12. Calcolo del valore di un trattino nei tratteggi lineari di terzo ordine

Prerequisiti:

Per il calcolo del valore dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine, si può procedere in maniera analoga al secondo ordine. L’approccio generale è sempre quello del downcast; ora però abbiamo due possibilità: possiamo fare il downcast dal terzo ordine al secondo (cioè da T a T[i, j], dove T = (n_1, n_2, n_3) è il tratteggio dato), oppure dal terzo ordine al primo (cioè da T a T[i]). Entrambe le possibilità sono illustrate di seguito:

Figura 1: Rappresentazione del calcolo del valore di un trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine, mediante il downcast al secondo ordine: partendo dall’ordinale x si trova l’indice di riga i, quindi l’ordinale y all’interno della riga, infine il valore v del trattino.
Figura 2: Rappresentazione del calcolo del valore di un trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine, mediante il downcast al primo ordine: partendo dall’ordinale x si trova un sottotratteggio che contiene la riga i a cui appartiene il trattino, quindi si trova l’ordinale y all’interno del sottotratteggio, infine il valore v del trattino.

In entrambi i casi, essendo già note le formule per il calcolo della riga, restano solo da risolvere le rispettive equazioni caratteristiche del downcast per calcolare, usando i simboli delle Figure 1 e 2, l’ordinale y a partire dall’ordinale x. Vedremo che, a seconda che si faccia il downcast al secondo ordine o al primo, si hanno equazioni caratteristiche diverse non solo nella forma ma anche nella sostanza, per cui è bene trattare i due casi separatamente.

Calcolo di \mathrm{t\_valore} lineare mediante il downcast dal terzo ordine al secondo

Riprendiamo l’equazione caratteristica del downcast di \mathrm{t} lineare dal terzo ordine al secondo, data dal Corollario 3 della Proposizione T.4, nella sua forma compatta:

x = y + \left \lfloor \frac{\mathrm{t\_valore}_U(y) - (k \gt i)}{n_k} \right \rfloor \tag{1}

Precisiamo che:

La soluzione dell’equazione, nell’incognita y, è data dal seguente Teorema:

Soluzione dell’equazione caratteristica del downcast di \mathrm{t} lineare, dal terzo ordine al secondo

Sia T un tratteggio lineare di terzo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2, 3\} = \{i, j, k\}. Sia \mathrm{t}_T(x) \in T[i]. Allora l’ordinale y tale che \mathrm{t}_T(x) = \mathrm{t}_{T[i,j]}(y), soluzione dell’equazione (1), è dato dalla seguente funzione d_{i,j}: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star}:

y = d_{i,j}(x) := \left \lceil \frac{(n_i + n_j)n_k x - n_i n_j + (k \gt i)(n_i + n_j)}{n_i n_j + n_i n_k + n_j n_k} \right \rceil \tag{2}

In particolare:

d_{i,j}(x) := \begin{cases} \left \lceil \frac{(n_1 + n_2)n_3 x - n_1 n_2 + n_1 + n_2}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & \text{se } (i, j) = (1, 2) \text{ oppure } (i, j) = (2, 1)\\ \left \lceil \frac{(n_1 + n_3)n_2 x - n_1 n_3 + n_1 + n_3}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & \text{se } (i, j) = (1, 3)\\ \left \lceil \frac{(n_1 + n_3)n_2 x - n_1 n_3}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & \text{se } (i, j) = (3, 1)\\ \left \lceil \frac{(n_2 + n_3)n_1 x - n_2 n_3}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & \text{se } (i, j) = (2, 3) \text{ oppure } (i, j) = (3, 2) \end{cases} \tag{3}

Per la dimostrazione di questo teorema, si veda Teoria dei tratteggi, pagg. 178-179.

