Maggiorazione del numero di spazi fino a una colonna inclusa nell’intervallo di validità

Prerequisiti:

Nell’articolo precedente abbiamo ricondotto la strategia dimostrativa basata sugli spazi al problema di trovare una maggiorazione del numero di spazi nelle prime m colonne di un tratteggio lineare. Abbiamo visto che un modo per risolvere questo problema consiste nel minimizzare complesse espressioni modulari, il cui numero di termini aumenta in modo esponenziale con l’ordine del tratteggio (se l’ordine del tratteggio è k, l’espressione modulare corrispondente ha 2^{k-1} termini). Ad esempio, questa è l’espressione da minimizzare per il quarto ordine:

\begin{aligned} \mathrm{err\_s}(T, m) := & n_2 n_3 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1) + n_1 n_3 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_2) + n_1 n_2 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_3) + n_1 n_2 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_4) \\ & - n_3 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2) - n_1 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_3) - n_2 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_3) \\ & - n_2 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_4) - n_1 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_4) - n_1 n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_3 n_4) \\ & + n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_3) + n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_4) + n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_3 n_4) + n_1 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_3 n_4) \\ & - m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_3 n_4 \end{aligned} \tag{1}

Abbiamo visto che, al crescere dell’ordine del tratteggio, il valore minimo che può assumere quest’espressione al variare di m è negativo e sembra crescere esponenzialmente in valore assoluto.

Tuttavia, per ottenere questo valore minimo, che abbiamo chiamato \mathrm{min\_err\_s}, abbiamo fatto variare m considerando tutti i possibili valori che può assumere nel tratteggio, ossia da 1 fino alla lunghezza del periodo (andare oltre non avrebbe senso perché, per via della presenza dei moduli, i valori della funzione si ripetono ad intervalli pari alla lunghezza del periodo). Abbiamo cercato il valore minimo in questo modo perché inizialmente volevamo studiare la funzione \mathrm{err\_s} di per sé, a prescindere dell’uso che vogliamo farne nella nostra strategia dimostrativa, ma come abbiamo visto i risultati non sono stati soddisfacenti. Vale la pena quindi studiare la funzione \mathrm{err\_s} in relazione all’uso che vogliamo farne, che si può riassumere in due punti:

  • I tratteggi in cui ci interessa maggiormente cercare spazi sono quelli di tipo T_k, le cui componenti sono numeri primi consecutivi da 2 in poi (per poi passare ai doppi tratteggi);
  • In questi tratteggi, ci serve cercare gli spazi solamente all’interno dell’intervallo di validità; infatti, trovare uno spazio al di fuori non sarebbe di alcuna utilità per la dimostrazione della Congettura di Goldbach, dato che non potremmo sapere se lo spazio trovato è un numero primo.

Per i nostri scopi è quindi sufficiente definire una funzione simile a \mathrm{min\_err\_s}, che invece di cercare il minimo di \mathrm{err\_s} in un intero periodo del tratteggio, lo cerca solo all’interno dell’intervallo di validità. Come sappiamo, tale intervallo si estende dall’ultima componente del tratteggio, esclusa, al quadrato del numero primo successivo alla stessa, anch’esso escluso. Per semplificare, tuttavia, fermeremo la ricerca del minimo al quadrato dell’ultima componente del tratteggio (escluso), dato che è complicato calcolare con esattezza il numero primo successivo. In questo modo consideriamo un intervallo incluso in quello di validità, per cui è sufficiente trovare uno spazio in tale intervallo per poter affermare di averlo trovato anche nell’intervallo di validità. Chiameremo la nuova funzione di ricerca del minimo \mathrm{min\_err\_s\_q}, dove la “q” sta per “quadratico”, per ricordare che l’ampiezza dell’intervallo di ricerca cresce quadraticamente rispetto all’ultima componente del tratteggio.

