Prerequisito:
Come abbiamo indicato nell’articolo precedente, il nostro intento è trovare delle condizioni per cui un generico doppio tratteggio T^{(r_1, r_2, \ldots, r_k)} abbia spazi in un determinato intervallo.
Il metodo che esporremo qui si basa sulla seguente osservazione. In fondo noi sappiamo già come è fatto l’intervallo in cui vogliamo cercare spazi, ossia (1, 2n); in particolare, sappiamo che l’estremo inferiore è sempre 1, e che tale estremo è escluso. Quindi, dato un generico doppio tratteggio D, si possono presentare le seguenti possibilità:
- 1 è uno spazio. In tal caso si tratta del primo spazio, dato che 0 sicuramente non lo è. Riprendendo le notazioni iniziali, abbiamo quindi che \mathrm{t\_spazio}_D(1) = 1. Allora, se esistono spazi compresi tra 1 e 2n esclusi, tra di essi ci sarà certamente il secondo. Quindi in questo caso dobbiamo dimostrare che \mathrm{t\_spazio}_D(2) \lt 2n.
- 1 non è uno spazio. In tal caso, se esistono spazi compresi tra 1 e 2n esclusi, tra di essi ci sarà certamente il primo, quindi in questo caso dobbiamo dimostrare che \mathrm{t\_spazio}_D(1) \lt 2n. Riesaminiamo però la condizione del caso precedente: se il secondo spazio fosse minore di 2n, a maggior ragione lo sarebbe anche il primo. Quindi, per dimostrare che \mathrm{t\_spazio}_D(1) \lt 2n, possiamo dimostrare che \mathrm{t\_spazio}_D(2) \lt 2n: in questo caso non è una condizione necessaria, me è sufficiente.
Come abbiamo visto, in qualunque caso la condizione \mathrm{t\_spazio}_D(2) \lt 2n garantirebbe l’esistenza di almeno uno spazio nell’intervallo (1, 2n). Questo, se D è il doppio tratteggio dell’Ipotesi H.1 (seconda forma), garantirebbe la verità dell’Ipotesi stessa, che quindi può essere ulteriormente riformulata:
Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi (terza forma)
Sia 2n \gt 4 un numero pari e sia k il relativo ordine di validità. Sia r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i, per ogni i = 2, \ldots, k. Allora il secondo spazio del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore di 2n.
Questa riformulazione ci riporta al problema iniziale del calcolo degli spazi, questa volta però in un doppio tratteggio invece che in un tratteggio “singolo”. Ma, come abbiamo detto, il calcolo esplicito degli spazi è molto difficile già nei tratteggi singoli, figuriamoci in quelli doppi! Tuttavia, nel nostro caso non dobbiamo calcolare esattamente il secondo spazio, dobbiamo solo dimostrare che è minore di un certo numero fissato; quindi anche un valore approssimato andrebbe bene, purché si riesca a garantire che il valore reale non vi si discosti così tanto da superare 2n. Generalizzando, dato un doppio tratteggio D possiamo fare un ragionamento di questo tipo:
- Supponiamo di trovare una funzione B(x) tale che, per ogni x, \mathrm{t\_spazio}_D(x) \lt B(x)
- Allora, data una costante C, per dimostrare che \mathrm{t\_spazio}_D(x) \lt C basta dimostrare che B(x) \lt C
Il vantaggio, ragionando in tal modo, sarebbe che si può tentare di trovare una funzione B(x) che sia molto più semplice da esprimere algebricamente, rispetto alla funzione \mathrm{t\_spazio}, rendendo semplice il secondo punto. Il problema complicato sarebbe però trovare questa funzione, come richiesto dal primo punto. Abbiamo pensato di trattare questo problema per gradi di difficoltà crescenti, partendo dai tratteggi singoli per ordini crescenti, per poi estendere i risultati ai doppi tratteggi. Al momento abbiamo trovato la funzione B(x) per tratteggi lineari (singoli) fino al quarto ordine (i risultati saranno presto disponibili qui).