Se confrontiamo l’enunciato di questo Teorema con quello dell’analogo per il secondo ordine, il Teorema T.7, notiamo che la funzione definita in quest’ultimo, d_i(x), è chiamata funzione di downcast, mentre nel Teorema T.9 non si dice altrettanto per la funzione d_{i,j}(x). In effetti quest’ultima non è propriamente una funzione di downcast da T a T[i,j]. Infatti, sebbene essa calcoli l’ordinale y a partire da x, non lo fa in tutti i casi, ma solo quando x è un ordinale della riga i: infatti nel Teorema T.9 c’è l’ipotesi che \mathrm{t}_T(x) \in T[i]. Se d_{i,j}(x) fosse una funzione di downcast, dovrebbe “funzionare” (cioè calcolare il giusto y) anche quando \mathrm{t}_T(x) \in T[j], cioè per tutti gli ordinali x del sotttratteggio T[i,j]. Non è difficile però trovare una tale funzione. Innanzitutto il Teorema T.9 ci dice che, se \mathrm{t}_T(x) \in T[i], si può utilizzare la funzione d_{i,j}(x). Se invece \mathrm{t}_T(x) \in T[j], si può riscrivere il Teorema T.9 scambiando i simboli i e j, ottenendo un nuovo enunciato secondo cui la funzione da utilizzare è d_{j,i}(x), la cui definizione è data sempre dalla (2), scambiando i e j. Quindi una vera e propria funzione di downcast da T a T[i,j] è quella definita nel seguente Corollario.

Funzione di downcast di \mathrm{t} lineare, dal terzo ordine al secondo

Sia T un tratteggio lineare di terzo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2, 3\} = \{i, j, k\}. Allora la seguente funzione d_{i,j}: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star}:

d_{\{i,j\}}(x) := \begin{cases} \left \lceil \frac{(n_i + n_j)n_k x - n_i n_j + (k \gt i)(n_i + n_j)}{n_i n_j + n_i n_k + n_j n_k} \right \rceil & \text{se } \mathrm{t}_T(x) \in T[i]\\ \left \lceil \frac{(n_i + n_j)n_k x - n_i n_j + (k \gt j)(n_i + n_j)}{n_i n_j + n_i n_k + n_j n_k} \right \rceil & \text{se } \mathrm{t}_T(x) \in T[j] \end{cases} \tag{4}

è una funzione di downcast di \mathrm{t} lineare, da T a T[i,j].

Osserviamo che i due casi della definizione della funzione d_{\{i,j\}}(x) sono identici, eccetto per la condizione che moltiplica il polinomio n_i + n_j: essa è infatti l’unica parte della formula (2), da cui ciascun caso proviene, che non è simmetrica rispetto ad i e j. La formula (4) invece gode di questa proprietà di simmetria: se in essa si scambiano i e j, i due casi si scambiano di posto, ma la funzione resta la stessa. Pensandoci, non può che essere così, perché fare il downcast da T a T[i,j], o farlo da T a T[j,i], è la stessa cosa, dato che T[i,j] e T[j,i] individuano lo stesso sottotratteggio, si tratta solo di due notazioni alternative (v. la nota dopo la definizione di sottotratteggio). Ciò non vale invece per la formula (2), perché l’ipotesi che il trattino appartenga alla riga i, e non a j, rende diversi i ruoli delle due righe ed è pertanto fonte di asimmetria.
Per indicare il fatto che la funzione d_{\{i,j\}}(x) è simmetrica rispetto ad i e j abbiamo usato la notazione insiemistica \{i,j\} al pedice, in quanto a livello insiemistico \{i,j\} = \{j,i\}. Questo tipo di notazione manca invece nella funzione d_{i,j}(x), per indicare il fatto che quest’ultima non è simmetrica rispetto ad i e j.

Ora non ci resta che applicare il Teorema T.9 per calcolare il valore dell’x-esimo trattino del tratteggio di partenza T. Posto che esso appartenga alla riga i, e ricordando che possiamo conoscere i grazie al Teorema T.4 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine con componenti a due a due coprime) o al Teorema T.6 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine qualsiasi), per il Teorema T.9 abbiamo che:

\mathrm{t}_T(x) = \mathrm{t}_{T[i,j]}(d_{i,j}(x))

Ma se due trattini sono uguali, lo sono anche i loro valori, per cui

\mathrm{t\_valore}_T(x) = \mathrm{t\_valore}_{T[i,j]}(d_{i,j}(x)) \tag{5}

Ora il membro a destra può essere calcolato applicando il Teorema T.8 (Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine). Applicando questo Teorema con T := T[i,j] (quest’ultimo svolge il ruolo del tratteggio di secondo ordine che contiene il trattino dal valore incognito) ed x := d_{i,j}(x) (l’ordinale del trattino rispetto al tratteggio precedente), si ottiene che

