Strategia dimostrativa basata sugli spazi: metodo basato sul calcolo approssimato degli spazi

Prerequisiti:

Come abbiamo indicato nell’articolo precedente, il nostro intento è trovare delle condizioni per cui un generico doppio tratteggio $T^{(r_1, r_2, \ldots, r_k)}$ abbia spazi in un determinato intervallo.
Come punto di partenza, possiamo osservare che sappiamo già qual è l’intervallo in cui vogliamo cercare spazi, ossia $(1, 2n)$ ; in particolare, sappiamo che l’estremo inferiore è sempre 1, e che tale estremo è escluso. Quindi, dato un generico doppio tratteggio $D$ , si possono presentare le seguenti possibilità:

1 è uno spazio. In tal caso si tratta del primo spazio, dato che 0 sicuramente non lo è. Con le notazioni della teoria dei tratteggi, abbiamo quindi che $\mathrm{t\_spazio}_D(1) = 1$ . Allora, se esistono spazi compresi tra 1 e $2n$ esclusi, tra di essi ci sarà certamente il secondo. Quindi in questo caso è sufficiente dimostrare che $\mathrm{t\_spazio}_D(2) \lt 2n$ .
1 non è uno spazio. In tal caso, se esistono spazi compresi tra 1 e $2n$ esclusi, tra di essi ci sarà certamente il primo, quindi in questo caso dobbiamo dimostrare che $\mathrm{t\_spazio}_D(1) \lt 2n$ . Riesaminiamo però la condizione del caso precedente: se il secondo spazio fosse minore di $2n$ , a maggior ragione lo sarebbe anche il primo. Quindi, per dimostrare che $\mathrm{t\_spazio}_D(1) \lt 2n$ , è sufficiente dimostrare che $\mathrm{t\_spazio}_D(2) \lt 2n$ (anche se questa condizione non è necessaria).

Come abbiamo visto, in qualunque caso la condizione $\mathrm{t\_spazio}_D(2) \lt 2n$ garantirebbe l’esistenza di almeno uno spazio nell’intervallo $(1, 2n)$ . Questo, se $D$ è il doppio tratteggio dell’Ipotesi H.1 (seconda forma), garantirebbe la verità dell’Ipotesi stessa, che quindi può essere ulteriormente riformulata:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi (terza forma)

Sia $2n \gt 4$ un numero pari e sia $k$ il relativo ordine di validità. Sia $r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i$ , per ogni $i = 2, \ldots, k$ . Allora il secondo spazio del doppio tratteggio $T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}$ è minore di $2n$ .

Questa riformulazione ci riporta al problema iniziale del calcolo degli spazi, questa volta però in un doppio tratteggio invece che in un tratteggio “singolo”. Ma, come abbiamo detto nell’articolo Calcolo di t_spazio per tratteggi di ordine arbitrario, il calcolo esplicito degli spazi è molto difficile già nei tratteggi singoli, figuriamoci in quelli doppi! Tuttavia, nel nostro caso non serve calcolare con esattezza qual è il secondo spazio, ma è sufficiente dimostrare che esso è minore di un certo numero fissato; quindi anche un valore approssimato andrebbe bene, purché si riesca a garantire che il valore reale non vi si discosti così tanto da superare $2n$ .

Riformulando ulteriormente il problema, possiamo tentare di studiare gli spazi nel complesso, piuttosto che focalizzarci su un singolo spazio (in questo caso, il secondo). Ad esempio, dato un doppio tratteggio $D$ , possiamo fare un ragionamento di questo tipo:

Supponiamo di aver trovato una funzione $B(m)$ tale che, per ogni numero intero positivo $m$ , il numero di spazi di $D$ minori o uguali di $m$ è almeno $B(m)$ ;
Allora, se $B(2n) \geq 2$ , vuol dire che esistono almeno due spazi minori o uguali di $2n$ o, equivalentemente, minori di esso (in quanto $2n$ , essendo divisibile per 2, sicuramente non è uno spazio); ciò dimostrerebbe l’Ipotesi H.1 (terza forma).

Abbiamo trovato alcune di queste funzioni $B(m)$ per tratteggi fino al quarto ordine; per semplificare abbiamo considerato i tratteggi lineari singoli, ma per quelli doppi si può ragionare in modo simile.

Nel seguito indicheremo con $s(T, m)$ il numero di spazi minori o uguali di $m$ di un tratteggio $T$ .

