Studio dell’esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini per tratteggi di secondo ordine

Prerequisiti:

Lo scopo dello studio che andremo a esporre qui è dimostrare che l’Ipotesi H.1.T.A (Ipotesi di esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini) è valida per i tratteggi di secondo ordine. La strategia che sarà adottata è la seguente:

  • Riformulare l’enunciato iniziale riferendolo ai tratteggi di secondo ordine, in modo da esplicitare quali vincoli effettivi devono essere soddisfatti da una possibile soluzione;
  • Dimostrare che esiste almeno una soluzione che soddisfi i vincoli.

Enunciato dell’ipotesi iniziale per il secondo ordine

Come già indicato, il primo passo è riscrivere l’Ipotesi di partenza per rapportarla ai tratteggi di secondo ordine. Per chiarezza, riportiamo qui di seguito il testo dell’ipotesi riscritto ponendo k = 2:

Ipotesi H.1.T.A per i tratteggi di secondo ordine

Siano n \gt 1 un numero intero, e T = (n_1, n_2) un tratteggio lineare di secondo ordine, le cui componenti sono numeri primi non necessariamente consecutivi. Allora esistono due interi positivi x, y tali che:

  1. l’x-esimo trattino si trova nella prima riga di T;
  2. l’y-esimo trattino si trova anch’esso nella prima riga di T;
  3. l’x-esimo trattino segue uno spazio;
  4. l’y-esimo trattino precede uno spazio;
  5. \mathrm{t\_valore(x)} + \mathrm{t\_valore(y)} = n_1 n.

Una volta esplicitati tutti i vincoli usando le proprietà note dei tratteggi di secondo ordine, seguendo l’approccio della caratterizzazione degli spazi, si può riformulare la precedente Ipotesi in questo modo:

Per la Proposizione L.C.3 (Spazi di un tratteggio del secondo ordine che precedono un trattino della prima riga), le condizioni 1. e 3. sono equivalenti a

n_1 x \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) \in P_T(1)
P_{T}(1) = \{2, \ldots, n_2\}

Analogamente, per la Proposizione L.C.4 (Spazi di un tratteggio del secondo ordine che seguono un trattino della prima riga), le condizioni 2. e 4. sono equivalenti a

n_1 y \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \in S_T(1)
S_T(1) = \{1, \ldots, n_2 - 2, n_2\}

Inoltre, per il Corollario del Teorema T.8 (Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine per la prima riga):

\mathrm{t\_valore(x)} = n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil \tag{1}
\mathrm{t\_valore(y)} = n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot y + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil \tag{1'}

per cui nella condizione 5. è possibile semplificare n_1 come segue:

\begin{aligned}\mathrm{t\_valore(x)} + \mathrm{t\_valore(y)} = n_1 n & \Leftrightarrow \\ n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil + n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot y + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil = n_1 n & \Leftrightarrow \\ \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil + \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot y + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil = n \end{aligned}

Ipotesi H.1.T.A esplicita per i tratteggi di secondo ordine

Siano n \gt 1 un numero intero, e T = (n_1, n_2) un tratteggio lineare di secondo ordine, le cui componenti sono numeri primi non necessariamente consecutivi. Allora esistono due interi positivi x, y tali che:

n_1 x \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \in P_T(1)
n_1 y \mathrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \in S_T(1)
P_{T}(1) = \{2, \ldots, n_2\}
S_T(1) = \{1, \ldots, n_2 - 2, n_2\}
\biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggl \rceil + \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot y + 1}{n_1 + n_2} \biggl \rceil = ​n

Ricerca delle soluzioni

Abbiamo così riscritto l’Ipotesi H.1.T.A (Ipotesi di esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini) in modo da riferirci ai tratteggi di secondo ordine; il passo successivo è dimostrare che è vera, ossia che esiste almeno una coppia (x, y) che soddisfa i criteri richiesti. Il primo ostacolo nell’affrontare il problema è dato dal fatto che, nell’ultima equazione, è presente l’operazione \lceil \cdot \rceil, che non è trattabile facilmente. Il problema può comunque essere superato tramite le proprietà dell’operazione \mathrm{\ mod\ } e dalla sua variante \mathrm{\ mod^{\star}\ }, che ci permettono di passare a un’ulteriore riformulazione. L’ultima equazione, infatti, può essere riscritta in questo modo:

