21. Caratterizzazione degli spazi: approfondimenti

Prerequisiti:

Nell’articolo Caratterizzazione degli spazi abbiamo visto, per i primi tre ordini di tratteggi lineari, con quali formule si possono ottenere tutti e soli gli spazi che precedono (o, rispettivamente, che seguono) un trattino di componente n_1 (la più piccola componente del tratteggio). In questo articolo daremo uno sguardo più approfondito a queste formule, arrivando a darne un’interpretazione grafica. Analizzeremo principalmente le formule di secondo e di terzo ordine, perché in quelle di primo ordine molte proprietà assumono una forma degenere che rende difficile individuarle.

Significato del secondo argomento del modulo

Sia nelle caratterizzazioni di secondo ordine che in quelle di terzo ordine troviamo delle relazioni che coinvolgono l’operatore di modulo. Ad esempio, per quanto riguarda il secondo ordine, nel Corollario della Proposizione L.C.3 le x devono soddisfare la relazione n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \in P_T(1); per quanto riguarda il terzo ordine, nella Proposizione L.C.5 le x devono soddisfare la relazione (n_2 + n_3) n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) \in P_T(1).
Soffermiamoci ora sul secondo argomento dell’operatore modulo, ossia n_1 + n_2 nel secondo ordine e n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3 nel terzo ordine. Dal punto di vista algebrico abbiamo già osservato che si tratta di polinomi simmetrici elementari (v. ultimo punto aperto dell’articolo Caratterizzazione degli spazi), ma queste formule hanno anche un significato relativo al tratteggio, nel caso in cui le componenti siano tutte a due a due coprime. In tal caso le formule calcolano il numero di trattini presenti in un periodo del tratteggio. Infatti:

  • Per la Proprietà T.4, il numero di trattini di un periodo di un tratteggio lineare (n_1, n_2, \ldots, n_k) è \frac{M}{n_1} + \frac{M}{n_2} + \ldots + \frac{M}{n_k}, dove M è il minimo comune multiplo tra le componenti.
  • Se le componenti sono a due a due coprime, il minimo comune multiplo coincide col prodotto, cioè M = n_1 n_2 \ldots n_k, quindi il numero di trattini in un periodo è \frac{n_1 n_2 \ldots n_k}{n_1} + \frac{n_1 n_2 \ldots n_k}{n_2} + \ldots + \frac{n_1 n_2 \ldots n_k}{n_k}.
  • Se il tratteggio è di secondo ordine, la formula diventa \frac{n_1 n_2}{n_1} + \frac{n_1 n_2}{n_2} = n_2 + n_1 = n_1 + n_2.
  • Se il tratteggio è di terzo ordine, la formula diventa \frac{n_1 n_2 n_3}{n_1} + \frac{n_1 n_2 n_3}{n_2} + \frac{n_1 n_2 n_3}{n_3} = n_2 n_3 + n_1 n_3 + n_1 n_2 = n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3.

Abbiamo così ritrovato le formule che costituiscono il secondo argomento del modulo, nelle caratterizzazioni degli spazi per i tratteggi di secondo e di terzo ordine.

Verifichiamo se il valore calcolato dalla formula n_1 + n_2 coincide con il numero di trattini presenti in un periodo del tratteggio T_1 = (3, 5) di secondo ordine. Abbiamo n_1 = 3 e n_2 = 5, da cui n_1 + n_2 = 3 + 5 = 8; dobbiamo quindi verificare se in un periodo ci sono 8 trattini. Dato che le componenti del tratteggio sono coprime, il suo periodo ha lunghezza n_1 \cdot n_2 = 3 \cdot 5 = 15; la sua rappresentazione sotto forma di tabella, limitata al periodo che va da 1 a 15 e con i trattini numerati, è la seguente:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3     1     3     4     6     7
5         2         5         8

I trattini totali sono effettivamente 8, quanti ne avevamo ottenuti tramite la formula.

Proviamo con il tratteggio di terzo ordine T_3 = (2, 3, 5), in cui abbiamo n_1 n_2 + n_2 n_3 + n_1 n_3 = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 5 = 31. La lunghezza di un periodo è 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30, e abbiamo la seguente rappresentazione:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2   1   3   5   7   9   11   13   16   17   19   22   23   26   28   29
3     2     6     8     12     14     18     21     24     27     30
5         4         10         15         20         25         31

Abbiamo in totale 31 trattini, che è lo stesso valore dato dalla formula.

Significato del modulo

Nel paragrafo precedente abbiamo approfondito il significato del secondo argomento del modulo nelle espressioni

n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) \tag{1}
(n_2 + n_3) n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3)\tag{2}

Ora vediamo qual è il significato delle espressioni per intero.

