Il Teorema di Chebyshev (versione debole)

Prerequisiti:

Chebyshev si occupava, oltre che di matematica e statistica, anche di fisica teorica: questa è la sua “macchina plantigrada”, in grado di trasformare in camminata la rotazione di un asse (Wikipedia)

Studiando il minimo comune multiplo dei primi numeri interi positivi, che abbiamo indicato con la notazione \psi^{\star}(x), è emersa una interessante connessione con la funzione che calcola il numero di primi minori o uguali ad x, che a sua volta abbiamo indicato con la notazione \pi(x). Questa connessione è data dal Corollario della Proposizione N.2:

\psi^{\star}(x) \leq x^{\pi(x)} \tag{1}

Ora ci poniamo l’obiettivo di studiare la funzione \pi(x) ed in particolare il suo ordine di grandezza, utilizzando gli strumenti dell’analisi asintotica. Dato che, nella (1), la funzione che ci interessa compare all’esponente, il primo passaggio da fare è calcolare il logaritmo di ambo i membri, per riportarla alla base. Per semplificare la notazione, definiamo allora le funzioni \theta(x) e \psi(x) come i logaritmi della corrispondenti funzioni con l’asterisco:

Funzioni logaritmiche \theta(x) e \psi(x)

Si definiscono le funzioni

\theta(x) := \log \theta^{\star}(x)
\psi(x) := \log \psi^{\star}(x)

dove x è un intero positivo.

Come base del logaritmo, conveniamo di utilizzare il numero di Nepero e, per motivi che saranno chiari nel seguito. Comunque per alcuni teoremi, come il Teorema di Chebyshev che vedremo alla fine di questo articolo, la base è irrilevante; ma di ciò parleremo meglio più tardi.

Notiamo che, applicando rispettivamente la Definizione N.4 (Prodotto dei primi numeri primi) e la Proposizione N.2 (Calcolo di \psi^{\star}(x)), otteniamo due espressioni utili da ricordare:

\theta(x) = \log \prod_{p \leq x} p = \sum_{p \leq x} \log p
\psi(x) = \log \prod_{p \leq x} p^{\left \lfloor \log_p x \right \rfloor} = \sum_{p \leq x} \left \lfloor \log_p x \right \rfloor \log p

Tornando alla (1), applicando il logaritmo abbiamo:

\psi(x) \leq \pi(x) \log x

da cui

\pi(x) \geq \frac{\psi(x)}{\log x} \tag{1'}

Quindi certamente l’ordine di grandezza di \pi(x) non può superare quello di \frac{\psi(x)}{\log x}. Per capire quale sia questo ordine di grandezza, procediamo per gradi, studiando prima l’ordine di grandezza di \psi(x) e quello di \theta(x), ricordando che le due funzioni sono strettamente connesse mediante la Proposizione N.4 (Collegamento tra le funzioni \psi^{\star} e \theta^{\star}); poi vediamo come i loro ordini di grandezza sono legati a quello di \pi(x). Così otterremo il seguente teorema, noto come Teorema di Chebyshev:

Teorema di Chebyshev: ordine di grandezza di \pi(x)

\pi(x) \asymp \frac{x}{\log x} \tag{15}

In realtà, come accennato nella pagina introduttiva, vale un risultato molto più forte del Teorema di Chebyshev: è il famoso Teorema dei numeri primi, secondo il quale

\pi(x) \sim \frac{x}{\log x} \tag{16}

Nonostante la somiglianza formale, la dimostrazione di questo teorema è molto più complessa di quella del Teorema di Chebyshev: dedicheremo ad essa gran parte dei successivi articoli.

