Rappresentazione geometrica delle coppie di Goldbach

Prerequisiti:

• Strategia dimostrativa basata sui trattini
• Caratterizzazione degli spazi

Quando si lavora con i numeri, una rappresentazione geometrica è spesso d’aiuto per tentare di mettere in evidenza andamenti o proprietà che più difficilmente emergono da un’analisi solo numerica; per questo motivo, stiamo cercando un modo per rappresentare le coppie di Goldbach su un piano cartesiano.

Combinando ad esempio l’Ipotesi H.1.T e le Proposizioni L.C.5 e L.C.6, possiamo ottenere una rappresentazione sul piano cartesiano delle coppie di Goldbach dei numeri pari 2n aventi come tratteggio di validità T_3 = (2, 3, 5), facendo in questo modo:

• Data una coppia di Goldbach (p, q) dove p e q sono spazi del tratteggio T_3, ricordando che la prima componente del tratteggio è 2 e dunque i valori dei trattini della prima riga sono tutti i numeri pari da 0 in poi, abbiamo che p - 1 e q + 1, che sono numeri pari, sono i valori di due trattini della prima riga.
• Indicando rispettivamente con x e y gli ordinali dei trattini così individuati, abbiamo che p = \mathrm{t\_valore}(x) + 1, q = \mathrm{t\_valore}(y) - 1, ossia \mathrm{t\_valore}(x) precede immediatamente lo spazio p e \mathrm{t\_valore}(y) segue immediatamente lo spazio q. Viceversa, possiamo dire che p è lo spazio che segue il trattino numero x e q è lo spazio che segue il trattino numero y, dove entrambi i trattini hanno componente n_1 (che nel nostro caso è 2, ma manterremo la variabile perché il discorso può essere esteso ad altri tratteggi).
• Applicando la Proposizione L.C.6, abbiamo che x è tale che (n_2 + n_3) \cdot n_1 x \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) \in S_T(1) con S_T(1) = \{n_2 a + n_3 b \mid a \in \{1, \ldots, n_3 - 2, n_3\}, b \in \{1, \ldots, n_2 - 2, n_2\}\};
• Il valore di p è noto, quindi possiamo ricavare quello di x, e anche n_1, n_2 e n_3 sono noti, per cui possiamo sostituire tutti i valori nelle relazioni precedenti: otteniamo così l’equazione diofantea n_2 a + n_3 b = (n_2 + n_3) \cdot n_1 x \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) nelle variabili a e b. L’equazione in generale è risolvibile perché n_2 e n_3 sono coprimi, ma in questo caso l’esistenza di una soluzione tale che a \in \{1, \ldots, n_3 - 2, n_3\} e b \in \{1, \ldots, n_2 - 2, n_2\} è conseguenza diretta della Proposizione L.C.6. Con un po’ di tentativi si possono quindi ricavare i valori di a e di b.
• La coppia (a, b) può essere vista come coppia di coordinate in un piano cartesiano;
• Applichiamo una procedura analoga per q, partendo però dal fatto che y segue q, quindi q è lo spazio che precede y. Possiamo quindi applicare la Proposizione L.C.5, da cui otteniamo un’altra coppia di coordinate (a', b');
• In totale, quindi, dalla coppia di Goldbach (p, q) otteniamo due coppie di coordinate (a, b) e (a', b'), che possiamo unire con un segmento orientato;
• Associamo alla coppia di Goldbach (p, q) il punto medio del segmento che abbiamo ottenuto;
• Applichiamo la procedura descritta a tutte le coppie di Goldbach formate da spazi, anche a termini invertiti, per il numero pari 2n che abbiamo fissato.

Partiamo ad esempio dal numero pari 2n = 26. Abbiamo scelto questo valore perché rientra nell’intervallo di validità del tratteggio T_3 = (2, 3, 5), che va da p_3 + 1 = 5 + 1 = 6 a (p_4)^2 - 1 = 7^2 - 1 = 48 inclusi. Infatti, in questo intervallo tutti gli spazi del tratteggio sono numeri primi, quindi se p e q sono due spazi la cui somma è 2n, possiamo essere certi che siano primi, tranne nel caso in cui p = 1 o q = 1, che però essendo un caso isolato può essere escluso facilmente.
La tabella che rappresenta il tratteggio, coi trattini numerati e gli spazi evidenziati, è la seguente:

Le coppie di Goldbach presenti sono (7, 19), (13, 13), (19, 7) (non abbiamo, ad esempio, la coppia (3, 23) perché non è formata da spazi; infatti 3 è il valore di un trattino).
Applichiamo la procedura alla prima coppia (7, 19), partendo dal suo primo elemento p = 7:

• Aiutandoci con la tabella, vediamo che lo spazio p segue il trattino numero x = 5 della prima riga;
• Per la Proposizione L.C.6, x è tale che (n_2 + n_3) \cdot n_1 x \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) \in S_T(1) con S_T(1) = \{n_2 a + n_3 b \mid a \in \{1, \ldots, n_3 - 2, n_3\}, b \in \{1, \ldots, n_2 - 2, n_2\}\};
• Effettuiamo le sostituzioni: abbiamo n_1 = 2, n_2 = 3, n_3 = 5, x = 5, per cui si ha che (3 + 5) \cdot 2 \cdot 5 \mathrm{\ mod\ } (2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5) \in S_T(1) con S_T(1) = \{3 a + 5 b \mid a \in \{1, \ldots, 5 - 2, 5\}, b \in \{1, \ldots, 3 - 2, 3\}\};
• Svolgendo i calcoli, otteniamo 18 \in S_T(1) con S_T(1) = \{3 a + 5 b \mid a \in \{1, 2, 3, 5\}, b \in \{1, 3\}\};
• Dobbiamo quindi trovare i valori di a e b che soddisfano l’equazione diofantea 3 a + 5 b = 18 tali che 3 a + 5 b \in S_T(1);
• Ora dovremmo risolvere l’equazione, considerando che a e b devono appartenere a \{1, 2, 3, 5\} e \{1, 3\} rispettivamente; per trovarli, facciamo alcuni tentativi:
  • Per a = 1 e b = 1 abbiamo l’elemento 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 8;
  • Per a = 1 e b = 3 abbiamo l’elemento 3 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 18; ora abbiamo ottenuto il valore che cercavamo, quindi possiamo fermarci.
• Da p = 7 otteniamo quindi il punto (1, 3).

