2. Tratteggi, trattini e spazi: alcune definizioni e semplici proprietà

Riprendiamo ora dal punto di vista formale quanto esposto nell’articolo Dai numeri primi ai tratteggi a livello concettuale. Cominciamo dalla definizione di tratteggio.

Tratteggio

Sia k un intero positivo ed I un insieme di k numeri naturali (solitamente \{1, \dots, k\}). Si definisce tratteggio di ordine k una funzione T: I \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} tale che

m < n \Rightarrow T(i, m) < T(i, n),

per ogni i, m, n.
Gli elementi dell’insieme I \times \mathbb{N} si dicono trattini. Essi sono suddivisi in righe e colonne:

  • L’insieme dei trattini aventi come primo elemento un certo i, \{(i, 0), (i, 1), (i, 2), \dots\}, si dice i-esima riga del tratteggio.
  • L’insieme dei trattini per i quali il tratteggio assume un certo valore j \in \mathbb{N}^{\star}, \{(i, n) \in I \times \mathbb{N} \mid T(i, n) = j\}, si dice j-esima colonna del tratteggio.

Gli elementi dell’insieme I si dicono indici.
Si ordinano i trattini di ciascuna riga in base al loro secondo elemento: (i, 0) < (i, 1) < (i, 2) < \dots. Il trattino (i, 1) è detto primo trattino della riga i (anche se il primo nell’ordine è (i, 0), ma questo viene spesso trascurato); in generale il trattino (i, n) si dice n-esimo trattino, o trattino numero n, della riga i. Il numero T(i, n) \in \mathbb{N} si dice valore del trattino (i, n).
Si conviene di denotare i tratteggi con le lettere maiuscole T, U, \dots ed i trattini con le minuscole t, u, \dots.

La corrispondenza tra questa definizione e la rappresentazione tabellare che abbiamo visto in precedenza è abbastanza immediata: le colonne della tabella solo i possibili valori assunti dalla funzione T, ed ogni trattino (i, n) è rappresentato nella tabella con un segno di trattino (“-“) sulla riga i, numerando le righe in ordine di indici crescenti, dall’alto verso il basso, e nella colonna col numero pari al valore del trattino. Ad esempio la Tabella 10 dell’articolo precedente contiene i seguenti trattini, assumendo come insieme degli indici I = \{1, 2, 3, 4\}:

Tabella 11: rappresentazione grafica del tratteggio della Tabella 10 dell’articolo precedente, evidenziando i trattini dal punto di vista matematico
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (1, 7) (1, 8) (1, 9)
(2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5)
(3, 0) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)
(4, 0) (4, 1) (4, 2) (4, 3)

Si può osservare ad esempio che, per la Definizione T.1, la riga 1 è il seguente insieme di trattini: \{(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), \ldots\}; la colonna 6 è l’insieme \{(1, 2), (2, 1)\}, mentre la colonna 5 è l’insieme vuoto.

Il tratteggio rappresentato nella tabella è la seguente funzione T: \{1, 2, 3, 4\} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}:

T(i, n) := \begin{cases} 0 & \text{se $n = 0$}\\\left(i + 1\right)\left(n + 1\right) & \text{altrimenti} \end{cases}

Per verificare che questa definizione matematica coincida effettivamente con quanto rappresentato nella Tabella 11, dobbiamo verificare che:

  • Il trattino (i, n) si trova sulla riga i, qualunque sia n
  • Il trattino (i, n) si trova sulla colonna T(i, n), qualunque siano i ed n

La prima proprietà si verifica immediatamente: nella Tabella 11, tutti i trattini della prima riga sono del tipo (1, n), quelli della seconda riga solo del tipo (2, n), eccetera. Per quanto riguarda il secondo punto invece:

  • Tutti i trattini del tipo (i, 0) si trovano nella colonna 0
  • Il trattino (i, n) = (1, 1) si trova sulla colonna 4 ed in effetti (i + 1)(n + 1) = 2 \cdot 2 = 4
  • Il trattino (i, n) = (1, 2) si trova sulla colonna 6 ed in effetti (i + 1)(n + 1) = 2 \cdot 3 = 6
  • Il trattino (i, n) = (1, 3) si trova sulla colonna 8 ed in effetti (i + 1)(n + 1) = 2 \cdot 4 = 8
  • Il trattino (i, n) = (2, 1) si trova sulla colonna 6 ed in effetti (i + 1)(n + 1) = 3 \cdot 2 = 6
  • Il trattino (i, n) = (2, 2) si trova sulla colonna 9 ed in effetti (i + 1)(n + 1) = 3 \cdot 3 = 9
  • Il trattino (i, n) = (2, 3) si trova sulla colonna 12 ed in effetti (i + 1)(n + 1) = 3 \cdot 4 = 12