\mathrm{t\_valore}_{T[i,j]}(d_{i,j}(x)) = n_i d_i(d_{i,j}(x)) \tag{6}

Unendo la (6) e la (5), si ottiene il seguente Teorema:

Formula generale per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di terzo ordine

Sia T un tratteggio lineare di terzo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2, 3\} = \{i, j, k\}. Sia i la riga dell’x-esimo trattino di T (calcolabile applicando il Teorema T.4 oppure il Teorema T.6). Allora:

\mathrm{t\_valore}_T(x) = n_i d_i(d_{i,j}(x)) \tag{7}

dove

È importante familiarizzare con questa parte della formula (7):

d_i(d_{i,j}(x))

Abbiamo qui la composizione della funzione d_{i,j}, che viene calcolata prima ed è riferita al tratteggio T, con la funzione d_i, che viene calcolata dopo ed è riferita al tratteggio T[i,j]. Abbiamo detto che la funzione d_{i,j} per gli ordinali della riga i si comporta come una funzione di downcast da T a T[i,j], mentre la funzione d_i è una funzione di downcast dal tratteggio a cui si riferisce, ossia T[i,j], a T[i]. Abbiamo quindi la seguente catena di downcast:

T \xrightarrow{d_{i,j}} T[i,j] \xrightarrow{d_i} T[i]

Oppure semplicemente:

T \rightarrow T[i,j] \rightarrow T[i]

Il Teorema T.10 è volutamente astratto, nel senso che non specifica un valore preciso per i, j e k, perché in questo modo con l’unica formula (7) si esprimono ben sei formule diverse. Infatti i può essere 1, 2, o 3; in più, per ciascuna scelta di i, siamo liberi di scegliere j tra i due indici restanti; ad esempio se i è 1, j può essere 2 o 3, in base alla condizione I = \{1, 2, 3\} = \{i, j, k\}. Solo la scelta di k è obbligata, per via della stessa condizione, una volta che sono stati scelti i e j. Ma ogni diversa terna (i,j,k) dà luogo ad una formula diversa: ciò significa che, per ogni scelta di i, esistono due formule diverse che calcolano la stessa cosa, ossia il valore dell’x-esimo trattino quando questo appartiene alla riga i.
Ricapitolando, abbiamo tre possibili scelte di i, per ciascuna di esse abbiamo due possibili scelte di j, e per ciascuna scelta di i e di j abbiamo una scelta obbligata di k: quindi 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 possibili scelte, e quindi 6 possibili formule. Sei formule possono non sembrare molte, ma immaginiamo cosa può accadere in generale. Per un ordine generico k, il numero di formule diventerebbe, per lo stesso ragionamento, k \cdot (k-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = k!. È un numero che cresce così rapidamente che diventerebbe ben presto proibitivo elencare tutte le possibili formule, anche per piccoli valori di k. Per questo ha senso usare una sola formula generica, come la (7), che le comprende tutte.
D’altra parte, nella pratica risulta più facile applicare formule “concrete”, senza troppe variabili. Per venire incontro a questa esigenza possiamo limitarci a quello che davvero interessa, cioè il valore di i, e scegliere una sola formula “canonica” per ciascun valore di i. Abbiamo detto che nel terzo ordine ci sono due formule per ciascun valore di i, a seconda del valore che scegliamo per j (o, se preferiamo, per k). Tra queste due formule sceglieremo, come formula canonica, quella ottenuta col valore di j più piccolo possibile (o, equivalentemente, col valore di k più grande possibile). Faremo quindi le seguenti scelte “canoniche”:

i j k T \rightarrow T[i,j] \rightarrow T[i]
1 2 3 T \rightarrow T[1, 2] \rightarrow T[1]
2 1 3 T \rightarrow T[1, 2] \rightarrow T[2]
3 1 2 T \rightarrow T[1, 3] \rightarrow T[3]

Per ogni scelta canonica abbiamo riportato la corrispondente catena di downcast. Ricordiamo che T[1,2] = T[2,1]: per questo che il sottotratteggio intermedio è lo stesso sia per la prima scelta ((i,j) = (1,2)) che per la seconda ((i,j) = (2,1)).
Sostituendo queste scelte canoniche nell’enunciato del Teorema T.10, si ottiene il seguente Corollario:

Formule canoniche per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di terzo ordine