Questa è la definizione di \mathrm{min\_err\_s\_q} per un generico tratteggio T:

\mathrm{min\_err\_s\_q}(T) := \min_{n_k \lt m \lt n_k^2} \mathrm{err\_s}(T, m) \tag{2}

Un aspetto interessante di questa funzione, poco evidente dalla definizione, è che alcuni termini di \mathrm{err\_s} si semplificano, per via dell’intervallo ristretto su cui è calcolato il minimo. Possiamo vedere questo effetto nel quarto ordine, dove la funzione \mathrm{err\_s} è definita in generale dall’espressione (1). Se poniamo T := T_4 = (2, 3, 5, 7), da cui (n_1, n_2, n_3, n_4) = (2, 3, 5, 7), abbiamo che:

\begin{aligned} \mathrm{err\_s}(T, m) & := \\ 105 (m \mathrm{\ mod\ } 2) + 70 (m \mathrm{\ mod\ } 3) + 42 (m \mathrm{\ mod\ } 5) + 30 (m \mathrm{\ mod\ } 7) \\ - 35 (m \mathrm{\ mod\ } 6) - 14 (m \mathrm{\ mod\ } 15) - 21 (m \mathrm{\ mod\ } 10) & \\ - 15 (m \mathrm{\ mod\ } 14) - 10 (m \mathrm{\ mod\ } 21) - 6 (m \mathrm{\ mod\ } 35) & \\ + 7 (m \mathrm{\ mod\ } 30) + 5 (m \mathrm{\ mod\ } 42) + 3 (m \mathrm{\ mod\ } 70) + 2 (m \mathrm{\ mod\ } 105) & \\ - m \mathrm{\ mod\ } 210 \end{aligned} \tag{3}

L’intervallo in cui vogliamo cercare il minimo della funzione, per la (2), va da n_4 = 7 a n_4^2 = 7^2 = 49 esclusi:

\mathrm{min\_err\_s\_q}(T_4) := \min_{7 \lt m \lt 49} \mathrm{err\_s}(T_4, m)

Possiamo osservare che nella (3) alcuni moduli sono più grandi di 49: in questi casi le operazioni di modulo si possono cancellare. Ad esempio, nell’espressione m \mathrm{\ mod\ } 70, essendo 7 \lt m \lt 49, m è sicuramente più piccolo di 70, quindi m \mathrm{\ mod\ } 70 = m. La stessa cosa vale per m \mathrm{\ mod\ } 105 e m \mathrm{\ mod\ } 210, per cui la (3) diventa:

\begin{aligned} \mathrm{err\_s}(T, m) & := \\ 105 (m \mathrm{\ mod\ } 2) + 70 (m \mathrm{\ mod\ } 3) + 42 (m \mathrm{\ mod\ } 5) + 30 (m \mathrm{\ mod\ } 7) \\ - 35 (m \mathrm{\ mod\ } 6) - 14 (m \mathrm{\ mod\ } 15) - 21 (m \mathrm{\ mod\ } 10) & \\ - 15 (m \mathrm{\ mod\ } 14) - 10 (m \mathrm{\ mod\ } 21) - 6 (m \mathrm{\ mod\ } 35) & \\ + 7 (m \mathrm{\ mod\ } 30) + 5 (m \mathrm{\ mod\ } 42) + 3 m + 2 m & \\ - m \end{aligned}

da cui

\begin{aligned} \mathrm{err\_s}(T, m) & := \\ 105 (m \mathrm{\ mod\ } 2) + 70 (m \mathrm{\ mod\ } 3) + 42 (m \mathrm{\ mod\ } 5) + 30 (m \mathrm{\ mod\ } 7) \\ - 35 (m \mathrm{\ mod\ } 6) - 14 (m \mathrm{\ mod\ } 15) - 21 (m \mathrm{\ mod\ } 10) & \\ - 15 (m \mathrm{\ mod\ } 14) - 10 (m \mathrm{\ mod\ } 21) - 6 (m \mathrm{\ mod\ } 35) & \\ + 7 (m \mathrm{\ mod\ } 30) + 5 (m \mathrm{\ mod\ } 42) + 4 m \end{aligned} \tag{4}