Secondo ordine

Per quanto riguarda il secondo ordine, per la Proposizione 6.2, a pagina 146 del testo di Teoria dei tratteggi applicata alla prima riga (quindi con \{i, j\} = \{1, 2\} abbiamo che:

(n_1 x - 1) \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) = (v - 1) \textrm{\ mod\ } n_2

dove v è il valore dell’x-esimo trattino, ossia la colonna in cui si trova (supponendo che esso appartenga alla prima riga).

Questa formula è simile a quella presente nel Corollario della Proposizione L.C.3, a cui possiamo avvicinarci ulteriormente togliendo il termine -1 dall’espressione di sinistra. Per farlo possiamo utilizzare la Proprietà 2.15 a pagina 61 del testo di Teoria dei tratteggi, secondo cui (n_1 x - 1) \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) = n_1 x \textrm{\ mod}^{\star}\ (n_1 + n_2) - 1. Applicando la stessa Proprietà anche alla parte destra, possiamo quindi concludere che:

n_1 x \textrm{\ mod}^{\star}\ (n_1 + n_2) - 1 = v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_2 - 1

da cui

n_1 x \textrm{\ mod}^{\star}\ (n_1 + n_2) = v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_2

Ma nel nostro caso, come abbiamo osservato subito prima di enunciare il Corollario, abbiamo che n_1 x \textrm{\ mod}^{\star}\ (n_1 + n_2) = n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2). Quindi possiamo concludere che:

n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) = v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_2

Rendiamo più esplicita l’espressione a destra ricordando la definizione dell’operatore \textrm{\ mod}^{\star}:

n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) = \begin{cases} n_2 & \textrm{se $v$ mod $n_2 = 0$} \\ v \textrm{\ mod\ } n_2 & \textrm{altrimenti} \end{cases}

Quindi:

  • Il primo caso si ha quando l’x-esimo trattino (\mathrm{t}_{(n_1, n_2)}(x)), ha un valore v multiplo di n_2; ma per ipotesi l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga, dunque siamo in una situazione del genere:
    0 1 v \textrm{ tale che } \mathrm{mcm}(n_1, n_2) \mid v
    \mathrm{t}_{(n_1, n_2)}(x)
  • Il secondo caso invece si verifica quando il valore dell’x-esimo trattino non è multiplo di n_2, dunque la cella sotto il trattino è vuota:
    0 1 v \textrm{ tale che } n_2 \nmid v
    \mathrm{t}_{(n_1, n_2)}(x)

In entrambi i casi possiamo dire che l’espressione n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) rappresenta la differenza tra v e il valore del precedente trattino della seconda riga. Infatti:

  • Nel primo caso, il trattino successivo all’x-esimo si trova sulla seconda riga, nella cella sottostante della stessa colonna, quindi il precedente trattino di componente n_2 si troverà n_2 colonne più a sinistra;
  • Nel secondo caso, il valore del precedente trattino della seconda riga sarà uguale al più grande multiplo di n_2 minore di v; per trovare questo trattino dobbiamo quindi spostarci a sinistra di tante colonne quanto è il resto della divisione di v per n_2, cioè di v \textrm{\ mod\ } n_2 colonne.

Verifichiamo se la relazione che abbiamo visto vale per un tratteggio di esempio. Possiamo riformulare la relazione in questo modo: dati un tratteggio di secondo ordine (n_1, n_2) e un suo trattino della prima riga avente ordinale x, indicando con x' l’ordinale del trattino che lo precede sulla seconda riga, vale la relazione

n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 + n_2) = \mathrm{t\_valore}(x) - \mathrm{t\_valore}(x')

Verifichiamola per il tratteggio (2, 3); la sua rappresentazione da 1 alla lunghezza del periodo n_1 \cdot n_2 = 2 \cdot 3 = 6 con i trattini numerati è la seguente:

  1 2 3 4 5 6
2   1   3   4
3     2     5

Prendiamo il trattino in fondo alla prima riga, ossia poniamo x = 4, da cui x' = 2, e sostituiamo i valori nella relazione che abbiamo visto per verificare se essa vale (ricordiamo che, per definizione, \mathrm{t\_valore}(k) è la colonna a cui appartiene il k-esimo trattino):

2 \cdot 4 \textrm{\ mod\ } (2 + 3) = \mathrm{t\_valore}(4) - \mathrm{t\_valore}(2) 8 \textrm{\ mod\ } 5 = 6 - 3 3 = 3

L’uguaglianza che abbiamo ottenuto è vera, quindi la relazione vale.