Iniziamo applicando la Definizione 1.1 presente in Teoria dei tratteggi, a pagina 11:

\bigg \lceil \cfrac {a}{b} \bigg \rceil = \cfrac{a - a \mathrm{\ mod^{\star}\ } b}{b} + 1 \tag{3}

Se, usando un generico w al posto di x e y, poniamo a := n_2 w + 1 e b := n_1 + n_2, l’ultima equazione dell’Ipotesi H.1.T.A.2 diventa

\cfrac {n_2 x + 1 - (n_2 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2)}{n_1 + n_2} + 1 + \cfrac {n_2 y + 1 - (n_2 y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2)}{n_1 + n_2} + 1 = n

ossia, portando a destra i due 1:

\cfrac {n_2 x + 1 - (n_2 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2)}{n_1 + n_2} + \cfrac {n_2 y + 1 - (n_2 y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2)}{n_1 + n_2} = n - 2

Nel seguito, indicheremo con i simboli v e w i due addendi di sinistra:

v := \cfrac {n_2 x + 1 - (n_2 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2)}{n_1 + n_2}
w := \cfrac {n_2 y + 1 - (n_2 y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2)}{n_1 + n_2}

Per cui, tenendo conto di come è stata ottenuta l’Ipotesi H.1.T.A.2, si ha che:

\mathrm{t\_valore}(x) = n_1 (v + 1) \tag{2}
\mathrm{t\_valore}(y) = n_1 (w + 1) \tag{2'}
Le equazioni (2) e (2′) derivano rispettivamente dalle formule (1) e (1′) presenti nel primo dettaglio, tenendo conto che la parte intera che moltiplica n_1 è pari rispettivamente a v + 1 e w + 1, per la formula (3).

Da queste equazioni risulta chiaro che i due spazi che ci interessano, \mathrm{t\_valore}(x) - 1 e \mathrm{t\_valore}(y) + 1, in realtà dipendono da v e w, più che da x e da y (infatti, come vedremo nel seguito, valori diversi di x e di y possono determinare lo stesso valore di v e w, e quindi gli stessi spazi). Quindi anche se, per come è formulata l’Ipotesi, le incognite sono x e y, è equivalente considerare come incognite v e w, come in effetti faremo.

Dimostrazione dell’esistenza di soluzioni

Usando questa formulazione, possiamo procedere con il passaggio finale, ossia dimostrare che l’equazione così riscritta ha almeno una soluzione (x, y) che rispetti tutti i vincoli. La dimostrazione partirà da un esempio, ossia l’equazione sviluppata su n = 6 con il tratteggio T = (3, 5), per cui n_1 = 3, n_2 = 5, n_1 + n_2 = 8, e n_1 n = 3 \cdot 6 = 18:

Siano n = 6 e T = (3, 5). Allora esistono due interi positivi x, y tali che:

3 x \mathrm{\ mod\ } 8 \in P_T(1) \tag{4}
3 y \mathrm{\ mod\ } 8 \in S_T(1) \tag{5}
P_T(1) = \{2, 3, 4, 5\}
S_T(1) = \{1, 2, 3, 5\}
\cfrac {5 x + 1 - (5 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8}{8} + \cfrac {5 y + 1 - (5 y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8}{8} = n - 2 \tag{6}

Nonostante la dimostrazione parta da questo esempio, le conclusioni che ne derivano, come vedremo, esuleranno da quest’ultimo, essendo valide universalmente per tutti i tratteggi di secondo ordine che abbiano numeri primi come componenti.

Come punto di partenza per la dimostrazione, costruiamo una tabella fatta in questo modo:

  • Nella prima riga ci sono i valori di x, a partire da 1;
  • Nella seconda riga ci sono i corrispondenti valori della quantità (n_2 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } (n_1 + n_2) che ricorre nell’equazione e nei vincoli, e in questo caso vale (5 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8;
  • Nella terza riga inseriamo il valore di v := \cfrac {5 x + 1 - (5 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8}{8}, ossia pari all’addendo più a sinistra che appare nel primo membro dell’equazione (6);
  • La tabella continua fino ad arrivare a un valore di v pari a n - 2, ossia fino a 6 - 2 = 4.

