La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
Dato un numero pari N > 2, chiameremo coppie di Goldbach per N le coppie di numeri primi la cui somma è N. La Congettura di Goldbach afferma che, qualunque sia N, il numero di queste coppie è almeno 1. In questo articolo ragioneremo nel senso opposto: troveremo una stima per eccesso del numero di coppie di Goldbach, ossia stabiliremo quante possono essere al massimo. Lo faremo utilizzando la teoria dei crivelli sviluppata finora, in particolare il crivello di Selberg.
In questa formulazione della strategia dimostrativa basata sugli spazi, cercheremo delle condizioni che ci consentano di concludere che un tratteggio, singolo o doppio, abbia spazi nell'intervallo (1, 2n), dove 2n è il numero pari della Congettura. Con un semplice ragionamento si conclude che è sufficiente che esistano almeno due spazi nelle prime 2n colonne del tratteggio, per cui cercheremo un modo per approssimare il numero di spazi contenuti fino a una certa colonna, studiando l'errore introdotto con tale approssimazione.
Quando si lavora con i numeri, una rappresentazione geometrica è spesso d'aiuto per tentare di mettere in evidenza andamenti o proprietà che più difficilmente emergono da un'analisi solo numerica; per questo motivo, stiamo cercando un modo per rappresentare le coppie di Goldbach su un piano cartesiano. Un possibile modo di ottiene applicando la caratterizzazione degli spazi, che per tratteggi di terzo ordine permette di associare ad ogni spazio del tratteggio un punto del piano cartesiano.
Nel precedente articolo abbiamo tentato di maggiorare il numero di spazi contenuti in un tratteggio fino a una certa colonna e abbiamo constatato che la funzione di errore che si ottiene può assumere valori molto grandi. Ciò però accade solo quando di assume che la colonna finale possa essere qualsiasi, mentre nel nostro caso sappiamo che tale colonna appartiene sempre all'intervallo di validità, che è una porzione del tratteggio molto piccola rispetto all'intero periodo. Introducendo questo vincolo, la funzione di errore cambia drasticamente...
Nella caratterizzazione degli spazi abbiamo visto, per i primi tre ordini di tratteggi lineari, con quali formule si possono ottenere tutti e soli gli spazi che precedono (o, rispettivamente, che seguono) un trattino di componente n_1 (la più piccola componente del tratteggio). In questo articolo daremo uno sguardo più approfondito a queste formule, arrivando a darne un'interpretazione grafica.