Notiamo che, nella definizione di tratteggio, l’unica restrizione sulla funzione T è la seguente:

m < n \Rightarrow T(i, m) < T(i, n)

In altri termini, ciò equivale a dire che i trattini di una generica riga i, presi nell’ordine

(i, 0),\; (i, 1),\; (i, 2),\; (i, 3),\; \ldots \tag{3}

hanno valori (cioè numeri di colonna) strettamente crescenti. Quindi, nella tabella che rappresenta un tratteggio, leggendo una qualsiasi riga i da sinistra verso destra, si incontra l’esatta sequenza di trattini (3) (v. Tabella 11).
Infine, il fatto che nella definizione ci sia <, invece di \leq, significa che due trattini della stessa riga non possono mai sovrapporsi, ossia stare anche nella stessa colonna: se il trattino (i, n) ha valore v, il trattino (i, n + 1) – che è il primo trattino che si incontra dopo (i, n) leggendo la riga verso destra – deve avere almeno valore v + 1, non può avere anch’esso valore v. Questo comporta due conseguenze:

  • Una cella non può contenere più di un trattino
  • Una colonna non può contenere più di k trattini, dove k è l’ordine del tratteggio

Abbiamo visto che un particolare tipo di tratteggi sono quelli lineari. Ecco la loro definizione matematica.

Tratteggio lineare

Sia T un tratteggio di ordine k. Se la funzione T: I \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} è del tipo

T(i, n) = n_i n \tag{4}

dove n_i è un intero maggiore di 1 che dipende solo da i, allora T si dice lineare, e si scrive T = (n_1, n_2, \dots, n_k) (supponendo I = \{1, \ldots, k\}). Gli interi n_1, n_2, \dots, n_k sono detti componenti del tratteggio lineare T, e sono chiamati rispettivamente prima componente, seconda componente, eccetera.

Tutti gli esempi visti nell’articolo Dai numeri primi ai tratteggi, fino alla Tabella 9, sono rappresentazioni di tratteggi lineari. Ad esempio possiamo riscrivere in questo modo la Tabella 7, mettendo in evidenza i trattini dal punto di vista matematico:

Tabella 12: rappresentazione grafica del tratteggio lineare (2, 3, 5) mostrato nella Tabella 7, evidenziando i trattini dal punto di vista matematico
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (1, 7) (1, 8) (1, 9) (1, 10)
(2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 0) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4)

In questo caso, trattandosi di un tratteggio lineare, possiamo conoscere la colonna di un trattino (i, n), cioè T(i, n) per la Definizione T.1, semplicemente moltiplicando n_i per n. Nel tratteggio (2, 3, 5) abbiamo che n_1 = 2, n_2 = 3 ed n_3 = 5, per cui ad esempio:

  • Tutti i trattini del tipo (i, 0) si trovano nella colonna n_i \cdot 0 = 0
  • Il trattino (i, n) = (1, 1) si trova sulla colonna n_1 n = 2 \cdot 1 = 2
  • Il trattino (i, n) = (1, 2) si trova sulla colonna n_1 n = 2 \cdot 2 = 4
  • Il trattino (i, n) = (1, 3) si trova sulla colonna n_1 n = 2 \cdot 3 = 6
  • Il trattino (i, n) = (2, 1) si trova sulla colonna n_2 n = 3 \cdot 1 = 3
  • Il trattino (i, n) = (2, 2) si trova sulla colonna n_2 n = 3 \cdot 2 = 6
  • Il trattino (i, n) = (3, 4) si trova sulla colonna n_3 n = 5 \cdot 4 = 20

Vale la pena osservare che la funzione del tratteggio lineare, che nella (4) è stata definita in modo compatto, è in realtà definita per casi. Ad esempio, per il tratteggio (2, 3, 5) la funzione definita come T(i, n) := n_i n può essere scritta in maniera estesa come segue:

T(i, n) := \begin{cases} 2n & \text{se $i = 1$}\\3n & \text{se $i = 2$}\\5n & \text{se $i = 3$}\end{cases} \tag{5}

Poiché i tratteggi lineari costituiscono gran parte dell’oggetto di studio della teoria dei tratteggi, possiamo dire che questa teoria studia essenzialmente funzioni come la (5), che possono variare per il numero di casi previsti (che è l’ordine del tratteggio) o per i coefficienti della variabile n (che sono le componenti).