Sia T un tratteggio lineare di terzo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2, 3\}. Sia i la riga dell’x-esimo trattino di T (calcolabile applicando il Teorema T.4 oppure il Teorema T.6). Allora:

\mathrm{t\_valore}_T(x) = \begin{cases} n_1 \left \lceil \frac{n_2 \left \lceil \frac{(n_1 + n_2)n_3 x - n_1 n_2 + n_1 + n_2}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil + 1}{n_1 + n_2} \right \rceil & \text{se } i = 1\\ n_2 \left \lceil \frac{n_1 \left \lceil \frac{(n_1 + n_2)n_3 x - n_1 n_2 + n_1 + n_2}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil}{n_1 + n_2} \right \rceil & \text{se } i = 2 \\ n_3 \left \lceil \frac{n_1 \left \lceil \frac{(n_1 + n_3)n_2 x - n_1 n_3}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil}{n_1 + n_3} \right \rceil & \text{se } i = 3 \end{cases} \tag{8}

Si tenga presente che, dopo aver sostituito le variabili i, j e k nel Teorema T.10, ottenendo così la formula (8), abbiamo ordinato le espressioni polinomiali in n_1, n_2 ed n_3 rispetto agli indici di queste variabili. Per questo, ad esempio, al denominatore della frazione più esterna c’è sempre n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3. Ciò rende un po’ più leggibile una formula come la (8) che è strutturalmente abbastanza complicata.

A titolo di esempio possiamo riprendere l’articolo introduttivo Da un problema sulla corsa ai tratteggi, dove nella parte relativa alla soluzione abbiamo calcolato il valore dell’x-esimo trattino del tratteggio (3,4,5), per x = 12. Nell’articolo citato abbiamo indicato questo trattino con (i, n), poi abbiamo stabilito che appartiene alla seconda riga (cioè i = 2), infine abbiamo calcolato n con la formula

n = \left \lceil \frac{3 \left \lceil \frac{35 x - 5}{47} \right \rceil}{7} \right \rceil

Il valore del trattino è quindi stato ottenuto con la formula n_2 n = 4 n, ossia

\mathrm{t\_valore}_T(x) = 4 \left \lceil \frac{3 \left \lceil \frac{35 x - 5}{47} \right \rceil}{7} \right \rceil

Verifichiamo che questa formula coincide con la (8). Se in questa formula sostituiamo, nel caso i = 2, i valori (n_1, n_2, n_3) = (3, 4, 5), otteniamo:

\begin{aligned} n_2 \left \lceil \frac{n_1 \left \lceil \frac{(n_1 + n_2)n_3 x - n_1 n_2 + n_1 + n_2}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil}{n_1 + n_2} \right \rceil & = \\ 4 \left \lceil \frac{3 \left \lceil \frac{(3 + 4)5 x - 3 \cdot 4 + 3 + 4}{3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5} \right \rceil}{3 + 4} \right \rceil & = \\ 4 \left \lceil \frac{3 \left \lceil \frac{7 \cdot 5 x - 12 + 3 + 4}{12 + 15 + 20} \right \rceil}{7} \right \rceil & = \\ 4 \left \lceil \frac{3 \left \lceil \frac{35 x - 5}{47} \right \rceil}{7} \right \rceil \end{aligned}

Come atteso, le due formule coincidono. Sostituendo x = 12 e facendo i conti, si ha conferma del risultato finale \mathrm{t\_valore}_T(12) = 16.

Calcolo di \mathrm{t\_valore} mediante il downcast dal terzo ordine al primo

Concentriamoci ora sull’equazione caratteristica del downcast di \mathrm{t} dal tratteggio lineare di terzo ordine T al suo sottotratteggio di primo ordine T[i]. Abbiamo visto questa equazione nel Corollario 2 della Proposizione T.4 e per comodità la riportiamo qui nella sua forma compatta:

x = y + \left \lceil \frac{n_i y - (j \gt i)}{n_j} \right \rceil + \left \lceil \frac{n_i y - (k \gt i)}{n_k} \right \rceil \tag{9}

Ricordiamo che l’incognita y è l’ordinale dell’x-esimo trattino di T sulla riga i, ossia y è tale che

\mathrm{t}_T(x) = \mathrm{t}_{T[i]}(y)