Passiamo al secondo elemento q = 19:

• Esso precede il trattino numero y = 19 della prima riga;
• Per la Proposizione L.C.5, y è tale che (n_2 + n_3) \cdot n_1 y \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2 + n_1 n_3 + n_2 n_3) \in P_T(1) con P_T(1) = \{n_2 a' + n_3 b' \mid a' \in \{2, \ldots, n_3\}, b' \in \{2, \ldots, n_2\}\};
• Applichiamo le sostituzioni: abbiamo n_1 = 2, n_2 = 3, n_3 = 5, y = 19, per cui si ha che (3 + 5) \cdot 2 \cdot 19 \mathrm{\ mod\ } (2 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5) \in P_T(1) con S_T(1) = \{3 a' + 5 b' \mid a' \in \{2, \ldots, 5\}, b' \in \{2, \ldots, 3\}\};
• Svolgendo i calcoli, otteniamo 25 \in P_T(1) con P_T(1) = \{3 a' + 5 b' \mid a' \in \{2, 3, 4, 5\}, b' \in \{2, 3\}\};
• Come si può verificare facilmente calcolando gli elementi di P_T(1), i valori che cerchiamo sono a' = 5 e b' = 2;
• Da q = 19 otteniamo quindi il punto (5, 2).

A partire dalla coppia di Goldbach (7, 19) otteniamo così un segmento orientato che va da (1, 3) a (5, 2), il cui punto medio, come si può verificare facilmente tramite una rappresentazione grafica, è (3, \frac{5}{2}).

Applicando la stessa procedura alle altre due coppie, otteniamo:

• Per la coppia (13, 13), il segmento che va da (2, 3) a (4, 2), il cui punto medio è (3, \frac{5}{2});
• Per la coppia (19, 7), il segmento che va da (3, 3) a (3, 2), il cui punto medio è (3, \frac{5}{2}).

Rappresentiamo graficamente i segmenti che abbiamo ottenuto, in questo modo:

• Ogni segmento è rappresentato come una freccia che va dal punto corrispondente a p a quello corrispondente a q;
• In corrispondenza di ogni estremo, indichiamo qual è l’ordinale del trattino a cui si riferisce; se sono più di uno, gli ordinali sono indicati come elenco, nell’ordine in cui li si trova nel tratteggio;
• Tracciamo un grafico per ogni numero pari 2n tale che 26 \le 2n \le 48; infatti, questi numeri pari sono tutti e soli quelli che hanno come tratteggio di validità il tratteggio (2, 3, 5) che abbiamo considerato inizialmente.

Analizzando tutti questi grafici possiamo dedurre che, per tutti i numeri pari 2n che hanno un tratteggio di validità di terzo ordine:

• Quando i segmenti si intersecano, le intersezioni coincidono con i loro punti medi;
• Raggruppandoli opportunamente a due a due, i punti medi condividono una coordinata; a livello grafico, ad esempio, alcuni sono allineati orizzontalmente, altri verticalmente.
• Se più frecce che rappresentano coppie di Goldbach hanno uno stesso punto medio, la somma degli ordinali dei trattini a cui ogni freccia corrisponde è sempre la stessa in tutto il gruppo.
• Se, date due frecce, la somma degli ordinali corrispondenti è diversa, allora hanno punti medi diversi; non è detto però che, se la somma degli ordinali è uguale, i punti medi siano uguali.
• Congiungendo qualsiasi coppia di punti riferiti a spazi la cui somma è diversa dal numero pari di partenza, si ottiene un segmento il cui punto medio è sempre diverso dai punti medi delle frecce che rappresentano le coppie di Goldbach.

Relativamente al terzo e quarto punto, ad esempio, per 2n = 48 possiamo osservare che:

• Nel gruppo in alto a sinistra, formato da due frecce sovrapposte con lo stesso verso, riferite a coppie diverse, la somma degli ordinali è 36 + 11 = 5 + 42 = 47;
• Nel gruppo in alto a destra, formato da due frecce sovrapposte con versi opposti, la somma degli ordinali è 29 + 17 = 17 + 29 = 36;
• Nel gruppo in basso a destra, formato da tre frecce di cui due sovrapposte, la somma degli ordinali è 7 + 40 = 38 + 9 = 19 + 28 = 47;
• Le frecce in alto a sinistra e quelle in basso a destra hanno la stessa somma degli ordinali, ma hanno punti medi diversi.

L’ultimo punto è verificabile facilmente: ad esempio, per 2n = 26, unendo i punti (1, 3) e (3, 2), che si riferiscono a spazi la cui somma è diversa da 2n, si ottiene un segmento il cui punto medio è diverso da quelli delle frecce presenti nel grafico.

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