11. Calcolo del valore di un trattino nei tratteggi lineari di secondo ordine

Prerequisiti:

In questo articolo vedremo alcune formule per il calcolo del valore dell’x-esimo trattino in un tratteggio di secondo ordine (ne vedremo anche altre nei prossimi articoli). L’approccio che seguiremo si basa su alcune nozioni che sono state oggetto di articoli precedenti:

L’intero procedimento può essere schematizzato come segue:

Figura 1: Schematizzazione del calcolo del valore di un trattino in un tratteggio lineare di secondo ordine mediante la tecnica del downcast: partendo dall’ordinale x si trova l’indice di riga i, quindi l’ordinale y all’interno della riga, infine il valore v del trattino.

L’unico elemento che ancora non ci è noto, tra quelli elencati sopra, è la soluzione dell’equazione caratteristica del downcast. Per comodità, ne riportiamo la formulazione che compare nel Corollario 1 della Proposizione T.4, nella notazione compatta:

x = y + \left \lfloor \frac{n_i y - (j > i)}{n_j} \right \rfloor \tag{1}

La soluzione di questa equazione, nell’incognita y, è data da:

y = \left \lceil \frac{n_j x + (j > i)}{n_i + n_j} \right \rceil \tag{2}

Esistono due diverse dimostrazioni del fatto che la (2) sia soluzione della (1). La prima (Teoria dei tratteggi, pagg.152-153) è più diretta. Essa, applicando le proprietà della parte intera, mostra che la (1) implica la (2). La seconda (op. cit., pagg. 153-154) si basa invece sul seguente Lemma:

Lemma per la dimostrazione della soluzione dell’equazione caratteristica del downcast lineare, dal secondo ordine al primo

Sia T un tratteggio lineare di secondo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2\} = \{i, j\}. Sia t l’x-esimo trattino di T, e sia y il suo ordinale in T[i]. Allora

\left \lfloor \frac{n_i y - (j > i)}{n_j} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n_i x - (j > i)}{n_i + n_j} \right \rfloor

Per questo Lemma, il termine con la parte intera della (1) si può riscrivere mettendo x al posto di y ed n_i + n_j al posto di n_j. Così la (1) diventa:

x = y + \left \lfloor \frac{n_i x - (j > i)}{n_i + n_j} \right \rfloor \tag{1'}

Scritta in questa nuova forma, l’equazione caratteristica del downcast è molto più semplice da risolvere, perché, a differenza di prima, la y compare una sola volta: per trovare la soluzione basta quindi portare i termini con x tutti da una parte e riunirli in una sola espressione con la parte intera: così, in pochissimi passaggi, si ottiene la (2) (per dettagli si veda op. cit., pag. 154).

Come abbiamo già osservato a proposito della funzione \mathrm{t\_spazio} di primo ordine, nella teoria dei tratteggi capita spesso di trovarsi a risolvere equazioni con la parte intera, come la (1), la cui soluzione approssimata può essere trovata semplicemente rimovendo le parti intere. Per esempio, nel caso della (1) abbiamo:

\begin{aligned} x \approx y + \frac{n_i y - (j > i)}{n_j} & \implies \\ x \approx \frac{(n_i + n_j) y - (j > i)}{n_j} & \implies \\ n_j x \approx (n_i + n_j) y - (j > i) & \implies \\ n_j x + (j > i) \approx (n_i + n_j) y & \implies \\ \frac{n_j x + (j > i)}{n_i + n_j} \approx y & \end{aligned}

In effetti il risultato coincide con la soluzione corretta (2), a meno della parte intera. Si tratta tuttavia di un caso fortunato: in generale non è noto a priori quanto la soluzione trovata con questo metodo si avvicini a quella corretta.

Allora, utilizzando i termini della teoria del downcast, possiamo enunciare il seguente Teorema:

Soluzione dell’equazione caratteristica del downcast di \mathrm{t} lineare, dal secondo ordine al primo

Sia T un tratteggio lineare di secondo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2\} = \{i, j\}. Allora la seguente funzione d_i: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} tale che:

d_i(x) := \left \lceil \frac{n_j x + (j > i)}{n_i + n_j} \right \rceil \tag{3}

è una funzione di downcast di \mathrm{t} da T a T[i].

In particolare, per i = 1:

d_1(x) := \left \lceil \frac{n_2 x + 1}{n_1 + n_2} \right \rceil \tag{4}

Mentre per i = 2:

d_2(x) := \left \lceil \frac{n_1 x}{n_1 + n_2} \right \rceil \tag{5}

Verifichiamo il Teorema precedente con riferimento al primo esempio dell’articolo Il problema del downcast. Questo esempio riguardava il downcast di \mathrm{t} da (3,4) a (3), che per comodità riportiamo:

Figura 2: downcast di t da (3,4) a (3)

In questo caso (n_1, n_2) = (3, 4) ed i = 1, perché il sottotratteggio che stiamo considerando è (3) = (n_1). Sostituendo questi valori nella (4), la formula diventa:

d_1(x) = \left \lceil \frac{n_2 x + 1}{n_1 + n_2} \right \rceil = \left \lceil \frac{4 x + 1}{7} \right \rceil

Applichiamo la formula per tutti gli ordinali della prima riga visibili nella figura: 1, 3, 5, 6, 8, 10. Così si ottiene:

  • d_1(1) = \left \lceil \frac{4 \cdot 1 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{5}{7} \right \rceil = 1
  • d_1(3) = \left \lceil \frac{4 \cdot 3 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{13}{7} \right \rceil = 2
  • d_1(5) = \left \lceil \frac{4 \cdot 5 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{21}{7} \right \rceil = 3
  • d_1(6) = \left \lceil \frac{4 \cdot 6 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{25}{7} \right \rceil = 4
  • d_1(8) = \left \lceil \frac{4 \cdot 8 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{33}{7} \right \rceil = 5
  • d_1(10) = \left \lceil \frac{4 \cdot 10 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{41}{7} \right \rceil = 6

Come ci aspettavamo, il comportamento della funzione d_1 è esattamente come quello della freccia visibile in Figura 2.
Invece per i = 2, cioè per il downcast da (3, 4) a (4), la formula (5) diventa:

d_2(x) = \left \lceil \frac{n_1 x}{n_1 + n_2} \right \rceil = \left \lceil \frac{3 x}{7} \right \rceil

Applicando questa formula per gli ordinali della seconda riga, che sono 2, 4, 7 e 9, si ottiene anche questa volta una successione di numeri naturali consecutivi (1, 2, 3 e 4), che sono i corrispondenti ordinali nel sottotratteggio (4). Ad esempio

d_2(4) = \left \lceil \frac{3 \cdot 4}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{12}{7} \right \rceil = 2

infatti il quarto trattino del tratteggio (3,4) (quello di valore 8) è il secondo del sottotratteggio (3,4)[2] = (4).

Ora abbiamo tutti gli strumenti per il calcolo del valore dell’x-esimo trattino di un tratteggio lineare di secondo ordine T, posto che questo appartenga alla riga i. Infatti possiamo enunciare il seguente Teorema:

Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine

Sia T un tratteggio lineare di secondo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2\} = \{i, j\}. Sia i la riga dell’x-esimo trattino di T, calcolabile applicando il Teorema T.2 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di secondo ordine). Allora

\mathrm{t\_valore}_T(x) = n_i d_i(x) \tag{6}

dove d_i(x) = \left \lceil \frac{n_j x + (j > i)}{n_i + n_j} \right \rceil è la funzione definita nel Teorema T.7.

Oppure, in una forma in cui è più evidente la tecnica del downcast:

\mathrm{t\_valore}_T(x) = \mathrm{t\_valore}_{T[i]}(d_i(x)) \tag{6'}

La dimostrazione è formata da una catena di uguaglianze:

\mathrm{t\_valore}_T(x) = T(\mathrm{t}_T(x)) = T(\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))) = T[i](\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))) = \mathrm{t\_valore}_{T[i]}(d_i(x)) = n_i d_i(x)

Analizziamo ogni passaggio nel dettaglio:

  • \mathrm{t\_valore}_T(x) = T(\mathrm{t}_T(x)): è la definizione di \mathrm{t\_valore} (Definizione T.8)
  • T(\mathrm{t}_T(x)) = T(\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))): è l’applicazione della definizione di funzione di downcast di \mathrm{t} da T a T[i] (Definizione T.10), per la quale \mathrm{t}_T(x) = \mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))
  • T(\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))) = T[i](\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))): è una conseguenza della definizione di sottotratteggio: la funzione tratteggio del sottotratteggio T[i] è una restrizione della funzione tratteggio di T sui trattini della riga i, quindi le due funzioni coincidono su tutti i trattini della riga i, ed in particolare coincidono sul suo d_i(x)-esimo trattino \mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))).
  • T[i](\mathrm{t}_T[i](d_i(x))) = \mathrm{t\_valore}_{T[i]}(d_i(x)): è di nuovo la definizione di \mathrm{t\_valore}
  • \mathrm{t\_valore}_{T[i]}(d_i(x)) = n_i d_i(x): è il calcolo del \mathrm{t\_valore} lineare di primo ordine, la cui espressione è data dalla Proposizione T.1

Nell’esempio precedente abbiamo già calcolato la quantità d(x), per cui risulta immediato calcolare la funzione \mathrm{t\_valore} mediante la formula (6). Tuttavia è interessante, a questo punto, fare il calcolo di \mathrm{t\_valore} partendo solo dall’ordinale, per esempio partendo da x = 6. Per calcolarlo possiamo applicare la formula (8) del Teorema T.2, secondo cui

\mathrm{t}_{(3,4)}(x) \in (3,4)[1] \Leftrightarrow (3x - 1) \mathrm{\ mod\ } (3 + 4) \lt 4

Per x = 6 il modulo a destra vale 17 \mathrm{\ mod\ } 7 = 3 che è minore di 4, dunque effettivamente \mathrm{t}_{(3,4)}(x) \in (3,4)[1] = (3). Allora il valore di i da utilizzare nel Teorema T.8 è proprio 1. Quindi, per le formule (6) e (4):

\mathrm{t\_valore}_{(3,4)}(6) = n_1 d_1(6) = 3 d_1(6) = 3 \left \lceil \frac{4 \cdot 6 + 1}{3 + 4} \right \rceil = 3 \left \lceil \frac{25}{7} \right \rceil = 3 \cdot 4 = 12

Abbiamo ottenuto così il valore del sesto trattino, visibile in Figura 2.

Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine per la prima riga

La formula per \mathrm{t\_valore_T}(x) per i trattini appartenenti alla prima riga di un tratteggio T = (n_1, n_2) del secondo ordine, ottenuta dalla (6) del Teorema T.8 sostituendo i = 1, j = 2 e d_i(x) con la sua espressione, è la seguente:

\mathrm{t\_valore_T}(x) = n_1 \biggl \lceil \cfrac{n_2 \cdot x + 1}{n_1 + n_2} \biggr \rceil

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