Ci riconduciamo così direttamente ad un tratteggio di primo ordine, cosa che consente di calcolare immediatamente il valore del trattino, senza ulteriori downcast… ma c’è un problema. Sfortunatamente non è ancora nota una funzione di downcast dal terzo ordine al primo, ossia una funzione che calcola y per ogni x. Per ora esiste una funzione che calcola il valore corretto di y solo in alcuni casi (e per questo motivo non possiamo chiamarla funzione di downcast, come abbiamo osservato in precedenza a proposito della funzione d_{i,j}):

Soluzione parziale dell’equazione caratteristica del downcast di \mathrm{t} lineare, dal terzo ordine al primo

Sia T un tratteggio lineare di terzo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2, 3\} = \{i, j, k\}. Sia t := \mathrm{t}_T(x) \in T[i] tale che la differenza tra il suo valore e quello del precedente trattino della riga k, differenza che chiamiamo a, rispetti la seguente condizione:

n_i(n_j + n_k) \geq n_j a \tag{10}

Allora l’ordinale y tale che t = \mathrm{t}_{T[i]}(y), soluzione dell’equazione (9), è dato dalla seguente funzione e_i: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star}:

y = e_i(x) := \left \lceil \frac{n_j n_k x + n_j (k \gt i) + n_k (j \gt i)}{n_i n_j + n_i n_k + n_j n_k} \right \rceil \tag{11}

In particolare:

e_i(x) := \begin{cases} \left \lceil \frac{n_2 n_3 x + n_2 + n_3}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & \text{se } i = 1 \\ \left \lceil \frac{n_1 n_3 x + n_2}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & \text{se } i = 2 \\ \left \lceil \frac{n_1 n_2 x}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & \text{se } i = 3 \end{cases}

Questo Teorema compare nell’opera orignale Teoria dei tratteggi, pagg. 182-183, in una forma leggermente diversa, dove al posto dell’ipotesi (10) vi è la seguente:

n_i(n_j + n_k) \geq n_j \left( (n_i y - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k \right) \tag{12}

Questa ipotesi tuttavia, oltre ad essere più criptica, non ha utilità pratica, in quanto coinvolge il numero y che è proprio l’incognita da calcolare: per questo abbiamo preferito la formulazione del Teorema T.11. Il Teorema originale ci torna comunque utile per la dimostrazione, perchè possiamo concepire il Teorema T.11 come una versione modificata del Teorema originale, nella quale abbiamo sostituito l’ipotesi (12) con la (10). A questo punto, allora, per dimostrare il Teorema T.11 è sufficiente dimostrare che l’ipotesi nuova, la (10), implica quella vecchia, la (12). In questo modo ci mettiamo nelle condizioni di poter applicare il Teorema originale, che è stato già dimostrato, e che porta alla stessa conclusione del Teorema T.11, ossia la validità della formula (11).

Può sembrare complicato dimostrare la formula (12) partendo dalla (10), ma le cose cambiano una volta compreso il significato del modulo in gioco. Questo significato è meglio evidenziato se dalla (12) passiamo ad una disuguaglianza più forte:

n_i(n_j + n_k) \geq n_j \left( (n_i y - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k + (k \gt i) \right) \tag{12'}

È evidente che la (12′) implica la (12), in quanto n_i(n_j + n_k) \geq n_j \left( (n_i y - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k + (k \gt i) \right) \geq n_i(n_j + n_k) \geq n_j \left( (n_i y - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k \right), dunque se dimostriamo che è vera la (12′) automaticamente abbiamo dimostrato che è vera anche la (12). Ragioniamo quindi sulla (12′).

La chiave della dimostrazione è capire il significato dell’espressione

(n_i y - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k + (k \gt i) \tag{13}

Il numero n_i y è il valore del trattino t (abbiamo chiamato così l’x-esimo trattino di T). Infatti nell’enunciato del Teorema T.11 abbiamo detto che esso ha ordinale y sulla riga i e quindi, per la Proposizione T.1, il suo valore è n_i y. Dunque possiamo riscrivere la (13) come

(|t| - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k + (k \gt i) \tag{14}

dove abbiamo indicato con |t| il valore di t. Ora l’espressione (14) assume un significato ben preciso: essa rappresenta la differenza tra il valore di t e quello del precedente trattino della riga k, proprio il numero che abbiamo indicato con la lettera a:

(|t| - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k + (k \gt i) = a \tag{15}

