Teoria dei crivelli

La teoria dei crivelli è una teoria matematica, che si colloca nell’ambito generale della Teoria dei numeri, nata per rispondere al seguente quesito: dato un insieme di numeri naturali $A$ e in insieme finito di numeri primi $P$ , quanti elementi rimangono in $A$ dopo aver eliminato tutti i multipli dei numeri primi presenti in $P$ ? Se $A$ e $P$ sono fissati, la risposta si può ottenere in modo abbastanza semplice, perché è sufficiente seguire una serie di passaggi, come ad esempio accade nel crivello di Eratostene; dato che i passaggi sono noti, la procedura è anche automatizzabile facilmente con un semplice programma per computer. Se invece volessimo sapere come varia la risposta in funzione di $A$ e di $P$ , il programma non sarebbe di grande aiuto, perché fornirebbe solo risposte per singole combinazioni di parametri, mentre poi bisognerebbe trovare un meccanismo diverso per generalizzare i risultati ottenuti, in modo che si riesca a prevedere il risultato anche per combinazioni di $A$ e $P$ che non sono state provate. La teoria dei crivelli ha proprio questo scopo: per prima cosa definisce un crivello non come una procedura, ma come una funzione che, applicata sugli insiemi $A$ e $P$ , restituisce il numero di elementi di $A$ che non sono divisibili per nessun elemento di $P$ ; poi, dato che si tratta quasi sempre di una funzione matematica di una certa complessità, cerca di approssimarla con una funzione più semplice. Nei percorsi che seguono approfondiremo alcune tecniche che consentono di effettuare questa approssimazione e che sono utilizzate in uno dei più importanti teoremi di teoria dei crivelli: il Teorema di Chen.

I prerequisiti richiesti sono, come in tutto il nostro sito, una buona conoscenza della matematica scolastica e delle basi dell’analisi reale in una variabile (derivate, integrali, continuità, ecc.). Altri prerequisiti saranno indicati all’inizio di ciascun articolo; per esempio molti articoli presuppongono una certa conoscenza dell’analisi asintotica, che abbiamo trattato nel percorso Materiale complementare.

La fonte da cui siamo partiti è una tesi di master disponibile pubblicamente sul sito dell’Università di Barcellona. Abbiamo rielaborato completamente l’opera, arricchendola con nostre osservazioni e spiegazioni, spezzando passaggi complessi in una serie di passaggi più semplici e fornendo riferimenti per le nozioni di teoria dei numeri utilizzate.

Percorso	Numero di articoli
Una stima per eccesso del numero di coppie di Goldbach Questo percorso studia l’insieme delle coppie di Goldbach per un numero pari $N \gt 2$ , ossia l’insieme delle coppie di numeri primi la cui somma è $N$ . Mentre la Congettura di Goldbach afferma che tale insieme contiene sempre almeno un elemento per ogni $N$ , in questo percorso studieremo le stesse coppie dalla prospettiva opposta: cercheremo di stabilire cioè quante possono essere al massimo. Indicando con $\mathfrak{R}(N)$ il numero di coppie di Goldbach per $N$ , dimostreremo che: $\mathfrak{R}(N) \ll \prod_{p \mid N} \left(1 + \frac{1}{p}\right) \frac{N}{\log^2 N}$ dove la notazione $\ll$ equivalente alla notazione O-grande (semplificando, è una sorta di maggiorazione approssimata, la quale ammette che, al crescere di $N$ , la funzione di destra possa diventare $C$ volte più grande del valore reale, dove $C$ è una costante positiva). Sebbene questo risultato di per sé non aiuti a dimostrare la Congettura, l’aspetto interessante è che si tratta dell’unico teorema noto che in qualche modo tenta di approssimare il numero di coppie di Goldbach, mentre gli altri studiano insiemi simili ma non identici (terne di numeri primi nel caso della Congettura debole di Goldbach, coppie formate da un primo e un semiprimo nel caso del Teorema di Chen). Riuscirà qualche nostro lettore a invertire la prospettiva, trasformando il $\leq$ in un $\geq$ , aprendo la strada a una possibile dimostrazione della Congettura di Goldbach?	8
Il Teorema di Chen L’obiettivo di questo percorso è dimostrare uno dei teoremi più simili alla Congettura di Goldbach, il Teorema di Chen, il cui enunciato può essere espresso come segue: Ogni numero pari sufficientemente grande è somma o di due numeri primi, o di un primo e un semiprimo (ossia un prodotto di due numeri primi). Questo Teorema fu dimostrato per la prima volta dal matematico cinese Chen Jingrun nel 1966 (successivamente la dimostrazione fu perfezionata sia da lui stesso che da altri matematici). La dimostrazione si basa su una teoria matematica che prende il nome di teoria dei crivelli, sviluppatasi pochi anni prima ma dalle origini antichissime, che si possono far risalire al matematico dell’antica Grecia Eratostene di Cirene, inventore dell’omonimo crivello, il primo in assoluto. Chiaramente da allora la teoria dei crivelli si è evoluta parecchio, ma è rimasta sempre una teoria “elementare”, ossia non basata sull’analisi complessa.	9 (incompleto)

