Lo scopo finale delle strategie dimostrative che stiamo portando avanti, come già indicato, è dimostrare che, dato un numero pari 2n, esiste almeno una coppia (p, q) dove p + q = 2n, e p e q sono entrambi primi. Dato che q = 2n - p, basta quindi dimostrare che esiste almeno un numero primo p minore di 2n tale che anche 2n - p è primo; la strategia dimostrativa che trattiamo qui si basa appunto su questo principio.
Il punto di partenza per trovare i possibili p è una proprietà nota dei numeri primi, il postulato di Bertrand, secondo il quale esiste almeno un numero primo p compreso tra n + 1 e 2n. Questo numero primo, per la Proprietà L.F.3 (Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari), è anche uno spazio del tratteggio di fattorizzazione; per cui dalla parte opposta, in posizione simmetrica (ossia in corrispondenza di 2n - p), ci sarà a sua volta un altro spazio, per la Proprietà L.F.2 (Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione).
Abbiamo così ottenuto una coppia di spazi, p e 2n - p, uno dei quali è sicuramente un numero primo. Sulla base di questo si dimostra il seguente risultato, che abbiamo chiamato Teorema di Goldbach-Bertrand, dato che ha una formulazione simile alla congettura di Goldbach, e la dimostrazione impiega il postulato di Bertrand. Si tratta comunque di un nome provvisorio, perché è possibile che in futuro questo Teorema sia soppiantato da qualche risultato migliore, che meriterebbe maggiormente un nome così importante.
Teorema di Goldbach-Bertrand
Ogni numero pari 2n \gt 2 si può scrivere come somma di due numeri interi positivi, di cui uno è primo e maggiore di n e l’altro è coprimo con 2n.
Per il postulato di Bertrand, esiste sicuramente un primo p compreso tra n + 1 e 2n.
Dato che p è un numero primo, per la Proprietà L.F.3 (Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari) è anche uno spazio di T;
Essendo il tratteggio T simmetrico per la Proprietà L.F.2 (Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione), anche q := 2n - p è a sua volta un altro spazio;
Dato che q è uno spazio, per definizione non è divisibile per nessuna delle componenti del tratteggio;
Quindi, q non è divisibile per nessuno dei fattori primi di 2n, ossia, per definizione, q è coprimo con 2n;
Inoltre, si ha p + q = p + (2n - p) = 2n, ossia p + q = 2n.
Riassumendo, abbiamo trovato due numeri p e q, di cui p è primo e maggiore di n, q è coprimo con 2n, e la loro somma è 2n, che era la tesi da dimostrare.
D’ora in poi, data una somma che soddisfa il Teorema per un certo 2n, chiameremo sempre p l’addendo primo e q quello coprimo. La condizione che p \gt n (da cui q \lt n) ci consente di rappresentare ciascuna possibile somma 2n = p + q in modo univoco con la coppia (p, q). Infatti, anche quando q è anch’esso primo, come in 10 = 7 + 3, l’addendo p è sempre distinguibile per il fatto di essere il più grande, per cui in questo caso la coppia corrispondente sarebbe (7, 3). Inoltre, la coppia sarebbe la stessa anche se scrivessimo la somma in modo equivalente come 10 = 3 + 7, perché 7 è l’addendo più grande e quindi 7 = p. Quindi la condizione p \gt n ci consente di trattare le somme 2n = p + q e 2n = q + p come un’unica somma, rappresentata dalla coppia (p, q).
La condizione che p \gt n è importante anche per altre ragioni: per prima cosa ci ricorda la dimostrazione del Teorema, perché proviene direttamente dal Postulato di Bertrand; inoltre, solo grazie a quest’ipotesi possiamo essere certi che q sia coprimo con 2n. Ad esempio, 18 = 3 + 15, 3 è primo ma 15 non è coprimo con 18; invece per tutti i numeri primi p > 9 si ha che, se 18 = p + q, allora q è coprimo con 18: 18 = 11 + 7, 18 = 13 + 5, 18 = 17 + 1.