Terzo ordine

Per quanto riguarda il terzo ordine, il significato dell’espressione (n_2 + n_3) n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) è chiarito dalla Proposizione 6.6 a pagina 163 del testo di Teoria dei tratteggi:

(n_2 + n_3) n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) = n_2 (v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_3) + n_3 (v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_2) \tag{3}

dove, come prima, abbiamo indicato con v il valore dell’x-esimo trattino (sempre nell’ipotesi che esso appartenga alla prima riga).
Ma, per la Proposizione L.C.5:

(n_2 + n_3) n_1 x \textrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) = n_2 a + n_3 b \tag{4}

dove a \in \set{2, \ldots, n_3}, b \in \set{2, \ldots, n_2}.

Confrontando la (3) e la (4), abbiamo quindi che:

n_2 (v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_3) + n_3 (v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_2) = n_2 a + n_3 b

Osserviamo che, se n_2 e n_3 sono coprimi, l’espressione n_2 h + n_3 k, al variare di h \in \set{1, \ldots, n_3} e di k \in \set{1, \ldots, n_2}, genera valori univoci.

Perché l’espressione n_2 h + n_3 k genera valori univoci?

Se fosse n_2 h + n_3 k = n_2 h^{\prime} + n_3 k^{\prime}, con h, h^{\prime} \in \set{2, \ldots, n_3} e k, k^{\prime} \in \set{2, \ldots, n_2}, si avrebbe che n_2 (h - h^{\prime}) + n_3 (k - k^{\prime}) = 0. Le soluzioni di quest’equazione diofantea (sempre nell’ipotesi che n_2 e n_3 sono coprimi) sono h - h^{\prime} = m \cdot n_3, k - k^{\prime} = - m \cdot n_2, ma essendo h e h^{\prime} entrambi compresi tra 2 ed n_3, l’unico valore di m accettabile è m = 0, da cui h = h^{\prime}. Infine, con un ragionamento analogo, si ottiene anche che k = k^{\prime}.

Ora, v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_3 è compreso tra 1 e n_3, ma anche a lo è, essendo compreso per ipotesi tra 2 e n_3; analogamente, sia v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_2 che b sono compresi tra 1 e n_3. Dunque, per la proprietà di univocità di cui sopra, devono valere le uguaglianze:

\begin{cases} a = v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_3 \\ b = v \textrm{\ mod}^{\star}\ n_2 \end{cases}

Abbiamo quindi trovato il significato delle variabili a e b della Proposizione L.C.5.
Come per il secondo ordine, applicando la definizione dell’operatore \mathrm{mod}^{\star}, possiamo ulteriormente chiarire questo significato:

  • a è pari alla differenza tra v e il valore del precedente trattino appartenente alla terza riga
  • b è pari alla differenza tra v e il valore del precedente trattino appartenente alla seconda riga

I due punti precedenti ci possono far capire perché nella Proposizione L.C.5, che caratterizza gli spazi che precedono un trattino della prima riga, a \in \set{2, \ldots, n_3} e b \in \set{2, \ldots, n_2}.
Fissato un trattino della prima riga di valore v, essendo a pari alla differenza tra il valore del trattino e quello del precedente trattino appartenente alla terza riga, a deve essere compreso tra 1 e n_3, quindi la condizione a \in \set{2, \ldots, n_3} equivale a a \neq 1; analogamente, la condizione b \in \set{2, \ldots, n_2} equivale a b \neq 1. Ma a \neq 1 significa che il valore del precedente trattino della terza riga non può essere v - 1, cioè la colonna che precede il trattino di partenza non può avere un trattino sulla terza riga; analogamente, b \neq 1 significa che la colonna che precede il trattino di partenza non può avere un trattino dulla seconda riga. D’altra parte, la colonna che precede il trattino di partenza non può avere un trattino nemmeno sulla prima riga, altrimenti esisterebbero due trattini sulla prima riga di valore rispettivamente v - 1 e v, da cui si avrebbe che n_1 = 1, caso che è escluso dalla definizione di tratteggio lineare. Quindi la colonna che precede il trattino di partenza non può avere trattini su nessuna riga, cioè deve essere uno spazio, coerentemente con l’enunciato della Proposizione.