Siamo passati quindi da un’espressione che conteneva 15 moduli a un’espressione che ne contiene 12. Questa può non sembrare una grande semplificazione, ma il suo effetto diventa sempre più marcato al crescere dell’ordine, perché i moduli maggiori di n_k^2 (e quindi sicuramente maggiori di m) diventano man mano sempre più numerosi, per cui se ne eliminano sempre di più. Infatti, dobbiamo ricordare che i moduli sono dati da tutti i possibili prodotti di componenti del tratteggio non ripetute (nel quarto ordine: n_1, n_2, n_3, n_4, n_1 n_2, n_1 n_3, n_1 n_4, n_2 n_3, n_2 n_4, n_3, n_4, n_1 n_2 n_3, n_1, n_2 n_4, \ldots), per cui, più componenti ha il tratteggio, più è facile trovare un prodotto di componenti che superi il quadrato di quella più grande. Per rendersene conto, basta considerare il tratteggio T_9 = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23): il quadrato dell’ultima componente è 529, che è già abbondantemente superato dal prodotto delle prime cinque componenti (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310), che è il più piccolo prodotto che si può formare con cinque componenti; quindi tutti i prodotti di almeno 5 componenti sono maggiori di 529, e lo sono anche molti prodotti di meno componenti, ma più grandi (ad esempio 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001).

Non solo i moduli maggiori di n_k^2 diventano sempre più numerosi, ma diventano man mano la quasi totalità dei moduli. Per rendersene conto, basta fare delle semplici considerazioni:

  • il numero totale dei moduli per l’ordine k è 2^k - 1;
  • i moduli minori di n_k^2 sicuramente non possono essere più di n_k^2 (più precisamente, la loro cardinalità è pari a quella degli interi privi di quadrati minori di n_k^2);
  • dunque, la frazione di moduli minori di n_k^2 sul totale non può essere più grande di \frac{n_k^2}{2^k - 1};
  • come è noto dall’analisi, il rapporto \frac{n_k^2}{2^k - 1} tende a zero al crescere di k;
  • quindi, i moduli minori di n_k^2 sono una porzione infinitesima del totale dei moduli (equivalentemente, quelli maggiori di n_k^2 tendono ad essere la totalità dei moduli).

Quindi, al crescere dell’ordine, l’espressione di \mathrm{err\_s}(T, m) contiene relativamente pochi moduli (non più del quadrato dell’ultima componente), più, dopo le semplificazioni, un termine dato da m per una costante, come nella (4).

L’espressione semplificata di \mathrm{err\_s}(T, m) merita di essere approfondita. Per esempio:

  • Il numero di moduli minori di n_k^2 è in realtà molto minore di n_k^2; per esempio nella (4) abbiamo solo 12 moduli a fronte di n_k^2 = 49. Si potrebbe indagare sull’ordine di grandezza del numero di moduli.
  • Il coefficiente di m, generato dalle semplificazioni, è ottenuto attraverso una somma di termini sia positivi che negativi: si potrebbe studiare ad esempio come varia il numero ottenuto al variare dell’ordine del tratteggio, per tratteggi di tipo T_k.

Il fatto di aver limitato la ricerca del minimo, comunque, di per sé non garantisce di aver risolto il problema di partenza, cioè non garantisce che non si possano ottenere valori di \mathrm{err\_s}(T, m) negativi molto grandi in valore assoluto, nonostante la limitazione su m. Infatti, come abbiamo visto nell’articolo precedente, in cui non avevamo introdotto limitazioni su m, sappiamo che esistono degli m che generano valori di \mathrm{err\_s}(T, m) molto grandi in valore assoluto; se tali m fossero minori di n_k^2, la limitazione che abbiamo introdotto sarebbe ininfluente e non avremmo risolto il problema di partenza. Per approfondire questo aspetto, abbiamo fatto alcune verifiche sperimentali.

Siamo partiti dal generalizzare la formula dell’articolo precedente in cui compare \mathrm{err\_s}, in questo modo:

s(T, m) = m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{n_k} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T, m)}{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}

dove T = (n_1, \ldots, n_k) è un tratteggio lineare di ordine k.
Per il nomento ci siamo limitati allo studio del caso T = T_k, per il quale si ottiene:

s(T_k, m) = m \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T_k, m)}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_k}

da cui:

\mathrm{err\_s}(T_k, m) = \left( s(T_k, m) - m \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) \right) p_1 \cdot \ldots \cdot p_k \tag{5}

Ora, a noi interessa il minimo valore che può assumere questa formula quando m varia tra p_k e il suo quadrato esclusi, dato dalla (2). Per la (5), esso si può esprimere come:

\mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k) = \min_{p_k \lt m \lt p_k^2} \left( s(T, m) - m \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) \right) p_1 \cdot \ldots \cdot p_k