Percorso

Numero di articoli

Una stima per eccesso del numero di coppie di Goldbach

Questo percorso studia l’insieme delle coppie di Goldbach per un numero pari $N \gt 2$ , ossia l’insieme delle coppie di numeri primi la cui somma è $N$ . Mentre la Congettura di Goldbach afferma che tale insieme contiene sempre almeno un elemento per ogni $N$ , in questo percorso studieremo le stesse coppie dalla prospettiva opposta: cercheremo di stabilire cioè quante possono essere al massimo.
Indicando con $\mathfrak{R}(N)$ il numero di coppie di Goldbach per $N$ , dimostreremo che:

\mathfrak{R}(N) \ll \prod_{p \mid N} \left(1 + \frac{1}{p}\right) \frac{N}{\log^2 N}

dove la notazione $\ll$ equivalente alla notazione O-grande (semplificando, è una sorta di maggiorazione approssimata, la quale ammette che, al crescere di $N$ , la funzione di destra possa diventare $C$ volte più grande del valore reale, dove $C$ è una costante positiva).
Sebbene questo risultato di per sé non aiuti a dimostrare la Congettura, l’aspetto interessante è che si tratta dell’unico teorema noto che in qualche modo tenta di approssimare il numero di coppie di Goldbach, mentre gli altri studiano insiemi simili ma non identici (terne di numeri primi nel caso della Congettura debole di Goldbach, coppie formate da un primo e un semiprimo nel caso del Teorema di Chen). Riuscirà qualche nostro lettore a invertire la prospettiva, trasformando il $\leq$ in un $\geq$ , aprendo la strada a una possibile dimostrazione della Congettura di Goldbach?

Il Teorema di Chen

L’obiettivo di questo percorso è dimostrare uno dei teoremi più simili alla Congettura di Goldbach, il Teorema di Chen, il cui enunciato può essere espresso come segue:

Ogni numero pari sufficientemente grande è somma o di due numeri primi, o di un primo e un semiprimo (ossia un prodotto di due numeri primi).

Questo Teorema fu dimostrato per la prima volta dal matematico cinese Chen Jingrun nel 1966 (successivamente la dimostrazione fu perfezionata sia da lui stesso che da altri matematici). La dimostrazione si basa su una teoria matematica che prende il nome di teoria dei crivelli, sviluppatasi pochi anni prima ma dalle origini antichissime, che si possono far risalire al matematico dell’antica Grecia Eratostene di Cirene, inventore dell’omonimo crivello, il primo in assoluto. Chiaramente da allora la teoria dei crivelli si è evoluta parecchio, ma è rimasta sempre una teoria “elementare”, ossia non basata sull’analisi complessa.

9 (incompleto)