Verifichiamo se valgono le relazioni:

  • v \mathrm{\ mod^{\star}\ } n_2 è pari alla differenza tra v e il valore del precedente trattino appartenente alla seconda riga;
  • v \mathrm{\ mod^{\star}\ } n_3 è pari alla differenza tra v e il valore del precedente trattino appartenente alla terza riga.

per il tratteggio T_3 = (2, 3, 5), in cui n_1 = 2, n_2 = 3 e n_3 = 5. La sua rappresentazione da 1 alla lunghezza del periodo n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 con i trattini numerati è la stessa del primo esempio, ma la riportiamo qui per comodità:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2   1   3   5   7   9   11   13   16   17   19   22   23   26   28   29
3     2     6     8     12     14     18     21     24     27     30
5         4         10         15         20         25         31

Prendiamo il terzo trattino della prima riga, ossia x = 5: la colonna a cui appartiene è quindi v = \mathrm{t\_valore}(x) = 6.

Calcoliamo i valori dei trattini corrispondenti nelle righe precedenti:

  • L’ordinale x' del precedente trattino della seconda riga è 2: la colonna v' = \mathrm{t\_valore}(x') corrispondente è la 3.
  • L’ordinale x'' del precedente trattino della terza riga è 4: la colonna v'' = \mathrm{t\_valore}(x'') corrispondente è la 5.

Applicando la definizione di \textrm{\ mod}^{\star}, verifichiamo la prima relazione:

v \mathrm{\ mod^{\star}\ } n_2 = v - v' 6 \mathrm{\ mod^{\star}\ } 3 = 6 - 3 3 = 3

Quindi la prima relazione è vera. Verifichiamo la seconda:

v \mathrm{\ mod^{\star}\ } n_3 = v - v'' 6 \mathrm{\ mod^{\star}\ } 5 = 6 - 5 1 = 1

Quindi le due relazioni sono entrambe vere.

Il contenuto di questo paragrafo è stato già trattato, in forma più generale, nell’articolo Il calcolo della riga e le differenze tra i valori dei trattini. In quest’ultimo articolo, per esempio, si può vedere come cambiano le formule quando l’x-esimo trattino appartiene a una riga diversa dalla prima.

Significato del quoziente

La caratterizzazione degli spazi che precedono (o che seguono) un trattino della prima riga utilizza le espressioni (1) e (2) che abbiamo approfondito nel paragrafo precedente; le stesse espressioni però danno ulteriori informazioni se si sostituisce il modulo con il quoziente della divisione. Effettuando questa sostituzione, le due espressioni diventano rispettivamente:

\left\lfloor \frac{n_1 x}{n_1 + n_2} \right\rfloor \tag{1'}
\left\lfloor \frac{(n_2 + n_3) n_1 x}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right\rfloor \tag{2'}

Se l’x-esimo trattino si trova sulla prima riga, abbiamo verificato che queste espressioni calcolano il numero di trattini di righe diverse dalla prima che lo precedono. Questa proprietà non è stata ancora dimostrata, perciò la enunceremo, sia nel secondo che nel terzo ordine, in forma di Ipotesi. Cominciamo dal secondo ordine:

Numero dei trattini della seconda riga che precedono un trattino della prima, in un tratteggio lineare di secondo ordine

Sia T = (n_1, n_2) un tratteggio lineare di secondo ordine; siano x un numero intero positivo, e t l’x-esimo trattino di T.
Se t appartiene alla prima riga, allora il numero di trattini di T appartenenti alla seconda riga che precedono t è dato dalla formula:

\left\lfloor \frac{n_1 x}{n_1 + n_2} \right\rfloor

Possiamo osservare che, se t è l’x-esimo trattino di un tratteggio lineare T e se appartiene alla prima riga, allora qualunque trattino che lo precede ha valore inferiore. Infatti, per la Definizione T.4, se un trattino u precede t, può avere valore inferiore o al massimo uguale, ma in quest’ultimo caso la riga di u deve avere indice più basso della riga di t, cosa che però non può accadere se t appartiene alla prima riga.
I trattini di T che precedono t e appartengono alla seconda riga sono quindi tutti e soli i trattini della seconda riga che hanno valore inferiore a quello di t. Indicando quest’ultimo valore con v, il numero di tali trattini, per il Corollario della Proposizione T.2, è dato dalla formula:

\left\lfloor \frac{v - 1}{n_2} \right\rfloor

Dunque dall’Ipotesi H.3 possiamo ricavare il seguente Corollario:

Numero dei trattini della seconda riga che precedono un trattino della prima, in un tratteggio lineare di secondo ordine, in formule

Sia T = (n_1, n_2) un tratteggio lineare di secondo ordine; siano x un numero intero positivo, t l’x-esimo trattino di T, e v il valore di t (v = \mathrm{t\_valore}(x)). Allora:

\left\lfloor \frac{n_1 x}{n_1 + n_2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{v - 1}{n_2} \right\rfloor