Parlando del rapporto tra tratteggi e numeri primi, abbiamo introdotto il concetto di spazio. In termini matematici, uno spazio è un valore che non è mai assunto dalla funzione tratteggio:

Spazio

Sia T: I \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} un tratteggio di ordine k. Si definisce spazio un elemento di \mathbb{N} \setminus T\left(I \times \mathbb{N}\right), ossia un numero naturale s tale che nessun trattino di T ha valore s.
Si conviene di denotare uno spazio con la lettera s.

Nella rappresentazione di un tratteggio, gli spazi sono quindi i numeri delle colonne (valori possibili) che non contengono alcun trattino: questa è la definizione intuitiva di spazio che abbiamo dato in precedenza.

Gli spazi di un tratteggio, essendo dei semplici numeri naturali, sono dotati di un ordinamento totale, cioè possiamo dire qual è il primo, qual è il secondo, il terzo, eccetera. Possiamo fare la stessa cosa con i trattini: dato che il tratteggio ha un numero finito di righe, possiamo leggere la tabella del tratteggio dall’alto verso il basso e da sinistra verso destra (cioè per colonne), ed enumerare i trattini nell’ordine in cui li incontriamo. Per convenzione, per un tratteggio lineare si escludono da questa enumerazione i trattini della colonna 0. Ad esempio, nella Tabella 12 l’ordine dei trattini è il seguente:

Tabella 13: rappresentazione grafica del tratteggio lineare (2, 3, 5), dove è evidenziato il numero ordinale dei trattini
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 3 5 7 9 11 13 16 17 19
2 6 8 12 14 18
4 10 15 20

Matematicamente questo ordinamento è così definito:

Ordinamento dei trattini

Sia T un tratteggio. Dati due trattini di T, (i, m) e (j, n), si dice che (i, m) \leq (j, n) se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni:

  • il primo trattino ha valore minore del secondo: T(i, m) < T(j, n)
  • i due trattini hanno lo stesso valore ma il primo ha un numero di riga non superiore a quello del secondo trattino: T(i, m) = T(j, n) e i \leq j

Se T è lineare, il più piccolo trattino avente valore maggiore di 0 si definisce primo trattino di T, e a seguire, secondo l’ordinamento appena definito, si definiscono il secondo trattino, il terzo, eccetera. In generale, se t è l’x-esimo trattino di T, il numero x si chiama ordinale di t.

Definita la relazione \leq come sopra, si ottengono anche le relazioni = (per cui t = u \iff \text{$t \leq u$ e $u \leq t$}) e < (per cui t < u \iff \text{$t \leq u$ e $t \neq u$}). Si verifica che queste due relazioni “derivate” sono le seguenti:

  • (i, m) = (j, n) \iff \text{$i = j$ e $m = n$}
  • (i, m) < (j, n) \iff \text{$(i, m)$ e $(j, n)$} soddisfano la Definizione T.4 con i < j invece di i \leq j nel secondo caso

I passaggi per arrivare a queste ultime definizioni partendo dalla Definizione T.4 sono puramente tecnici e di scarso interesse per la teoria dei tratteggi, perciò li trascuriamo. Tuttavia notiamo che la definizione di = è abbastanza ovvia (sostanzialmente afferma che un tratteggio è uguale solo a se stesso), mentre possiamo verificare nella pratica, mediante la Tabella 12, che la definizione di < corrisponde a leggere i trattini per colonne. Infatti, leggendo per colonne i trattini di questa tabella, si ottiene il seguente ordinamento:

(1, 1) < (2, 1) < (1, 2) < (3, 1) < (1, 3) < (2, 2) < (1, 4) < (2, 3) < (1, 5) < (3, 2) < \dots

I valori di questi trattini sono, nell’ordine:

2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 6,\; 8,\; 9,\; 10,\; 10,\; \dots

Osservando i valori si vede immediatamente che, nel passaggio da un trattino al successivo, o il valore è strettamente crescente (primo caso della Definizione T.4), oppure resta costante e, in questo caso, il numero di riga è crescente (secondo caso della Definizione T.4), come per i trattini (1, 3) e (2, 2) ed i trattini (1, 5) e (3, 2).