Equivalenza asintotica e ordine di grandezza di \theta(x) e \psi(x)

Per stabilire l’ordine di grandezza delle funzioni \theta(x) e \psi(x), ci tornano utili le maggiorazioni e le minorazioni che abbiamo ottenuto in precedenza. In particolare, per la funzione \psi^{\star}, la Proposizione N.3 (Minorazione di \psi^{\star}(x)) afferma che

\psi^{\star}(x) \geq \sqrt[3]{2^x}

da cui

\psi(x) \geq \log \sqrt[3]{2^x} = \frac{1}{3} \log 2^x = \frac{1}{3} x \log 2 = \frac{\log 2}{3} x \tag{2}

Quindi \psi(x) è maggiore o uguale ad una costante moltiplicata per x. D’altra parte, la Proposizione N.1 (Maggiorazione del prodotto dei numeri primi fino ad x) afferma che

\theta^{\star}(x) \leq 2^{2(x-1)}

da cui

\theta(x) \leq \log 2^{2(x-1)} = 2(x-1) \log 2 \leq 2x \log 2 = (2 \log 2) x \tag{3}

Quindi \theta(x) è minore o uguale ad una costante moltiplicata per x: l’opposto di quello che abbiamo visto valere per \psi(x).
Ma le equazioni (2) e (3) sono profondamente legate attraverso la già citata Proposizione N.4, secondo la quale:

\psi^{\star}(x) = \theta^{\star}(x) \cdot \theta^{\star}(\sqrt{x}) \cdot \ldots \cdot \theta^{\star}(\sqrt[R]{x}) \tag{4}

dove R := \left \lfloor \log_2 x \right \rfloor.
Passando ai logaritmi, la (4) si riscrive come segue:

\psi(x) = \theta(x) + \theta(\sqrt{x}) + \ldots + \theta(\sqrt[R]{x})

Essendo \theta(x) strettamente crescente, i termini della sommatoria si fanno via via più piccoli, perché gli argomenti della funzione, x, \sqrt{x}, \ldots, \sqrt[R]{x}, decrescono. Quindi possiamo maggiorare la sommatoria ripetendo il secondo termine al posto dei successivi, ottenendo:

\psi(x) \leq \theta(x) + \underbrace{\theta(\sqrt{x}) + \ldots + \theta(\sqrt{x})}_{R - 1 \textrm{ volte}} = \theta(x) + (R - 1) \theta(\sqrt{x})

Ma, per la (3), \theta(\sqrt{x}) \leq (2 \log 2) \sqrt{x}. Inoltre R - 1 = \left \lfloor \log_2 x \right \rfloor\ - 1 \leq \log_2 x - 1 \leq \log_2 x. Sostituendo abbiamo:

\psi(x) \leq \theta(x) + (\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x} \tag{5}

Questa equazione che lega \psi(x) e \theta(x) è la chiave per ricavare l’ordine di grandezza di entrambe, partendo dalle equazioni (2) e (3). Infatti, nella (2) manca una minorazione per \psi(x) e nella (3) manca una maggiorazione per \theta(x), ed in entrambi i casi troviamo nella (5) la parte mancante. Così, con qualche passaggio si possono ottenere delle relazioni del tipo:

A x \leq \psi(x) \leq B x
C x \leq \theta(x) \leq D x

dove le lettere maiuscole indicano delle costanti. Queste relazioni, per la Definizione A.3, significano che \psi(x) \asymp x e \theta(x) \asymp x, cioè \psi(x) e \theta(x) hanno lo stesso ordine della funzione x o, adottando una terminologia abbreviata, hanno ordine \bm{x}.

Infine, sempre partendo dalle formule (2), (3) e (5), si può dimostrare che, definitivamente:

\psi(x) \cdot c \leq \theta(x), \forall c \lt 1 \tag{6}

Inoltre sappiamo che \theta(x) \leq \psi(x) e questo, assieme all’equazione precedente, implica che \psi(x) e \theta(x) sono asintoticamente equivalenti (\psi(x) \sim \theta(x)). Riassumendo, si ottiene il seguente Teorema.