Verifichiamo il Corollario sul tratteggio di secondo ordine T = (3, 5), in cui n_1 = 3, n_2 = 5 e la lunghezza del periodo è n_1 \cdot n_2 = 3 \cdot 5 = 15. La sua rappresentazione da 1 a 15 è la seguente:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3     1     3     4     6     7
5         2         5         8

Dobbiamo verificare, per una certa x, questa relazione:

\left\lfloor \frac{n_1 x}{n_1 + n_2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\mathrm{t\_valore}(x) - 1}{n_2} \right\rfloor

Per x = 6 abbiamo (ricordiamo che \mathrm{t\_valore}(x) è la colonna a cui appartiene l’x-esimo trattino, e che \lfloor{x}\rfloor è l’arrotondamento per difetto):

\left\lfloor \frac{3 \cdot 6}{3 + 5} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\mathrm{t\_valore}(6) - 1}{5} \right\rfloor
\left\lfloor \frac{18}{8} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{12 - 1}{5} \right\rfloor
2 = 2

quindi la relazione è vera.
Osserviamo che, in accordo con l’Ipotesi H.3, il numero 2 calcolato ad ambo i membri è il numero di trattini della seconda riga che precedono il sesto trattino: in particolare si tratta del secondo e del quinto trattino.

Vediamo ora l’equivalente dell’Ipotesi H.3 per il terzo ordine:

Numero dei trattini della seconda riga o della terza che precedono un trattino della prima, in un tratteggio lineare di terzo ordine

Sia T = (n_1, n_2, n_3) un tratteggio lineare di terzo ordine; siano x un numero intero positivo, e t l’x-esimo trattino di T.
Se t appartiene alla prima riga, allora il numero di trattini di T appartenenti alla seconda o alla terza riga che precedono t è dato dalla formula:

\left\lfloor \frac{(n_2 + n_3) n_1 x}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right\rfloor

Possiamo applicare il Corollario della Proposizione T.2 anche in questo caso, per la seconda e per la terza riga prese separatamente. Per quanto riguarda la seconda riga, il numero di trattini di T che vi appartengono e che precedono t, indicando ancora con v il valore di t, è dato dalla stessa formula di prima:

\left\lfloor \frac{v - 1}{n_2} \right\rfloor

Per quanto riguarda la terza riga invece cambia solo il denominatore:

\left\lfloor \frac{v - 1}{n_3} \right\rfloor

Dunque, per ottenere il numero di trattini che precedono t e che appartengono alla seconda o alla terza riga, dobbiamo sommare le due formule precedenti, ottenendo il seguente Corollario:

Numero dei trattini della seconda riga o della terza riga che precedono un trattino della prima, in un tratteggio lineare di terzo ordine, in formule

Sia T = (n_1, n_2, n_3) un tratteggio lineare di terzo ordine; siano x un numero intero positivo, t l’x-esimo trattino di T, e v il valore di t (v = \mathrm{t\_valore}(x)). Allora:

\left\lfloor \frac{(n_2 + n_3) n_1 x}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{v - 1}{n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{v - 1}{n_3} \right\rfloor

Verifichiamo il Corollario per il tratteggio di terzo ordine T_3 = (2, 3, 5), in cui n_1 = 2, n_2 = 3, n_3 = 5 e la lunghezza del periodo è n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30. La sua rappresentazione da 1 a 30 è la seguente:

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2   1   3   5   7   9   11   13   16   17   19   22   23   26   28   29
3     2     6     8     12     14     18     21     24     27     30
5         4         10         15         20         25         31

Dobbiamo verificare, per una certa x, la relazione:

\left\lfloor \frac{(n_2 + n_3) n_1 x}{n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\mathrm{t\_valore}(x) - 1}{n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{\mathrm{t\_valore}(x) - 1}{n_3} \right\rfloor

Per x = 13 abbiamo:

\left\lfloor \frac{(3 + 5) \cdot 2 \cdot 13}{2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\mathrm{t\_valore}(13) - 1}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{\mathrm{t\_valore}(13) - 1}{5} \right\rfloor
\left\lfloor \frac{8 \cdot 2 \cdot 13}{6 + 10 + 15} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{14 - 1}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{14 - 1}{5} \right\rfloor
\left\lfloor \frac{208}{31} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{13}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{13}{5} \right\rfloor
6 = 4 + 2

quindi la relazione è vera.
Osserviamo che, in accordo con l’Ipotesi H.4, il numero 6 calcolato ad ambo i membri è il numero di trattini della seconda e della terza riga che precedono il tredicesimo trattino: si tratta dei trattini numero 2, 4, 6, 8, 10 e 12.

