Teoria dei tratteggi

La teoria dei tratteggi è una nuova teoria matematica che studia il rapporto tra la successione dei numeri naturali e la loro relazione di divisibilità. Problemi tipici sono il calcolo dell'n-esimo numero naturale divisibile per almeno uno di k numeri fissati, o non divisibile per alcuno di essi. Per tale natura, la teoria si presta allo studio dei numeri primi mediante un approccio costruttivo, ispirato al crivello di Eratostene...

La nascita della teoria è avvenuta tra i banchi di scuola, con l'obiettivo di creare uno strumento utile per la dimostrazione della congettura di Goldbach.
Quando il professore di matematica di Simone, in terzo liceo, gli parlò della congettura di Goldbach, egli sentì l'irresistibile desiderio di capirla in maniera profonda, per tentate di dimostrarla. Alcuni compagni di classe seguirono i suoi primi ragionamenti, però il loro interesse non derivava tanto dal problema in sé, quanto dal premio di un milione di dollari che allora era in palio per chiunque fosse riuscito a dimostrarla. Anche per Simone il premio era importante, ma non come il desiderio di conoscere i meccanismi che si celano dietro il semplice enunciato della congettura. Cosí i suoi compagni si disinteressarono presto alla questione, mentre lui fu impegnato, negli anni successivi, a sviluppare una nuova teoria matematica che riteneva essere uno strumento utile per la dimostrazione. Chiamò questa teoria col nome di teoria dei tratteggi.
Ma perché ideare una teoria nuova, solamente per risolvere uno specifico problema? Egli pensò che, se nessuno era ancora riuscito a dimostrare la congettura, un motivo poteva essere la mancanza dei giusti strumenti matematici. Perciò valeva la pena provare con un approccio nuovo, basato su una nuova teoria.

Nel 2010 vi è stata la prima pubblicazione in una forma compiuta, sul sito http://teoriadeitratteggi.webnode.it, essa però utilizza un linguaggio molto formale, che lascia poco spazio all'intuizione. Questo aspetto è stato migliorato a partire dal 2018, con la nascita del progetto Dimostriamo Goldbach!, grazie al quale gli argomenti della teoria dei tratteggi sono stati spiegati con un taglio più didattico, con l'ausilio di immagini ed esempi, dando luogo agli articoli elencati sotto.

Sempre nell'ambito del progetto Dimostriamo Goldbach!, vi sono stati ulteriori sviluppi della teoria, più legati alla ricerca della dimostrazione della congettura di Goldbach. A breve li raccoglieremo un una nuova sezione di questo sito.

Come riferimento interno a questa sezione del sito, abbiamo creato un elenco delle definizioni e dei simboli utilizzati.

11. Calcolo del valore di un trattino nei tratteggi lineari di secondo ordine

In questo articolo vedremo come è possibile calcolare il valore dell'x-esimo trattino in un tratteggio di secondo ordine. Per farlo, si calcola prima la riga del trattino, come abbiamo già visto; poi si calcola l'ordinale del trattino su questa riga, risolvendo l'equazione caratteristica del downcast; infine, avendo ricondotto il problema al primo ordine, si puo' usare la formula del t_valore di primo ordine.
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12. Calcolo del valore di un trattino nei tratteggi lineari di terzo ordine

Per il calcolo del valore dell'x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine, si può procedere in maniera analoga al secondo ordine. Ora però abbiamo due possibilità: possiamo fare il downcast dal terzo ordine al secondo (cioè da T a T[i, j], dove T è il tratteggio dato), oppure direttamente dal terzo ordine al primo (cioè da T a T[i]).
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13. Calcolo degli spazi nei tratteggi lineari di secondo ordine

In questo articolo vedremo come si arriva alla formula per il calcolo della funzione t_spazio per i tratteggi lineari di secondo ordine. Come abbiamo già fatto per le funzioni t e t_valore, seguiremo l'approccio del downcast, che nel caso di t_spazio risulta più semplice, trattandosi di una funzione down-conservativa. Vedremo dapprima una formula approssimata, che poi sarà modificata per ottenere quella esatta.
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14. Una proprietà ricorsiva dei tratteggi lineari con componenti a due a due coprime

In questo articolo parleremo di una proprietà di tipo ricorsivo, che vale per tutti i tratteggi lineari con componenti a due a due coprime. Dato un tratteggio T di questo tipo, vedremo che ogni suo sottotratteggio proprio T' può essere ritrovato "immerso" in T; inoltre, ricorsivamente, anche ogni sottotratteggio proprio T'' di T' può essere ritrovato "immerso" in T', e così via.
CONTINUA

11. Calcolo del valore di un trattino nei tratteggi lineari di secondo ordine

In questo articolo vedremo come è possibile calcolare il valore dell'x-esimo trattino in un tratteggio di secondo ordine. Per farlo, si calcola prima la riga del trattino, come abbiamo già visto; poi si calcola l'ordinale del trattino su questa riga, risolvendo l'equazione caratteristica del downcast; infine, avendo ricondotto il problema al primo ordine, si puo' usare la formula del t_valore di primo ordine.
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12. Calcolo del valore di un trattino nei tratteggi lineari di terzo ordine

Per il calcolo del valore dell'x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine, si può procedere in maniera analoga al secondo ordine. Ora però abbiamo due possibilità: possiamo fare il downcast dal terzo ordine al secondo (cioè da T a T[i, j], dove T è il tratteggio dato), oppure direttamente dal terzo ordine al primo (cioè da T a T[i]).
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13. Calcolo degli spazi nei tratteggi lineari di secondo ordine

In questo articolo vedremo come si arriva alla formula per il calcolo della funzione t_spazio per i tratteggi lineari di secondo ordine. Come abbiamo già fatto per le funzioni t e t_valore, seguiremo l'approccio del downcast, che nel caso di t_spazio risulta più semplice, trattandosi di una funzione down-conservativa. Vedremo dapprima una formula approssimata, che poi sarà modificata per ottenere quella esatta.
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14. Una proprietà ricorsiva dei tratteggi lineari con componenti a due a due coprime

In questo articolo parleremo di una proprietà di tipo ricorsivo, che vale per tutti i tratteggi lineari con componenti a due a due coprime. Dato un tratteggio T di questo tipo, vedremo che ogni suo sottotratteggio proprio T' può essere ritrovato "immerso" in T; inoltre, ricorsivamente, anche ogni sottotratteggio proprio T'' di T' può essere ritrovato "immerso" in T', e così via.
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