Il Teorema di Goldbach-Bertrand, a differenza della Congettura di Goldbach, non prende in considerazione la possibilità di esprimere un numero pari 2n come somma di due numeri primi identici, ossia 2n = n + n = p + p, con p primo. Infatti, per il Teorema di Goldbach-Bertrand, uno dei due addendi (quello primo, indicato con p) deve essere maggiore di n. Inoltre, anche se rimuovessimo quest’ipotesi, non potrebbe comunque verificarsi che p = q = n, perché in tal caso p oltre a essere primo dovrebbe essere anche coprimo con 2n, e questo non è possibile. Infatti, se fosse 2n = p + p, allora 2n = 2p, quindi \mathrm{MCD}(2n, p) = \mathrm{MCD}(2p, p) = p \gt 1, mentre dovrebbe essere \mathrm{MCD}(2n, p) = 1 se 2n e p fossero coprimi.
A questo punto ci si potrebbe chiedere: dato che le scomposizioni del tipo 2n = p + p non sono prese in considerazione dal Teorema di Goldbach-Bertrand, cosa succede per i numeri pari che per la congettura di Goldbach ammettono solamente questo tipo di scomposizione, cioè 4 = 2 + 2 e 6 = 3 + 3? Questa domanda ci porta ad un’altra differenza tra il Teorema di Goldbach-Bertrand e la congettura di Goldbach: il numero coprimo può essere 1. Infatti nel caso di 4 e 6 valgono le scomposizioni 4 = 3 + 1 e 6 = 5 + 1 che rientrano nei casi previsti dal Teorema di Goldbach-Bertrand, pur non essendo accettabili per la Congettura di Goldbach. Infatti in entrambe le scomposizioni, il primo addendo è un numero primo maggiore della metà del numero iniziale ed il secondo, pari ad 1, è coprimo sia con 4 che con 6 (in generale 1 è coprimo con qualunque numero intero).
Quindi, ricapitolando, nel Teorema di Goldbach-Bertrand:
- Il numero primo ed il numero coprimo che costituiscono la somma non possono essere identici
- Il numero coprimo può essere 1
Si può anche osservare che il numero coprimo deve essere dispari, in quanto essendo appunto coprimo con 2n non può avere 2 come fattore primo.
Ringraziamo il nostro lettore Ultima per gli spunti che ci hanno consentito di scrivere questa osservazione ed il seguente esempio.
A titolo di esempio, vediamo quali scomposizioni del numero 14 sono previste dal Teorema di Goldbach-Bertrand.
La condizione fondamentale è che il primo addendo deve essere un numero primo maggiore di n = 7 (e ovviamente minore di 14, altrimenti q sarebbe negativo), per cui le scomposizioni previste sono le seguenti (il numero primo che costituisce il primo addendo è in grassetto):
Entrambi i secondi addendi, rispettivamente 3 e 1, sono coprimi con 14, quindi entrambe le scomposizioni rispettano l’enunciato del Teorema di Goldbach-Bertrand.
Osserviamo che, se rimuovessimo il vincolo p \gt n, otterremmo più somme formate da un numero primo ed uno coprimo:
Una delle somme aggiuntive però, 14 = \mathbf{3} + 11, è equivalente ad una già trovata (cambia solo l’ordine degli addendi), mentre una è effettivamente nuova, 14 = \mathbf{5} + 9. Tuttavia, anche se la condizione p \gt n ci fa perdere questa somma, il Teorema di Goldbach-Bertrand ci assicura che, nonostante ciò, ne troveremo almeno una (in questo caso ne abbiamo trovate due). Inoltre, come abbiamo osservato in precedenza, avendo posto p \gt n abbiamo la certezza di considerare somme non equivalenti, ossia con addendi che differiscono numericamente e non solo per l’ordine.
Il Teorema di Goldbach-Bertrand è un punto di partenza, ma è ancora lontano dal traguardo finale. Per arrivare alla dimostrazione della congettura di Goldbach vera e propria, bisognerà trovare una condizione che permetta di scegliere p in modo che sia primo anche 2n - p, ossia il numero della colonna che si trova in posizione simmetrica rispetto alla colonna p.
Un possibile spunto per proseguire è chiederci se esiste una regola su come sono fatti i nostri potenziali 2n - p, che chiameremo q, di cui conosciamo finora alcune caratteristiche:
- q \lt n;
- q è uno spazio del tratteggio di fattorizzazione di 2n;
- q è sicuramente dispari, perché, essendo 2 una componente del tratteggio, se fosse pari non sarebbe uno spazio.