Interpretazione grafica e massima distanza tra spazi

Consideriamo un tratteggio lineare (n_1, n_2, n_3) con componenti a due a due coprime.

Definiamo l’insieme:

R := \set{n_2 a + n_3 b | a \in \set{1, \ldots, n_3}, b \in \set{1, \ldots, n_2}}

Definiamo inoltre:

K := n_1(n_2 + n_3)
T := n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3 = K + n_2 n_3

Per x \gt 0, dal Teorema T.4 sappiamo che l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga se e solo se si verifica la condizione:

K x \mathrm{\ mod\ } T \in R \tag{1}

Mediante la (1) possiamo quindi associare a ogni trattino della prima riga un elemento di R.

Chiameremo sequenza un insieme del tipo

S_b := \set{n_2 a + n_3 b | a \in \set{1, \ldots, n_3}} \tag{2}

dove b \in \set{1, \ldots, n_2} è un intero fissato per ciascuna sequenza.

Esistono quindi n_2 sequenze. Ad esempio se n_2 = 3 l’insieme R può essere scritto come l’unione disgiunta delle sequenze:

\begin{aligned}R = & \set{n_2 a + n_3 | a \in \set{1, \ldots, n_3}} \cup \\ & \set{n_2 a + 2 n_3 | a \in \set{1, \ldots, n_3}} \cup \\ & \set{n_2 a + 3 n_3 | a \in \set{1, \ldots, n_3}} \\ = & S_1 \cup S_2 \cup S_3\end{aligned}

In generale ci saranno n_2 sequenze, ciascuna delle quali contiene n_3 elementi di una progressione aritmetica di ragione n_2.

Come conseguenza della teoria che abbiamo visto nel paragrafo Significato del modulo, i trattini associati alla sequenza (2), cioè tali che il risultato dell’espressione (1) appartiene ad essa, hanno sempre distanza b dal precedente trattino della seconda riga.

Consideriamo il tratteggio (2, 5, 7). Abbiamo che K = 2(5 + 7) = 24 e T = K + 5 \cdot 7 = 59. In questo caso ci sono n_2 = 5 sequenze:

S_1 = \set{5a + 7 | a \in \set{1, ... 7}} = \set{12, 17, 21, 27, 32, 37, 42} S_2 = \set{5a + 2 \cdot 7 | a \in \set{1, ... 7}} = \set{19, 24, 29, 34, 39, 44, 77} S_3 = \set{5a + 3 \cdot 7 | a \in \set{1, ... 7}} = \set{26, 31, 36, 41, 46, 51, 56} S_4 = \set{5a + 4 \cdot 7 | a \in \set{1, ... 7}} = \set{33, 38, 43, 48, 53, 58, 63} S_5 = \set{5a + 5 \cdot 7 | a \in \set{1, ... 7}} = \set{40, 45, 50, 55, 60, 65, 70}

Per ogni x-esimo trattino, solo per la prima riga, calcoliamo il corrispondente valore di K x \mathrm{\ mod\ } T, e vediamo a che sequenza appartiene; ad esempio:

  • per x = 1 abbiamo che K x \mathrm{\ mod\ } T = 24 \cdot 1 \mathrm{\ mod\ } 59 = 24, quindi il trattino 1 appartiene a S_1;
  • per x = 2 abbiamo che K x \mathrm{\ mod\ } T = 24 \cdot 2 \mathrm{\ mod\ } 59 = 48, quindi il trattino 2 appartiene a S_4.

Indicando le sequenze con colori diversi, otteniamo:

Possiamo notare che il trattino della seconda riga che precede un trattino della prima avente un certo colore ha sempre la stessa distanza da quest’ultimo, a parità di colore. Ad esempio, la distanza tra ogni trattino della sequenza verde e il relativo trattino della seconda riga che lo precede è sempre 1.

Queste sequenze, essendo formate da numeri distanti n_2 uno dall’altro, possono essere intese in modo simile a dei tratteggi lineari di primo ordine (due ordini in meno rispetto al tratteggio iniziale), con due differenze:

  • Il primo valore non è 0 ma n_2 + n_3, n_2 + 2 n_3, n_2 + 3 n_3, eccetera, a seconda della sequenza
  • Il numero di trattini non è infinito, ma è n_3 per tutte le sequenze

A livello grafico possiamo illustrare le sequenze come punti colorati su una circonferenza contenente T punti equispaziati e numerati da 0 a T - 1 (i possibili resti modulo T), utilizzando un colore diverso per ciascuna sequenza e ordinando i punti in ordine crescente:

Da questa rappresentazione si vede bene come le sequenze occupino una parte considerevole del cerchio, e come gli sfasamenti tra una sequenza e l’altra facciano sì che alcune porzioni del cerchio siano occupate da una sola sequenza, altre da più di una sequenza.