Un altro concetto da definire formalmente, tra quelli introdotti nell’articolo Dai numeri primi ai tratteggi, è l’aggiunta di una riga ad un tratteggio. Ad esempio abbiamo visto a livello grafico, nella Tabella 8, che aggiungendo una riga al tratteggio (2,3) si ottiene il tratteggio (2,3,5).
La definizione di tratteggio in realtà contiene già un esplicito riferimento alle righe, identificate dagli interi dell’insieme I (di solito \{1, \dots, k\}): infatti un trattino è una coppia del tipo (i, n), dove i è proprio il numero della riga. Riprendendo la definizione citata, abbiamo che:

  • Un tratteggio è una funzione T: I \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}
  • Il dominio della funzione T, I \times \mathbb{N}, è l’insieme dei possibili trattini, ossia di tutte le possibili coppie date da un numero di riga e un numero intero
  • L’insieme di tutti i possibili trattini della riga i è \{i\} \times \mathbb{N} = \{(i,0),(i,1),(i,2),\dots\}, ossia l’insieme di tutti i trattini aventi i come primo elemento

Quindi aggiungere una riga ad un tratteggio T di ordine k, immaginando di lasciare le righe esistenti al loro posto e di aggiungere la nuova riga come ultima, significa definire la funzione T anche sui trattini del tipo (k+1,n), dove k+1 è il numero della nuova riga. Si potrebbe aggiungere la nuova riga anche “in mezzo” alle altre, scalando gli indici delle righe successive.
D’altra parte, rimuovere la riga k dal tratteggio T significa restringere il dominio di T, eliminando la definizione della funzione sui trattini del tipo (k,n). Anche in questo caso, se rimuovessimo una riga che non è l’ultima, dovremmo scalare gli indici delle righe successive.
Estrapolando il meccanismo alla base di queste operazioni concettuali, si ottiene il concetto di sottotratteggio:

Sottotratteggio

Sia T un tratteggio di ordine k con insieme di indici I. Sia \{i_1, \dots, i_h\} un sottoinsieme di I. Si definisce sottotratteggio di T relativo agli indici i_1, \dots, i_h il tratteggio U: \{i_1, \dots, i_h\} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} di ordine h definito come segue:

U(i_1, n) := T(i_1, n)
\dots
U(i_h, n) := T(i_h, n)

ossia, in altri termini, U è la restrizione di T sull’insieme \{i_1, \dots, i_h\} \times \mathbb{N}.

Il tratteggio U così definito si indica con T[i_1, \dots, i_h].

Se U \neq T, cioè se \{i_1, \dots, i_h\} \neq I, U si dice sottotratteggio proprio di T.

Il tratteggio T[i_1, \dots, i_h] è quindi, in parole povere, il tratteggio ottenuto da T estraendo le righe i_1, \dots, i_h. Il tratteggio ottenuto ha come prima riga la riga i_1 di T, …, come ultima riga (h-esima riga) la riga i_h di T. Ad esempio, i sottotratteggi del tratteggio (2,3,5) sono i seguenti:

  • (2,3,5)[1] = (2)
  • (2,3,5)[2] = (3)
  • (2,3,5)[3] = (5)
  • (2,3,5)[1,2] = (2,3)
  • (2,3,5)[1,3] = (2,5)
  • (2,3,5)[2,3] = (3,5)
  • (2,3,5)[1,2,3] = (2,3,5)

Sono tutti sottotratteggi propri, tranne l’ultimo.

Mediante la definizione di sottotratteggio, il fatto che il tratteggio (2,3,5) si ottenga aggiungendo una riga al tratteggio (2,3), come visualizzato in Tabella 8, si esprime matematicamente con l’espressione (2,3,5)[1,2] = (2,3), nella quale si afferma che i due tratteggi coincidono nelle prime due righe: quindi il primo, che ne ha tre, ha l’ultima riga in più rispetto al secondo.

Anche se la notazione T[i_1, \dots, i_h] può suggerire che gli indici formino un elenco ordinato, in realtà conta solo quali indici sono presenti e non l’ordine in cui essi vengono elencati. Infatti la definizione della funzione U nella Definizione T.6 non dipende dall’ordine di i_1, \dots, i_h. Normalmente gli indici si elencano in modo crescente, come in (2,3,5)[1,2], ma occasionalmente potrebbero presentarsi notazioni alternative come (2,3,5)[2,1]: in questi casi dobbiamo ricordare che il sottotratteggio individuato è sempre lo stesso a prescindere dall’ordine degli indici. Sarebbe più corretto scrivere qualcosa come T[\{1,2\}], ma preferiamo evitare di appesantire la notazione in questo modo.

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