Equivalenza asintotica e ordine di grandezza di \theta(x) e \psi(x)

Le funzioni \theta(x) e \psi(x) sono asintoticamente equivalenti ed hanno ordine x:

\theta(x) \sim \psi(x)
\theta(x) \asymp x \asymp \psi(x)

Dalla (2) e dalla (5) abbiamo che:

\frac{\log 2}{3} x \leq \psi(x) \leq \theta(x) + (\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x} \tag{7}

Mentre dalla (3) e dalla (5) abbiamo che:

\psi(x) - (\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x} \leq \theta(x) \leq (2 \log 2) x \tag{8}

Ora abbiamo tutti gli elementi per trovare gli ordini di grandezza, utilizzando gli strumenti dell’analisi asintotica.

Cominciamo dalla (7). Possiamo usare ancora la (3) per maggiorare \theta(x), inoltre possiamo notare che (\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x} è un o piccolo di x (infatti sappiamo che \lim_{x \to \infty} \frac{(\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x}}{x} = 0). Alla luce di questo, sostituendo le costanti con dei simboli generici, dato che il loro valore non interessa ai fini dell’analisi asintotica, possiamo sviluppare la (7) come segue:

\frac{\log 2}{3} x \leq \psi(x) \leq \theta(x) + (\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x} \implies
\frac{\log 2}{3} x \leq \psi(x) \leq (2 \log 2) x + o(x) \implies
A x \leq \psi(x) \leq B x + o(x) \tag{9}

Riguardo al membro più a destra, per la Definizione A.3 (Relazioni asintotiche, definizioni alternative utilizzando le disuguaglianze) sappiamo che esiste una costante C tale che definitivamente o(x) \leq Cx, dunque definitivamente B x + o(x) \leq B x + C x = (B + C) x. Possiamo chiamare D la costante B + C e riscrivere la (9) come segue:

A x \leq \psi(x) \leq D x

E questo, come abbiamo osservato, significa che \psi(x) \asymp x, cioè \psi(x) ha ordine x.

Partendo dalla (8) e ragionando in modo simile a come già fatto per la (7), si può dimostrare che anche \theta(x) ha ordine x. Vogliamo però arrivare a questo risultato cogliendo più a fondo il legame tra le due funzioni. Finora le abbiamo confrontate asintoticamente con la funzione x, ma è altrettanto interessante confrontarle tra loro. Infatti, dalle definizioni di \theta^{\star}(x) e \psi^{\star}(x) si ottiene immediatamente che \theta^{\star}(x) \leq \psi^{\star}(x), e quindi anche \theta(x) \leq \psi(x). Questo può essere usato per completare la (5), in questo modo:

\psi(x) - (\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x} \leq \theta(x) \leq \psi(x)

Dividendo tutto per \psi(x) otteniamo:

1 - \frac{(\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x}}{\psi(x)} \leq \frac{\theta(x)}{\psi(x)} \leq 1 \tag{10}

Ma abbiamo visto che \psi(x) è di ordine x, quindi definitivamente \psi(x) \leq A x, da cui \frac{(\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x}}{A x} \geq \frac{(\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x}}{\psi(x)}. Quindi possiamo estendere la (10):

1 - \frac{(\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x}}{A x} \leq 1 - \frac{(\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x}}{\psi(x)} \leq \frac{\theta(x)}{\psi(x)} \leq 1

Trascurando la seconda espressione e passando al limite per x \to \infty otteniamo:

1 - \lim_{x \to \infty} \frac{(\log_2 x) (2 \log 2) \sqrt{x}}{A x} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{\theta(x)}{\psi(x)} \leq 1

Notiamo, per inciso, che il membro più a sinistra è la costante c della (6). Come prima, abbiamo che il primo limite è zero, per cui

1 \leq \lim_{x \to \infty} \frac{\theta(x)}{\psi(x)} \leq 1

ossia

\lim_{x \to \infty} \frac{\theta(x)}{\psi(x)} = 1

In altri termini, per la Definizione A.4 (Relazioni asintotiche, definizioni alternative utilizzando i limiti), \psi(x) e \theta(x) sono asintoticamente equivalenti. Ora possiamo capire meglio perché anche \theta(x) ha ordine x: è asintoticamente equivalente alla funzione \psi(x) che ha ordine x, e due funzioni asintoticamente equivalenti, essendo interscambiabili nel calcolo dei limiti, hanno lo stesso ordine.