Questa strategia dimostrativa è rappresentata nell’immagine seguente:
Il passo successivo è stringere il cerchio: il Teorema di Goldbach-Bertrand ci assicura che esiste almeno una coppia (p, q) in cui p \gt n è primo e q è coprimo con 2n. Quindi, per arrivare alla congettura di Goldbach, bisogna dimostrare che:
- Quando la coppia (p, q) è unica, q è primo;
- Quando esistono più coppie (p, q), ne esiste almeno una in cui q è primo.
Il primo punto, però, non si verifica mai, perché è possibile dimostrare che, per 2n > 8, il numero minimo di coppie è 2. Infatti:
- Nel 1952, nell’articolo On the interval containing at least one prime number, Jitsuro Nagura ha dimostrato che per n \ge 25, ossia 2n \ge 50, esiste sempre un numero primo p tale che n \lt p \lt \frac{6}{5}n;
- Applicando lo stesso teorema ponendo m = \frac{6}{5}n, si ha che esiste a sua volta un numero primo p' tale che m \lt p' \lt \frac{6}{5}m, ossia \frac{6}{5}n \lt p' \lt \frac{6}{5}(\frac{6}{5}n) = \frac{36}{25}n;
- Essendo \frac{36}{25}n \lt 2n per ogni n, si ha \frac{6}{5}n \lt p' \lt \frac{36}{25}n \lt 2n;
- Sicuramente p \ne p', essendo p \lt \frac{6}{5}n \lt p', per i punti 1 e 2;
- Quindi, per n \ge 25, ossia 2n \ge 50, esistono due numeri primi distinti p e p' compresi tra n e 2n, estremi esclusi; per cui, per il Teorema di Goldbach-Bertrand, esisteranno due coppie distinte (p, q) e (p', q'), tali che p + q = p' + q' = 2n, con q e q' coprimi con 2n;
- Per ogni 2n nell’intervallo rimanente 8 \lt 2n \lt 50, è facile verificare che le coppie sono almeno due; ad esempio per 2n = 20 esistono tre coppie: (3, 17), (7, 13) e (11, 9);
- Quindi, in totale, per 8 \lt 2n \le 50 e 2n \ge 50, ossia per 2n \gt 8, le coppie sono almeno due.
Perché il numero di numeri primi tra n e 2n tende a crescere con il crescere di n?
Si tratta di una diretta conseguenza del Teorema dei Numeri Primi, dato che:
- Per il Teorema dei Numeri Primi, abbiamo un’approssimazione del numero di numeri primi fino a n: \pi(n) \sim \frac{n}{\log(n)};
- Da cui \pi(2n) - \pi(n) \sim \frac{2n}{\log(2n)} - \frac{n}{\log(n)} = \frac{2n}{\log 2 + \log(n)} - \frac{n}{\log(n)} \sim \frac{2n}{\log(n)} - \frac{n}{\log(n)} = \frac{n}{\log(n)};
- Sappiamo che \frac{n}{\log(n)} cresce al crescere di n;
- Quindi, \pi(2n) - \pi(n) tende a crescere al crescere di n.
C’è però una differenza sostanziale tra l’espressione “tende a crescere” e il verbo “cresce”: nel primo caso non si ha una crescita monotòna, ma solo una crescita all’infinito, dunque è possibile che il numero di coppie (pari al numero di primi compresi tra n + 1 e 2n) presenti delle oscillazioni, sebbene l’andamento generale sia crescente (ad esempio, esistono 4 numeri primi tra 11 e 20 (n = 10) ma solo 3 tra 12 e 22 (n = 11).
A questo punto, per dimostrare la Congettura di Goldbach utilizzando il Teorema di Goldbach-Bertrand, resta da dimostrare che, per n > 8, tra le (almeno due) coppie (p, q) con p \gt n primo e q coprimo, ce n’è almeno una in cui q è primo. Le indagini in tal senso sono tuttora in corso, e non sono ancora giunte a una conclusione.
Da questo punto in poi, la dimostrazione potrà tralasciare il caso 2n \le 8, dato che, per quei valori di 2n, sappiamo già che essi sono somma di due numeri primi, com’è facile verificare.