchio: il teorema di Goldbach-Bertrand ci assicura che esiste almeno una coppia (p, q) in cui p è primo e q è coprimo con 2n. Quindi, per arrivare alla congettura di Goldbach, bisogna dimostrare che:

  • Quando la coppia (p, q) è unica, q è primo;
  • Quando esistono diverse coppie (p, q), ne esiste almeno una in cui q è primo.

Le indagini in tal senso sono tuttora in corso, e non sono ancora giunte a una conclusione.

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