Il Teorema N.4 non implica che \theta(x) \sim x o \psi(x) \sim x. Infatti, se queste relazioni fossero vere, i limiti \lim_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} e \lim_{x \to \infty} \frac{\theta(x)}{x} dovrebbero essere 1, ma non può essere così, per via della (2) e dalla (3).

Per non confondersi, bisogna ricordare che la relazione \asymp è una “più debole” di \sim, cioè due funzioni possono avere lo stesso ordine ma non essere asintoticamente equivalenti. Accade questo, ad esempio, per i polinomi: tutti i polinomi di terzo grado sono dello stesso ordine, ma solo quelli che hanno lo stesso coefficiente direttore sono asintoticamente equivalenti (v. Definizione A.2 (Equivalenza asintotica, caso di funzioni polinomiali).

Equivalenza asintotica tra \pi(x) e \frac{\theta(x)}{\log x}, ordine di grandezza di \pi(x)

Ora possiamo mettere insieme gli elementi precedenti per trovare l’ordine di grandezza di \pi(x).

Riprendendo la (1′), abbiamo che

\frac{\psi(x)}{\log x} \leq \pi(x)

Ma, essendo \theta(x) \leq \psi(x), a maggior ragione si ha che:

\frac{\theta(x)}{\log x} \leq \pi(x) \tag{11}

In realtà le funzioni \frac{\theta(x)}{\log x} e \pi(x) sono legate da una relazione molto più forte: sono asintoticamente equivalenti. Ciò significa, per la Definizione A.3 (Relazioni asintotiche, definizioni alternative utilizzando le disuguaglianze), che devono valere definitivamente due condizioni:

  • \frac{\theta(x)}{\log x} \cdot c \leq \pi(x), per ogni costante c \lt 1
  • \frac{\theta(x)}{\log x} \cdot C \geq \pi(x), per ogni costante C \gt 1

La prima condizione è diretta conseguenza della (11). La seconda condizione invece si dimostra partendo dal Lemma N.3 (Minorazione di \theta^{\star}(x) mediante \pi(x)) che, riscritto in forma logaritmica, diventa:

\theta(x) \gt (\pi(x) - x^{\delta}) \delta \log x

da cui

\frac{\theta(x)}{\log x} \frac{1}{\delta} \gt (\pi(x) - x^{\delta})

Possiamo notare una forte somiglianza con la seconda condizione, che si potrebbe dimostrare partendo dalla formula di sopra. Si otterrebbe così una dimostrazione alternativa, perchè quella classica mostrata nel dettaglio sotto, che utilizza il calcolo dei limiti, parte sempre dal Lemma N.3 ma lo riscrive in una forma diversa. In entrambi i casi, il punto di arrivo è il seguente Teorema.

Equivalenza asintotica tra \pi(x) e \frac{\theta(x)}{\log x}

\pi(x) \sim \frac{\theta(x)}{\log x}

Vediamo la dimostrazione basata sul calcolo dei limiti. Per la Definizione A.4 (Relazioni asintotiche, definizioni alternative utilizzando i limiti), dobbiamo dimostrare che il rapporto tra le funzioni \pi(x) e \frac{\theta(x)}{\log x} tende a 1:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} = 1

Grazie alla (11) siamo già a metà strada per dimostrare questo limite:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \geq \lim_{x \to +\infty} \frac{\pi(x)}{\pi(x)} = 1 \tag{12}

Dobbiamo però ancora rispondere alla domanda:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \leq 1 \ ?