La tabella è la seguente:

x 1 2 3 4 5 6 7
(5 x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 6 3 8 5 2 7 4
v 0 1 1 2 3 3 4

Poi, raggruppiamo le colonne che hanno lo stesso valore di v:

x 1 2, 3 4 5, 6 7
(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 6 3, 8 5 2, 7 4
v 0 1 2 3 4

Ora procediamo allo stesso modo per y, ma creando una tabella fatta in un modo diverso:

  • Le prime due righe sono analoghe alle prime due della tabella precedente, ma sono riferite a y;
  • Nella terza riga, invece che v inseriamo il valore di w := \cfrac {5 y + 1 - (5 y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8}{8}, ossia pari all’altro addendo che appare nel primo membro dell’equazione (6);
  • Le colonne della tabella sono rovesciate rispetto alla precedente, ossia partono dall’ultima invece che dalla prima.

La tabella è la seguente:

y 7 6, 5 4 3, 2 1
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 4 7, 2 5 8, 3 6
v 4 3 2 1 0

A partire da queste due tabelle, ne creiamo poi un’altra, fatta in questo modo:

  • In cima ci sono le prime due righe della prima tabella;
  • Poi ci sono le prime due righe della seconda tabella, scambiate di posto;
  • Poi c’è una riga contenente la somma tra v e w, presi dalle due tabelle.

La tabella che si ottiene è la seguente:

x 1 2, 3 4 5, 6 7
(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 6 3, 8 5 2, 7 4
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 4 7, 2 5 8, 3 6
y 7 6, 5 4 3, 2 1
v + w 0 + 4 1 + 3 2 + 2 3 + 1 4 + 0

Si può notare come v + w sia sempre 4, così come prevede l’equazione (6) da cui siamo partiti per costruire v e w.

Ora, evidenziamo con un bordo nero tutti i valori della seconda riga che rispettano il vincolo (4), e quelli della terza riga che rispettano il vincolo (5):

x 1 2, 3 4 5, 6 7
(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 6 3, 8 5 2, 7 4
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 4 7, 2 5 8, 3 6
y 7 6, 5 4 3, 2 1
v + w 0 + 4 1 + 3 2 + 2 3 + 1 4 + 0

Poi, indichiamo in giallo le colonne che hanno almeno un numero evidenziato sia sulla seconda che sulla terza riga, ossia tali che almeno una x ed almeno una y della colonna soddisfino i rispettivi vincoli (4) e (5):

x 1 2, 3 4 5, 6 7
(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 6 3, 8 5 2, 7 4
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 4 7, 2 5 8, 3 6
y 7 6, 5 4 3, 2 1
v + w 0 + 4 1 + 3 2 + 2 3 + 1 4 + 0

Tutte le coppie (x, y) corrispondenti ai numeri evidenziati presenti nelle colonne in giallo, ossia (1, 7), (6, 3), (7, 1), sono quindi, per costruzione, tutte le soluzioni dell’equazione (6) che soddisfano i vincoli (4) e (5), che sono rappresentate nell’ultima riga sotto forma di somme v + w = n - 2.

Una volta rappresentate le soluzioni in questo modo, resta ancora da capire sotto quali condizioni ne esistano effettivamente. Cominciamo con l’osservare che, estendendo la seconda riga della tabella precedente:

(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 6 3, 8 5 2, 7 4 1, 6 3, 8 5 2, 7 4

si nota come la cella non evidenziata che non contiene numeri con il bordo (ossia la cella contenente 3, 8) appare una volta ogni 5 celle, e ci sono, a loro volta, 5 possibili celle in totale, ossia (1, 6), (3, 8), (2, 7), (4) e (5), dato che, se considerassimo anche x = 0, la prima cella (6) diventerebbe a sua volta (1, 6). Rappresentiamo questa situazione usando la notazione dei tratteggi: trasformiamo cioè la tabella precedente in una nuova tabella, in cui poniamo un trattino nelle celle che corrispondono alla cella (3, 8):

(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8                

Questa tabella ha un trattino ogni 5 celle, come nella rappresentazione del tratteggio T = (5):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 \ldots
5                 \ldots

La tabella precedente a questa, quindi, è un tratteggio T = (5) “traslato”, nel senso che i suoi trattini si alternano alle celle vuote nello stesso modo, ma la loro sequenza inizia in una cella diversa.

