Teoria dei numeri

La congettura di Goldbach si colloca nell'ambito della Teoria dei numeri, la branca della matematica che studia i numeri interi. Per comprendere le dimostrazioni dei risultati simili alla congettura, e molto probabilmente anche per dimostrare la congettura stessa, sono richieste solide conoscenze di teoria dei numeri. Queste conoscenze, però, raramente entrano a par parte del curriculum di studi di un matematico. Di fatto la teoria dei numeri è considerata un ambito molto specialistico su cui improntare, per esempio, degli esami universitari a scelta oppure, per i più appassionati, un dottorato di ricerca. Ma non è necessario arrivare a tanto per intraprendere uno studio serio della teoria dei numeri. Molte nozioni richiedono solamente una buona conoscenza della matematica scolastica e dell'analisi reale in una variabile, pertanto sono perfettamente alla portata di uno studente del primo anno di un corso di laurea scientifico...

Siamo partiti da queste considerazioni per ideare questa sezione del sito, con lo scopo di avvicinare alla teoria dei numeri il maggior numero possibile di persone, fornendo nel contempo elementi utili per chi voglia cimentarsi con la dimostrazione della congettura.
Per rendere la trattazione più interessante, abbiamo pensato di focalizzare il percorso verso un obiettivo, e come obiettivo abbiamo scelto uno dei più importanti teoremi che riguardano i numeri primi, il cosiddetto Teorema dei numeri primi. Un po' come in un romanzo giallo - in cui si raccolgono i vari indizi e, grazie a questi, si capiscono gradualmente i vari aspetti della vicenda, fino ad individuare il colpevole - nel percorso verso la dimostrazione del teorema, introdurremo via via varie nozioni di teoria dei numeri e dimostreremo diversi risultati intermedi, avvicinandoci gradualmente al risultato finale.

Ma cosa afferma il teorema dei numeri primi? L'enunciato può essere espresso con la formula seguente:

\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}

dove \pi(x) è il numero di numeri primi minori o uguali ad x e \log x è il logaritmo naturale di x. Il simbolo \sim è un'uguaglianza asintotica il cui significato sarà chiarito in uno dei prossimi articoli ma, semplificando, possiamo leggere la formula dicendo che ci sono all'incirca \frac{x}{\log x} numeri primi minori o uguali ad x, e questa stima diventa sempre più accurate al crescere di x. Vi invitiamo a verificarlo con diversi valori di x!

La storia del teorema è interessante di per sé. Infatti, per molto tempo le uniche dimostrazioni note si basavano sull'analisi complessa e su altre nozioni molto avanzate; in più si pensava che l'analisi complessa fosse in qualche modo "necessaria" per la dimostrazione. Invece nel 1949 Paul Erdős e Atle Selberg concepirono indipendentemente una dimostrazione "elementare", ossia basata solamente sull'analisi reale, e ciò destò molto stupore nella comunità matematica.
La dimostrazione che presenteremo è proprio quella di Erdős e Selberg. La fonte da cui siamo partiti è il testo "An introduction to the theory of numbers" di G. H. Hardy ed E. M. Write. In particolare, la dimostrazione è contenuta nel capitolo XXII, che si basa a sua volta sulle nozioni preliminari introdotte nei capitoli I e II. Si tratta di circa 40 pagine in totale, ma densissime. Stiamo rielaborando questo materiale, aggiungendo del nostro: abbiamo introdotto degli esempi, evidenziato le idee e le tecniche chiave, ed esplicitato molti dettagli che nel testo originale sono dati per scontato; cercheremo anche di arricchire la trattazione con curiosità varie.