Per rispondere possiamo applicare il Lemma N.3 (Minorazione di \theta^{\star}(x) mediante \pi(x)). Riscrivendolo in forma logaritmica, abbiamo che:

\theta(x) \gt (\pi(x) - x^{\delta}) \delta \log x

Ora riscriviamo la formula in modo da isolare la quantità di nostro interesse \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}}:

\theta(x) \gt (\pi(x) - x^{\delta}) \delta \log x \implies
\pi(x) - x^{\delta} \lt \frac{\theta(x)}{\log x} \frac{1}{\delta} \implies
\pi(x) \lt \frac{\theta(x)}{\log x} \frac{1}{\delta} + x^{\delta} \implies
\frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \lt \frac{1}{\delta} + x^{\delta} \frac{\log x}{\theta(x)}

Se moltiplichiamo e dividiamo per x il termine più a destra, otteniamo il rapporto \frac{x}{\theta(x)} che, per il Teorema N.4 e la Definizione A.4, tende ad una costante A:

\frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \lt \frac{1}{\delta} + x^{\delta} \frac{\log x}{x} \frac{x}{\theta(x)} \implies
\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \leq \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\delta} + \left( \lim_{x \to \infty} x^{\delta} \frac{\log x}{x} \right) \left( \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\theta(x)} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\delta} + \left( \lim_{x \to \infty} x^{\delta} \frac{\log x}{x} \right) A \tag{13}

Il termine \frac{1}{\delta} non dipende da x, quindi il suo limite è il termine stesso. L’ultimo limite tra parentesi possiamo riscriverlo come \frac{\log x}{x^{1 - \delta}} e notare che questo, per \delta \neq 1, tende a zero, perché \log x = o(x^k) per qualsiasi k \neq 0.

Questo passaggio è fondamentale: ricorderete che, prima di ottenere il Lemma N.3, avevamo pensato a due alternative riguardo al numero dei primi da togliere: \sqrt{x} e \frac{1}{2} x, per \delta = \frac{1}{2}; ossia x^{\delta} e \delta x, per \delta generico. Alla fine abbiamo scelto x^{\delta} rimandando a più tardi la motivazione. Ebbene, questa motivazione risiede proprio nel limite di x^{\delta} \frac{\log x}{x} = \frac{\log x}{x^{1 - \delta}}. Se avessimo scelto \delta x invece di x^{\delta} ed avessimo svolto gli stessi passaggi svolti finora, avremmo ottenuto l’espressione \delta x \frac{\log x}{x} = \delta \log x il cui limite, però, non tende a zero, e ciò non ci avrebbe permesso di arrivare al risultato che otterremo tra poco. Vediamo così che, a volte, uno stesso ragionamento può condurre ad un risultato interessante oppure ad un punto morto, a seconda di come scegliamo le funzioni con cui lavorare.

Tornando alla (13), per quanto abbiamo detto essa si riscrive semplicemente come

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \leq \frac{1}{\delta} \textrm{ (}\delta \neq 1\textrm{)} \tag{14}

Il valore \delta = 1 che abbiamo escluso per arrivare alla (14), come spesso accade in analisi, è proprio il valore più interessante. Se infatti proviamo a calcolare il limite di entrambi i membri della (14) per \delta \to 1, otteniamo

\lim_{\delta \to 1} \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \leq \lim_{\delta \to 1} \frac{1}{\delta} \textrm{ (}\delta \neq 1\textrm{)}

Ma il primo limite è superfluo perché l’espressione \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} non dipende da \delta. Perciò abbiamo:

\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \leq \lim_{\delta \to 1} \frac{1}{\delta} = 1

quindi \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{\theta(x)}{\log x}} \leq 1: è proprio la disuguaglianza che cercavamo. Unendola con la (12), otteniamo quindi il Teorema N.5.

Dal Teorema N.4 sappiamo che \theta(x) \sim \psi(x), da cui \frac{\theta(x)}{\log x} \sim \frac{\psi(x)}{\log x}, quindi otteniamo il seguente corollario:

Equivalenza asintotica tra \pi(x) e \frac{\psi(x)}{\log x}

\pi(x) \sim \frac{\psi(x)}{\log x}

Ma dal Teorema N.4 sappiamo anche che le funzioni \theta(x) e \psi(x) hanno ordine x, perciò dal Teorema N.5 o dal suo corollario si ottiene immediatamente il Teorema di Chebyshev citato all’inizio.