Ora, applichiamo lo stesso principio alla riga di (5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8 della tabella precedente:

(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8                

Il risultato è analogo al precedente: anche in questo caso otteniamo un tratteggio traslato, i cui trattini si trovano alla stessa distanza di prima, anche se la sequenza inizia in una cella ancora diversa.

Ora, torniamo alla tabella da cui siamo partiti, ma riportando i trattini invece dei numeri, e indicando in giallo le colonne che erano evidenziate come tali in precedenza:

x 1 2, 3 4 5, 6 7
(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8        
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8        
y 7 6, 5 4 3, 2 1
v + w 0 + 4 1 + 3 2 + 2 3 + 1 4 + 0

La seconda e la terza riga della tabella costituiscono un tratteggio, che è di secondo ordine, ma è traslato; l’aspetto interessante è che le coppie di soluzioni valide, ossia (1, 7), (6, 3) e (7, 1), si trovano tutte in corrispondenza delle colonne gialle, che corrispondono agli spazi di questo tratteggio: per cui, per dimostrare che esistono queste soluzioni, è sufficiente trovare gli spazi di questo tratteggio traslato (la cui rappresentazione è stata estesa rispetto a quella originaria in modo da evidenziare la ripetizione dei trattini):

(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8                                
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8                                
Si può osservare che il tratteggio visualizzato nella tabella qui sopra è molto simile a ciò che nella strategia dimostrativa basata sugli spazi abbiamo chiamato doppio tratteggio. Infatti, dalla tabella si otterrebbe un doppio tratteggio di primo ordine se le righe fossero sovrapposte e se uno dei due gruppi di trattini equidistanti iniziasse dalla prima colonna. Il fatto che i doppi tratteggi ricorrano in qualche modo in strategie dimostrative diverse, ci fa pensare che essi siano uno degli elementi chiave che si celano dietro l’enunciato della congettura di Goldbach.

Trovare gli spazi di un tratteggio fatto in questo modo, e/o dimostrare che esistono, è molto semplice, perché i trattini si ripetono sia sulla prima che sulla seconda riga con la stessa periodicità, e la distanza tra di essi, in ognuna delle righe, è pari a 5 = n_2.

Resta ancora da dimostrare che in questa tabella la distanza tra i trattini consecutivi di una stessa riga, partendo da un generico tratteggio di secondo ordine (n_1, n_2), è pari a n_2.

In generale, qualunque siano n_1, n_2 ed n, possiamo affermare che il primo spazio non può trovarsi oltre la terza colonna. Infatti il caso peggiore, ossia quello in cui il primo spazio è il più lontano possibile dall’inizio del tratteggio, è quello in cui:

  • Il primo trattino della prima riga si trova nella prima cella della riga stessa;
  • Il primo trattino della seconda riga si trova nella seconda cella della riga stessa.

Il tratteggio corrispondente a questo caso è il seguente:

x 1 2 3 \ldots
(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8         \ldots
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8         \ldots
v + w 0 + (n - 2) 1 + (n - 3) 2 + (n - 4) \ldots

In questo caso, o nel caso equivalente in cui le due righe sono scambiate di posto, il primo spazio si trova sulla terza colonna. In generale, anche in qualunque altra disposizione dei trattini, posto che siano distanziati tra loro, sulla stessa riga, di n_2, e tenendo conto che n_2 \geq 3 (essendo n_2 \gt n_1 \geq 2), il primo spazio non si troverebbe mai oltre la terza colonna. Ciò si dimostra per assurdo: se lo spazio più lontano dall’inizio del tratteggio fosse sulla quarta colonna, ad esempio, sarebbe preceduto da tre colonne che non sono spazi, il che vorrebbe dire che, in queste colonne, ci sarebbero almeno tre trattini. Ma, qualunque sia la loro posizione reciproca (tutti e tre sulla prima riga, o tutti e tre sulla seconda, o alternati), su almeno una riga la distanza tra due trattini consecutivi dovrebbe essere al massimo 2, che sarebbe minore di n_2 \geq 3, il che non è possibile. Il ragionamento è simile se si suppone che i trattini siano più di tre, o che il primo spazio sia nella quinta colonna, o sesta, e così via.