Essendo \mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k) troppo grande in valore assoluto per ordini grandi, conviene rapportarlo alla lunghezza del periodo, studiando il rapporto:

\frac{\mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k)}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_k} = \min_{p_k \lt m \lt p_k^2} \left( s(T, m) - m \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) \right)

Questo rapporto è importante per stimare quanti spazi possono esserci nell’intervallo di validità: vediamo perché.
Tenendo conto che l’intervallo di validità si estende da p_k a p_k^2 esclusi, per calcolare il numero di spazi al suo interno, possiamo sottrarre il numero di spazi nelle prime p_k colonne dal numero di spazi fino alla colonna p_k^2 esclusa:

\begin{aligned} \textrm{numero di spazi nell'intervallo di validità} &= \\ S(T_k, p_k^2 - 1) - S(T_k, p_k) &= \\ S(T_k, p_k^2 - 1) - 1 \end{aligned} \tag{6}

Il termine S(T_k, p_k) è pari a 1 perché sappiamo che nei tratteggi T_k, dove le componenti sono numeri primi consecutivi partendo da 2, l’unico spazio più piccolo dell’ultima componente è la prima colonna.

In generale, se si considera un tratteggio T = (n_1, \ldots, n_k) non di tipo T_k, si può osservare ad esempio che S(T, n_k) non può essere più grande di n_k - k, perché tra le prime n_k colonne almeno k non sono spazi, in particolare quelle numerate con le componenti del tratteggio, per cui non ci possono essere più di n_k - k spazi. Dunque, in generale S(T, n_k^2 - 1) - S(T, n_k) \geq S(T, n_k^2 - 1) + k - n_k.

Il termine S(T_k, p_k^2 - 1) può essere minorato utilizzando la (5) e la definizione di \mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k):

\begin{aligned} S(T_k, p_k^2 - 1) & = \\ (p_k^2 - 1) \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T, m)}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_k} & \geq \\ (p_k^2 - 1) \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) + \frac{\mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k, m)}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_k} \end{aligned}

da cui, per la (6):

\begin{aligned} \textrm{numero di spazi nell'intervallo di validità} & \geq \\ (p_k^2 - 1) \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) - 1 + \frac{\mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k, m)}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_k} \end{aligned} \tag{7}

Abbiamo calcolato il rapporto \frac{\mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k, m)}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_k} da k = 2 a k = 100 e abbiamo osservato che:

  • Il rapporto inizialmente decresce lentamente, per poi aumentare bruscamente il ritmo di discesa dopo l’ordine 45 (Figura 1);
  • Nonostante il rapporto decresca sempre più velocemente, la somma tra esso e la funzione (p_k^2 - 1) \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) - 1 resta positiva, segno che quest’ultima funzione cresce più velocemente (Figure 2 e 3).

Dimostrando il secondo punto, per la (7) si avrebbe che il numero di spazi nell’intervallo di validità è positivo, che è proprio lo scopo della strategia dimostrativa. Per i tratteggi del tipo T_k questa proprietà è già nota, perché per il Postulato di Bertand esiste un numero primo, e quindi uno spazio, tra p_k + 1 e 2 p_k, che si troverà all’interno dell’intervallo di validità, essendo 2 p_k \lt p_k^2 per k \geq 2. Tuttavia, se si dimostrasse la (7) studiando la funzione \mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k, m), le tecniche impiegate potrebbero magari essere applicate anche ai doppi tratteggi (oltre che a tratteggi lineari non di tipo T_k), portando alla dimostrazione dell’Ipotesi H.3.

Figura 1: grafico di min_err_s_q al variare dell’ordine k el tratteggio T_k
Figura 2: stima del numero di spazi nell’intervallo di validità dei tratteggi T_k, al variare di k
Figura 3: confronto tra min_err_s_q e la stima degli spazi nell’intervallo di validità, per tratteggi T_k con k crescente

Approfondendo questo studio, ci siamo chiesti anche qual è il punto di minimo della funzione di errore, ossia qual è il valore m_{\textrm{min}}, compreso nell’intervallo di validità, tale che \mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k) = \mathrm{err\_s}(T_k, m_{\textrm{min}}). Abbiamo scoperto che questo valore tende a posizionarsi vicino agli estremi dell’intervallo di validità; in particolare:

  • Fino all’ordine 40, m_{\textrm{min}} è vicino a p_k;
  • Dall’ordine 41 all’ordine 46, m_{\textrm{min}} è vicino a p_k per alcuni ordini, vicino a p_k^2 per altri;
  • Dall’ordine 47 in poi, m_{\textrm{min}} è molto vicino a p_k^2.