In definitiva, cosa ci dice il teorema di Chebyshev sui numeri primi? È difficile fare un esempio, perché si tratta di una relazione asintotica tra due funzioni, in cui non conta cosa succede per un particolare valore di x, ma il comportamento delle funzioni al crescere di x. Però possiamo avere un’idea della portata del Teorema immaginando che tutte le funzioni coinvolte siano polinomi: cioè immaginiamo che nel Teorema di Chebyshev \pi(x) sia un polinomio, e che anche al posto della funzione \frac{x}{\log x} vi sia un polinomio, ad esempio il polinomio di secondo grado 2x^2 - 3x + 4. La domanda è: in questo contesto semplificato, quali informazioni ci fornirebbe il Teorema su \pi(x)? Come sappiamo, se due polinomi sono dello stesso ordine, allora hanno lo stesso grado. Quindi \pi(x) sarebbe anch’esso di secondo grado, ossia qualcosa del tipo ax^2 + bx + c, dove però i coefficienti a, b, c non sono noti. Quindi il tipo di informazione che fornisce il Teorema di Chebyshev sulla funzione \pi(x) equivale a conoscere, di un polinomio, solamente qual è il suo grado. In un ipotetico gioco “indovina il polinomio”, il grado potrebbe essere la prima importante domanda da fare. Poi bisognerebbe indovinare anche i coefficienti, ma il grado è un primo passo importante.

Terminiamo con alcune osservazioni importanti. A partire da questo articolo, come avete potuto notare, la teoria dei numeri che sviluppiamo fa un intenso uso dei logaritmi. Uno dei motivi è abbastanza semplice: è il fatto che, in diverse formule come la (1), la funzione \pi(x) o altre funzioni di interesse compaiono all’esponente, pertanto è necessario il logaritmo per riportarle alla base e quindi ottenere teoremi come quello di Chebyshev. C’è poi un altro motivo, più profondo, che capiremo nei prossimi articoli: i logaritmi consentono di trasformare i prodotti in somme; questo passaggio consente a sua volta di trasformare le somme in integrali e quindi di usare alcune tecniche di integrazione… ma vedremo tutto questo con calma.
Anche la scelta della base del logaritmo sarà chiarita successivamente: ad esempio vedremo perché nel Teorema dei numeri primi la base deve essere proprio il numero di Nepero e. Questo non vale invece per il Teorema di Chebyshev, nel quale è ammessa qualunque base. Infatti, se ipotizziamo che nella (15) il logaritmo sia in una certa base a, coi i seguenti passaggi possiamo esprimerlo in un’altra base b:

\pi(x) \asymp \frac{x}{\log_a x} = \frac{x}{\frac{\log_b x}{\log_b a}} = (\log_b a) \frac{x}{\log_b x}

Ma la moltiplicazione per la costante \log_b a è ininfluente per quanto riguarda l’ordine asintotico: se \pi(x) è dello stesso ordine di (\log_b a) \frac{x}{\log_b x}, è anche dello stesso ordine di \frac{x}{\log_b x}, cioè vale il Teorema di Chebyshev con base b. Ciò significa che nella (16) possiamo scegliere qualsiasi base per il logaritmo.
La stessa osservazione vale anche per altre formule, come la prima del Teorema N.4:

\theta(x) \sim \psi(x)

Qui i logaritmi sono impliciti, nelle definizioni delle funzioni \theta(x) e \psi(x) (Definizione N.7). Anche qui la base non conta, purché sia la stessa nella definizione di \theta e nella definizione di \psi: un eventuale cambio di base moltiplicherebbe ambo i membri per la stessa costante, conservando l’equivalenza asintotica.
Il caso del Teorema dei numeri primi invece è molto diverso: nella (16) compare un solo logaritmo, perché non c’è nessun logaritmo nella definizione di \pi(x). Un eventuale cambio di base comporterebbe, come per la (15), la moltiplicazione per una costante, ma l’equivalenza asintotica \sim non viene conservata dalla moltiplicazione per una generica costante, a differenza di \asymp. Per questo sarà importante, per arrivare a questo Teorema, scegliere la base giusta.

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