Ora, riportiamo di nuovo la riga con v nel tratteggio:

x 1 2 3 \ldots
(5x + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8         \ldots
(5y + 1) \mathrm{\ mod^{\star}\ } 8         \ldots
v + w 0 + (n - 2) 1 + (n - 3) 2 + (n - 4) \ldots
v 0 1 2 \ldots

Il valore di v corrispondente al primo spazio, ossia alla prima soluzione ammissibile, è al massimo 2, per il discorso precedente. Quindi possiamo dire che esiste almeno una soluzione con v \leq 2, a patto che la tabella abbia almeno tre colonne, perché il valore v = 2 si trova sulla terza colonna. Per costruzione, il numero di colonne della tabella è n - 1 (da v = 0 a v = n - 2); per cui, una condizione sufficiente affinché esista un valore di v che soddisfa la nostra ipotesi, è che n - 1 \geq 3, ossia n \geq 4.
Ora che abbiamo trovato una condizione di esistenza della soluzione, per trovare i due spazi che ci interessano è sufficiente ricordare che uno precede l’x-esimo trattino, e l’altro segue l’y-esimo, per cui le soluzioni che corrispondono ad un valore ammissibile di v, ed al corrispondente valore di w = n - 2 - v, sono:

\begin{aligned} p & := \\ \mathrm{t\_valore}_T(x) - 1 & = \text{[per la (2)]} \\ n_1 (v + 1) - 1\end{aligned} \tag{7}
\begin{aligned} q & := \\ \mathrm{t\_valore}_T(y) + 1 & = \text{[per la (2')]} \\ n_1 (w + 1) + 1\end{aligned}

Possiamo anche osservare che q, una volta calcolato p, si può calcolare semplicemente come n_1 n - p, per l’ultima equazione dell’Ipotesi H.1.T.A.1.
Avendo stabilito che esiste almeno una soluzione con v \leq 2, imponendo questo vincolo nella formula (7), possiamo dedurre che esiste uno spazio p, corrispondente ad una soluzione dell’Ipotesi H.1.T.A.1, tale che

p \leq 3 n_1 - 1

Quindi non solo abbiamo trovato la soluzione, ma abbiamo anche trovato una maggiorazione per uno dei due spazi corrispondenti.
Riassumendo, possiamo dire che l’Ipotesi H.1.T.A.1 ammette sempre una soluzione per n \geq 4, ed in tal caso esiste una soluzione tale che uno dei due spazi corrispondenti sia minore o uguale di 3 n_1 - 1.

Verifichiamo se l’enunciato da cui siamo partiti, ossia l’Ipotesi H.1.T.A (Ipotesi di esistenza di coppie di spazi complementari basata sui trattini), è effettivamente valido per le coppie che abbiamo trovato. Dobbiamo cioè determinare se, presi n = 6, il tratteggio T = (3, 5) e le coppie (x, y) pari a (1, 7), (6, 3) e (7, 1), ognuna di esse soddisfa la relazione

\mathrm{t\_valore}(x) + \mathrm{t\_valore}(y) = n_1 n

ossia, applicando il Corollario del Teorema T.8 (Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine per la prima riga) per sostituire \mathrm{t\_valore} con la sua espressione per il secondo ordine, e sostituendo n con 6, n_1 con 3 e n_2 con 5:

3 \biggl \lceil \cfrac{5 \cdot x + 1}{8} \biggl \rceil + 3 \biggl \lceil \cfrac{5 \cdot y + 1}{8} \biggl \rceil = 18

Iniziamo con la prima coppia (1, 7): sostituendo x con 1 e y con 7 si ha

3 \biggl \lceil \cfrac{5 \cdot 1 + 1}{8} \biggl \rceil + 3 \biggl \lceil \cfrac{5 \cdot 7 + 1}{8} \biggl \rceil = 3 \biggl \lceil \cfrac{6}{8} \biggl \rceil + 3 \biggl \lceil \cfrac{36}{8} \biggl \rceil = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 15 + 3 = 18

come previsto. Facciamo la stessa cosa con (6, 3):

3 \biggl \lceil \cfrac{5 \cdot 6 + 1}{8} \biggl \rceil + 3 \biggl \lceil \cfrac{5 \cdot 3 + 1}{8} \biggl \rceil = 3 \biggl \lceil \cfrac{31}{8} \biggl \rceil + 3 \biggl \lceil \cfrac{16}{8} \biggl \rceil = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 18

come previsto. La verifica per la terza coppia (7, 1) è speculare a quella per (1, 7), dato che gli addendi al primo membro dell’espressione, se si scambia x con y, sono identici.

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