L’uguaglianza (15) è di per seé una Proposizione alla quale dedicheremo uno dei prossimi articoli. Per il momento andiamo avanti prendendo per buona la formula (15). Così, sostituendo questa formula a ritroso fino alla (12′), si ottiene

\begin{aligned} (10) := \\ n_i(n_j + n_k) \geq n_j a \Leftrightarrow \\ n_i(n_j + n_k) \geq n_j (|t| - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k + (k \gt i) \Leftrightarrow \\ n_i(n_j + n_k) \geq n_j (n_i y - (k \gt i)) \mathrm{\ mod\ } n_k + (k \gt i) =: \\ (12') \end{aligned}

Quindi la (10) è equivalente alla (12′), e poiché quest’ultima, come abbiamo visto, implica la (12), allora anche la (10) implica la (12). Questo conclude la dimostrazione, dato che il Teorema originale, con l’ipotesi (12) invece della (10), è stato dimostrato in op. cit., pagg. 182-183.

Possiamo riscrivere l’ipotesi (10) in questo modo:

n_i + \frac{n_k}{n_j} \geq a \tag{10'}

Ora risulta evidente che il Teorema T.11 richiede che il numero a sia al di sotto di una certa quantità, che dipende dalle componenti del tratteggio. In termini meno formali, possiamo dire che il trattino t non deve essere “troppo distante” dal precedente della riga k.

Del numero a abbiamo già parlato nell’articolo Il calcolo della riga e le differenze tra i valori dei trattini. In particolare, nel Teorema T.5 (Differenza tra il valore di un trattino di una riga e quelli dei precedenti trattini delle altre righe, in un tratteggio lineare di terzo ordine) abbiamo visto che, se le componenti del tratteggio sono a due a due coprime, questo numero a è tale che

(n_j + n_k)n_i x \mathrm{\ mod\ } (n_i n_j + n_i n_k + n_j n_k) = n_j a + n_k b \in R_T(i)

Quindi possiamo calcolare a calcolando il modulo a sinistra ed esprimendolo nella forma n_j a + n_k b in modo tale che questo sia un elemento di R_T(i) (il che corrisponde, in pratica, a fissare dei limiti sui possibili valori di a e b: si veda il Teorema T.4 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine con componenti a due a due coprime)). Avendo calcolato a, valutando la condizione (10) potremo sapere se possiamo applicare la (11) per calcolare y (se la (10) non vale, la formula (11) potrebbe restituire un valore di y errato).

Vale la pena osservare, comunque, che esiste un caso in cui la (10′), e quindi la (10), è sempre vera: quando i è l’indice della componente più grande del tratteggio. Infatti, essendo a la differenza tra il valore di t e quello del precedente trattino di un’altra riga, ad esempio j, certamente a non può superare n_j (altrimenti esisterebbero almeno n_j colonne consecutive senza nemmeno un trattino di componente n_j, che è impossibile). Ma se a è minore o uguale ad n_j, e se questo è minore di n_i, allora a è minore di n_i e quindi vale la (10′):

a \leq n_j \lt n_i \lt n_i + \frac{n_k}{n_j} \Rightarrow a \leq n_i + \frac{n_k}{n_j}

Lo stesso discorso vale se l’altra riga è n_k: non cambia nulla perchè si tratta sempre di una componente più piccola di n_i, che abbiamo supposto essere la più grande.
Ricapitolando, possiamo sempre usare la formula (11) per fare il downcast di \mathrm{t} lineare da un tratteggio di terzo ordine alla sua riga relativa alla componente piì grande (tipicamente l’ultima), senza valutare la condizione (10), che è automaticamente vera.

Uno dei temi che ricorrono più spesso in teoria dei tratteggi è quello della simmetria, ed anche in questo caso non possiamo fare a meno di parlarne. Possiamo osservare che la formula (11) è perfettamente simmetrica rispetto a j e k: scambiando i due simboli si riottiene esattamente la stessa formula. Il senso di questa cosa è che, quando facciamo il downcast da un tratteggio lineare di terzo ordine T ad una sua riga T[i], non importa come chiamiamo le altre due righe, quale chiamiamo j e quale k: ciò non importa ai fini del calcolo. Può sembrare una cosa ovvia, ma è importante osservare due cose:

  • Non vale la stessa cosa per il Teorema T.9, dove facciamo il downcast da T a T[i,j]. In questo caso, anche se l’x-esimo trattino appartiene sempre alla riga i, è importante distinguere tra j e k, perché solo j rientra nel sottotratteggio di destinazione. Perciò la formula che risolve l’equazione caratteristica del downcast dal terzo ordine al secondo, con l’ipotesi di appartenenza alla riga i (formula (3)), non avrebbe mai potuto essere simmetrica rispetto a j e k. Il “trucco”, se vogliamo, per renderla simmetrica, è eliminare l’ipotesi di appartenenza alla riga i, ma di questo abbiamo già parlato (v. osservazione dopo il Teorema T.9).
  • Tornando al Teorema T.11, possiamo notare che l’ipotesi (10) non è simmetrica rispetto a j e k. Ciò appare un controsenso rispetto a quanto osservato prima, ma certamente esiste una spiegazione: per esempio la formula (10) e quella ottenuta da essa scambiando j e k:
    n_i(n_j + n_k) \geq n_k a

    potrebbero essere equivalenti. Se non lo sono, di certo la formula (11) restituisce il valore corretto quando anche solo una delle due è vera, perché il Teorema T.11 garantisce il risultato corretto a prescindere dalla scelta di j e di k. Resta il fatto che la condizione (10), per la sua mancanza di simmetria, è un indizio del fatto che l’enunciato del Teorema potrebbe essere migliorato, ma questo è ancora un punto aperto.

Esiste una versione del Teorema T.11 che non prevede l’ipotesi aggiuntiva (10)? In altri termini, è possibile risolvere l’equazione caratteristica del downcast (9) per qualunque ordinale x, data solamente la riga di appartenenza del trattino? Questa domanda resta ancora senza risposta. Una parziale risposta per il momento è data dalla seguente ipotesi:

Intervallo di valori possibili per una funzione di downcast di \mathrm{t} lineare dal terzo ordine al primo

Sia T un tratteggio lineare di terzo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2, 3\} = \{i, j, k\}. Sia f_i una funzione di downcast di \mathrm{t} da T a T[i]. Allora si ipotizza valida la seguente disuguaglianza:

\left \lfloor \frac{n_j n_k x + n_j (k \gt i) + n_k (j \gt i)}{n_i n_j + n_i n_k + n_j n_k} \right \rfloor \leq f_i(x) \leq \left \lceil \frac{n_j n_k x + n_j (k \gt i) + n_k (j \gt i)}{n_i n_j + n_i n_k + n_j n_k} \right \rceil

Proviamo a ripetere l’esempio precedente applicando il Teorema T.11 anziché il Teorema T.9. Non è detto che il Teorema si possa applicare: dobbiamo valutare se l’ipotesi (10) è soddisfatta. Disegnando la tabella del tratteggio possiamo verificare che i trattini che precedono il dodicesimo sulle altre righe hanno entrambi valore 15, sia sulla prima che sulla terza riga:

Figura 3: Dodicesimo trattino del tratteggio (3,4,5), in rosso, e precedenti trattini delle altre righe, in verde

In questo caso quindi, indipendentemente da come scegliamo j e k ((j,k) = (1,3) oppure (j,k) = (3,1)), il numero a vale sempre 1. Si tratta di un numero basso, infatti possiamo verificare che l’ipotesi (10) è soddisfatta. Ad esempio, scegliendo k = 3 abbiamo:

\begin{aligned} (n_i(n_j + n_k) \geq n_k a & \Leftrightarrow \\ 3(4 + 5) \geq 5 \cdot 1 & \Leftrightarrow \\ 27 \geq 5 \end{aligned}

Essendo soddisfatta l’ipotesi (10), possiamo applicare la formula (11), per cui

\begin{aligned} y & = \\ e_2(x) & = \\ \left \lceil \frac{n_1 n_3 x + n_2}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right \rceil & = \\ \left \lceil \frac{3 \cdot 5 \cdot 12 + 4}{3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5} \right \rceil & = \\ \left \lceil \frac{180}{47} \right \rceil & = \\ 4 \end{aligned}

Da cui, per la Proposizione T.1 (Funzioni \mathrm{t} e \mathrm{t\_valore} lineari di primo ordine), \mathrm{t\_valore}_T(12) = n_i y = 4 \cdot 4 = 16, come ottenuto in precedenza.

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