I punti dell’insieme R così evidenziati sono associati, mediante la (1), a tutti e soli i trattini della prima riga. Osserviamo che il primo trattino della prima riga (che è anche il primo trattino in assoluto) è associato al numero K \mathrm{\ mod\ } T, che uguale a K, perché K \lt T, dunque è associato al numero n_1(n_2 + n_3). Se n_1 = 2, il numero associato al primo trattino è 2(n_2 + n_3) che è il più piccolo valore della sequenza S_1. Partendo da questo numero e percorrendo la circonferenza in senso orario saltando K-1 punti e prendendo il K-esimo, si otterrà il successivo valore dell’espressione (1); procedendo sempre in questo modo, si otterrà prima o poi un altro elemento di R, che sarà quello associato al successivo trattino della prima riga del tratteggio.

Quanti salti di K punti si possono fare al massimo, per passare da un elemento di R a un altro? Il problema sembra complicato dal punto di vista numerico, ma la soluzione è molto semplice, dato che il numero cercato non è altro che la massima distanza tra due trattini della prima riga misurata in ordinali di trattino (cioè nella variabile x). Tra due trattini consecutivi della prima riga può esserci al massimo un trattino per ciascuna altra riga (se ce ne fossero più d’uno, la loro distanza in colonne supererebbe quella tra i due trattini della prima riga, perché le altre componenti sono tutte più grandi della prima). Perciò, la massima distanza in ordinali tra due trattini della prima riga in un tratteggio di terzo ordine è 3 (al massimo 2 trattini intermedi di altre righe, più l’ordinale del successivo trattino della prima riga). Quindi possiamo essere sicuri che, con al massimo 3 salti di K sulla circonferenza, possiamo passare da un punto di R ad un altro punto di R.

Ora vediamo cosa cambia quando di vogliono considerare solamente i trattini della prima riga che sono preceduti da uno spazio. In questo caso l’insieme R viene sostituito dall’insieme P:

P := \set{n_2 a + n_3 b | a \in \set{2, \ldots, n_3}, b \in \set{2, \ldots, n_2}}

Per x \gt 0, sappiamo che l’x-esimo trattino appartiene alla prima riga ed è preceduto da uno spazio se e solo se si verifica la condizione:

K x \mathrm{\ mod\ } T \in P \tag{1'}

Anche in questo caso possiamo individuare delle sequenze, che sono ora del tipo:

S_b^{\prime} := \set{n_2 a + n_3 b | a \in \set{2, \ldots, n_3}} \tag{2'}

dove b \in \set{2, \ldots, n_2} è un intero fissato per ciascuna sequenza.

In questo caso esistono quindi n_2 - 1 sequenze. Ad esempio se n_2 = 3 l’insieme P può essere scritto come l’unione disgiunta delle sequenze:

P = \set{n_2 a + 2 n_3 | a \in \set{2, \ldots, n_3}} \cup \set{n_2 a + 3 n_3 | a \in \set{2, \ldots, n_3}} = S_2^{\prime} \cup S_3^{\prime}

Le differenze rispetto a prima sono essenzialmente due:

  • La sequenza S_1 è stata eliminata
  • Le altre sequenze hanno perso un elemento ciascuna

A livello grafico, la situazione che si ottiene per il tratteggio (2, 5, 7) è la seguente:

Possiamo porci ora una domanda analoga alla precedente: quanti salti di K si possono fare al massimo, per passare da un elemento di P a un altro elemento di P? Questa domanda è importante, perché vorrebbe dire calcolare quanti ordinali possono separare al massimo due trattini della prima riga che sono entrambi preceduti da uno spazio; sarebbe come calcolare la massima distanza tra due spazi, al netto di dover trasformare dagli ordinali alle colonne, operazione che però non è complicata (ne parleremo alla fine dell’articolo).

Si potrebbe pensare di rispondere alla domanda ragionando dal punto di vista numerico. Supponendo di partire dal primo elemento della prima sequenza, cioè da n_1(n_2 + n_3), il successivo elemento di P sarà maggiore, ma più piccolo di n_1(n_2 + n_3) + K, quindi bisognerà fare almeno un giro completo della circonferenza. Per fare un giro completo, essendo T la lunghezza della circonferenza e K la lunghezza del salto, occorrono almeno \left\lceil \frac{T}{K} \right\rceil salti (quest’osservazione vale anche per il caso precedente, con R al posto di P). A questo punto, poniamo:

r := \left\lceil \frac{T}{K} \right\rceil K - T

Questo numero rappresenta il numero di posizioni di cui si avanza, rispetto a una posizione iniziale, dopo aver fatto un giro completo della circonferenza a salti di K. Facendo i conti, si ottiene che:

r = K - T \mathrm{\ mod\ } K

Quindi, partendo da n_1(n_2 + n_3), il numero successivo, dopo aver fatto un giro del cerchio, sarà n_1(n_2 + n_3) + r. Se r è piccolo, questo numero si troverà ancora nella porzione della circonferenza occupata dalle sequenze, per cui ci sono delle possibilità che esso ricada in qualche sequenza (e dunque in P); se così non dovesse essere, si possono fare altri giri ottenendo i numeri n_1(n_2 + n_3) + 2r, n_1(n_2 + n_3) + 3r, eccetera. Il problema è che questo approccio non funziona se r è grande, perché i numeri n_1(n_2 + n_3) + hr potrebbero uscire dalla porzione della circonferenza occupata dalle sequenze, anche per un valore di h molto basso.

L’approccio numerico sembra piuttosto complicato per essere risolto in modo diretto. L’approccio migliore sarebbe trovare un tratteggio che in qualche modo rappresenti la (1′) un po’ come il tratteggio di partenza rappresenta la (1); in tal modo si potrebbe trovare il numero massimo di salti necessari per passare da un elemento di P all’altro ragionando su tale rappresentazione invece che in modo numerico.

Approssimazione probabilistica

Potrebbe essere possibile semplificare il problema se si cercasse una soluzione approssimata, basata sul concetto che, nella rappresentazione che abbiamo visto, in alcune parti del cerchio ci sono più elementi di P, o consecutivi o eventualmente separati da punti che non sono in P. Seguendo questo principio, il grafico precedente può venire diviso in zone, ad esempio in questo modo:

in cui:

  • La zona A contiene punti che sono tutti elementi di P, ossia il 100%;
  • La zona B contiene 8 punti che sono elementi di P su 9, ossia l’88%;
  • La zona C contiene 18 punti che sono elementi di P su 28, ossia il 64%;
  • La zona D contiene 20 punti che sono elementi di P su 35, ossia il 57%;
  • L’intero cerchio contiene 20 punti che sono elementi di P su 59, ossia il 33%.

Più in generale, quindi, le percentuali indicano la probabilità che, cadendo in una certa zona, si trovi un elemento di P. Il problema precedente, quindi, potrebbe essere interpretato in questo modo: quanti salti di K si possono fare al massimo, per cadere su un punto tale che la probabilità di essere un elemento di P sia sopra una certa soglia?

Trasformare una distanza in ordinali in una distanza in colonne

Se si arrivasse in fondo a questa strategia dimostrativa, alla fine si calcolerebbe la massima distanza tra due trattini entrambi preceduti da uno spazio, misurata però in ordinali di trattino. A noi serve invece la distanza in colonne, perché chiaramente la distanza in colonne tra i due trattini in questione è la stessa di quella degli spazi che li precedono. Quindi bisogna rispondere a qusta domanda: se due trattini sono distanti al massimo d in termini di ordinali, quale può essere al massimo la loro distanza misurata in colonne?
In qualsiasi tratteggio lineare di terzo ordine, il minimo numero di trattini presenti in c colonne consecutive è dato dalla formula:

\left\lfloor \frac{c}{n_1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{c}{n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{c}{n_3} \right\rfloor

Quindi, se abbiamo d trattini consecutivi e vogliamo sapere il numero massimo di colonne che possono contenerli, dobbiamo trovare il più piccolo c tale che

d \lt \left\lfloor \frac{c}{n_1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{c}{n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{c}{n_3} \right\rfloor

Essendo \left\lfloor \frac{c}{n_1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{c}{n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{c}{n_3} \right\rfloor \lt \frac{c}{n_1} + \frac{c}{n_2} + \frac{c}{n_3}, a maggior ragione possiamo trovare il più piccolo c tale che:

d \lt \frac{c}{n_1} + \frac{c}{n_2} + \frac{c}{n_3}

Facendo i calcoli, abbiamo:

d \lt \frac{T c}{n_1 n_2 n_3}
\frac{d n_1 n_2 n_3}{T} \lt c
c \geq \left\lfloor \frac{d n_1 n_2 n_3}{T} \right\rfloor + 1

Quindi \left\lfloor \frac{d n_1 n_2 n_3}{T} \right\rfloor + 1 colonne contengono sicuramente più di d trattini, dunque d trattini consecutivi possono occupare al massimo \left\lfloor \frac{d n_1 n_2 n_3}{T} \right\rfloor colonne.

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