1. Definizione di numero primo

Cominciamo il nostro studio dei numeri primi chiarendo proprio la definizione di numero primo. Ciò che comunemente si sa è che un numero primo è un numero intero positivo divisibile solo per se stesso e per 1. Questo è vero tranne che per il numero 1, che in base a ciò dovrebbe essere primo (1 è divisibile per 1, che è anche se stesso), ma in realtà non lo è. Il numero 1 infatti si esclude a priori dai numeri primi.
CONTINUA

2. Stime dei binomiali

I coefficienti binomiali sono importanti per lo studio dei numeri primi. In questo articolo vediamo in particolare come stimare, sia per eccesso che per difetto, un coefficiente binomiale. Il motivo della ricerca di una stima è che la loro definizione si rivela particolarmente ostica da utilizzare, sia nei calcoli che nei ragionamenti analitici. Perciò molte volte è preferibile adoperare una stima, affetta da errore ma più facile da utilizzare, piuttosto che il valore esatto.
CONTINUA

3. Il prodotto dei primi numeri primi: una maggiorazione

Un modo per cominciare ad indagare sulla successione dei numeri primi è considerarne, partendo dall'inizio, porzioni sempre più grandi. Ad esempio, si può partire con lo studio dei numeri primi fino a 10, poi studiare i numeri primi fino a 20, poi fino a 40, eccetera, raddoppiando di volta in volta la grandezza della porzione considerata. Questo approccio si rivelerà efficace, in quanto basato sul prodotto. Infatti, essendo i numeri primi definiti partendo dai concetti di divisibilità e di prodotto, è abbastanza naturale aspettarsi che, nello studio dei questi numeri, l'operazione principalmente utilizzata sia proprio il prodotto.
CONTINUA

4. Il postulato di Bertrand

Lo scopo che ci poniamo con questo articolo è dimostrare il postulato di Bertrand, proposto nel 1845 dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand sotto forma di congettura, e successivamente dimostrato dal russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv. Esso afferma che per ogni intero n > 0 esiste un numero primo p compreso tra n e 2n.
CONTINUA

5. Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi positivi

Sappiamo che un modo per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si basa sulla scomposizione in fattori primi. Esiste però un caso particolarmente interessante in cui si può evitare la scomposizione: è il calcolo del minimo comune multiplo dei numeri interi positivi fino ad un certo numero x, ossia MCM(1, 2, ..., x).
CONTINUA

1. Definizione di numero primo

Cominciamo il nostro studio dei numeri primi chiarendo proprio la definizione di numero primo. Ciò che comunemente si sa è che un numero primo è un numero intero positivo divisibile solo per se stesso e per 1. Questo è vero tranne che per il numero 1, che in base a ciò dovrebbe essere primo (1 è divisibile per 1, che è anche se stesso), ma in realtà non lo è. Il numero 1 infatti si esclude a priori dai numeri primi.
CONTINUA

2. Stime dei binomiali

I coefficienti binomiali sono importanti per lo studio dei numeri primi. In questo articolo vediamo in particolare come stimare, sia per eccesso che per difetto, un coefficiente binomiale. Il motivo della ricerca di una stima è che la loro definizione si rivela particolarmente ostica da utilizzare, sia nei calcoli che nei ragionamenti analitici. Perciò molte volte è preferibile adoperare una stima, affetta da errore ma più facile da utilizzare, piuttosto che il valore esatto.
CONTINUA

3. Il prodotto dei primi numeri primi: una maggiorazione

Un modo per cominciare ad indagare sulla successione dei numeri primi è considerarne, partendo dall'inizio, porzioni sempre più grandi. Ad esempio, si può partire con lo studio dei numeri primi fino a 10, poi studiare i numeri primi fino a 20, poi fino a 40, eccetera, raddoppiando di volta in volta la grandezza della porzione considerata. Questo approccio si rivelerà efficace, in quanto basato sul prodotto. Infatti, essendo i numeri primi definiti partendo dai concetti di divisibilità e di prodotto, è abbastanza naturale aspettarsi che, nello studio dei questi numeri, l'operazione principalmente utilizzata sia proprio il prodotto.
CONTINUA

4. Il postulato di Bertrand

Lo scopo che ci poniamo con questo articolo è dimostrare il postulato di Bertrand, proposto nel 1845 dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand sotto forma di congettura, e successivamente dimostrato dal russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv. Esso afferma che per ogni intero n > 0 esiste un numero primo p compreso tra n e 2n.
CONTINUA

5. Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi positivi

Sappiamo che un modo per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si basa sulla scomposizione in fattori primi. Esiste però un caso particolarmente interessante in cui si può evitare la scomposizione: è il calcolo del minimo comune multiplo dei numeri interi positivi fino ad un certo numero x, ossia MCM(1, 2, ..., x).
CONTINUA