Al momento non abbiamo ipotesi che possano spiegare questo comportamento.

Figura 4: valore di m che, tra tutti valori compresi tra l’ultima componente del tratteggio e il quadrato di essa esclusi, rende minimo err_s per i tratteggi T_k, al variare di k

Come si vede, in molti punti il grafico di m_{\textrm{min}} risulta indistinguibile da quello di p_k^2, ma in realtà ci sono lievi differenze numeriche, che i lettori interessati possono visualizzare nel dettaglio seguente.

Dai seguenti dati si può vedere bene quanto m_{\mathrm{min}} si avvicini, a seconda dei casi, a p_k o a p_k^2. Un’altra cosa interessante è che, quando è vicino a p_k, è sempre della forma p - 1 dove p è un numero primo poco più grande di p_k.

ordine p_k m_{\mathrm{min}} p_k^2
2 3 4 9
3 5 10 25
4 7 10 49
5 11 12 121
6 13 16 169
7 17 18 289
8 19 28 361
9 23 28 529
10 29 30 841
11 31 36 961
12 37 40 1369
13 41 42 1681
14 43 46 1849
15 47 52 2209
16 53 58 2809
17 59 60 3481
18 61 66 3721
19 67 70 4489
20 71 72 5041
21 73 78 5329
22 79 82 6241
23 83 88 6889
24 89 96 7921
25 97 100 9409
26 101 102 10201
27 103 106 10609
28 107 126 11449
29 109 126 11881
30 113 126 12769
31 127 130 16129
32 131 136 17161
33 137 148 18769
34 139 148 19321
35 149 150 22201
36 151 156 22801
37 157 162 24649
38 163 166 26569
39 167 172 27889
40 173 178 29929
41 179 32026 32041
42 181 190 32761
43 191 36450 36481
44 193 196 37249
45 197 222 38809
46 199 222 39601
47 211 44482 44521
48 223 49726 49729
49 227 51406 51529
50 229 52432 52441
51 233 54268 54289
52 239 56430 57121
53 241 58026 58081
54 251 62968 63001
55 257 65518 66049
56 263 69142 69169
57 269 72210 72361
58 271 73416 73441
59 277 76729 76729
60 281 78778 78961
61 283 79800 80089
62 293 85816 85849
63 307 94249 94249
64 311 96721 96721
65 313 97840 97969
66 317 100482 100489
67 331 108862 109561
68 337 112900 113569
69 347 120382 120409
70 349 121786 121801
71 353 124600 124609
72 359 128812 128881
73 367 134668 134689
74 373 139120 139129
75 379 143460 143641
76 383 146668 146689
77 389 151152 151321
78 397 157176 157609
79 401 160578 160801
80 409 166596 167281
81 419 175561 175561
82 421 177208 177241
83 431 185518 185761
84 433 187066 187489
85 439 192528 192721
86 443 196246 196249
87 449 201490 201601
88 457 208836 208849
89 461 212410 212521
90 463 214362 214369
91 467 218068 218089
92 479 229122 229441
93 487 237136 237169
94 491 241026 241081
95 499 247990 249001
96 503 252868 253009
97 509 259081 259081
98 521 271441 271441
99 523 273516 273529
100 541 292660 292681
Ricapitolando, resta da dimostrare che:

  • Al crescere di k, la funzione \frac{\mathrm{min\_err\_s\_q}(T_k, m)}{p_1 \cdot \ldots \cdot p_k} decresce meno velocemente di quanto cresce la funzione (p_k^2 - 1) \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right) - 1, e la loro somma, data dalla (7), è positiva. Questa dimostrazione dovrebbe essere fatta in modo da potersi adattare ad altri tratteggi, compresi i doppi tratteggi.
  • Al crescere di k, il valore di m_{\textrm{min}} tende a essere vicino a p_k^2.
  • In generale, sia i valori vicini a p_k che quelli vicini a p_k^2 sono dei buoni candidati per m_{\textrm{min}} (ossia generano errori negativi particolarmente grandi in valore assoluto).

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