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di primo ordine

Sia $T = (n_1)$ un tratteggio lineare di primo ordine e sia $m$ un numero intero positivo. Allora, per ottenere $s(T, m)$ , dobbiamo sottrarre da $m$ il numero di trattini minori o uguali di $m$ , i cui valori sono i multipli di $n_1$ minori o uguali di $m$ . La loro cardinalità, per la Proposizione T.2, è data da $\left\lfloor \frac{m}{n_1} \right\rfloor$ , per cui:

s(T, m) = m - \left\lfloor \frac{m}{n_1} \right\rfloor \tag{1}

Possiamo riscrivere l’espressione come segue:

\begin{aligned} s(T, m) &= m - \left\lfloor \frac{m}{n_1} \right\rfloor \\ &= m - \frac{m - m \mathrm{\ mod\ } n_1}{n_1} \\ &= m - \frac{m}{n_1} + \frac{m \mathrm{\ mod\ } n_1}{n_1} \\ &= m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T, m)}{n_1} \end{aligned} \tag{2}

dove abbiamo posto:

\mathrm{err\_s}(T, m) := m \mathrm{\ mod\ } n_1 \tag{3}

Vedendola in questo modo, il valore di $s(T, m)$ , ossia il numero di spazi nelle prime $m$ colonne di $T$ , è dato da una formula facilmente calcolabile, $m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right)$ , più un termine di errore. Ora, a noi interessa qual è il numero minimo di spazi nelle prime $m$ colonne (perché vogliamo verificare che ce ne siano almeno 2), quindi ci interessa il valore minimo del termine di errore al variare di $m$ . Definiamo quindi:

\mathrm{min\_err\_s}(T) := \min_{1 \leq m \leq n_1} \mathrm{err\_s}(T, m) \tag{4}

dove $m$ varia tra 1 e $n_1$ in modo da coprire interamente un periodo del tratteggio (che in questo caso ha lunghezza $n_1$ perché siamo nel primo ordine).

In questo caso il valore minimo è molto semplice da calcolare; infatti, unendo la (3) e la (4) si ottiene che:

\mathrm{min\_err\_s}(T) = \min_{1 \leq m \leq n_1} m \mathrm{\ mod\ } n_1 = 0

dato che i moduli non possono essere negativi, e per $m = n_1$ abbiamo che $m \mathrm{\ mod\ } n_1 = 0$ . Quindi, per la (2):

\begin{aligned} s(T, m) &= m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T, m)}{n_1} \\ & \geq m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) + \frac{\mathrm{min\_err\_s}(T)}{n_1} \\ &= m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) + \frac{0}{n_1} \\ &= m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \end{aligned}

da cui:

s(T, m) \geq m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right)

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di secondo ordine

Sia $T = (n_1, n_2)$ un tratteggio lineare di secondo ordine e sia $m$ un numero intero positivo. Per semplicità assumiamo che le componenti siano coprime.
Per calcolare $s(T, m)$ in questo caso, possiamo utilizzare il principio di inclusione-esclusione, che abbiamo già utilizzato per ottenere l’equazione caratteristica generale di $\mathrm{t\_spazio}$ lineare. In base a questo principio, abbiamo che:

s(T, m) = m - \left\lfloor \frac{m}{n_1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_2} \right\rfloor

Con semplici passaggi algebrici, l’espressione precedente può essere riscritta come segue:

s(T, m) = m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_2} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T, m)}{n_1 n_2}

dove:

\mathrm{err\_s}(T, m) := n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_1) + n_1 (m \mathrm{\ mod\ } n_2) - m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 \tag{5}

Anche in questo caso possiamo definire $\mathrm{min\_err\_s}(T)$ come il minimo valore assunto da $\mathrm{err\_s}(T, m)$ al variare di $m$ in un periodo del tratteggio:

\mathrm{min\_err\_s}(T) := \min_{1 \leq m \leq n_1 n_2} \mathrm{err\_s}(T, m)

da cui:

s(T, m) \geq m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_2} \right) + \frac{\mathrm{min\_err\_s}(T)}{n_1 n_2}

In questo caso il calcolo di $\mathrm{min\_err\_s}(T)$ non è immediato, perché l’espressione (5), che deve essere minimizzata, è composta da tre espressioni modulari che non sono tutte dello stesso segno. Come se non bastasse, $n_1$ e $n_2$ oltre che da moduli fungono anche da moltiplicatori, generando brusche variazioni nel valore di $\mathrm{err\_s}(T, m)$ a fronte di piccole variazioni di $m$ .

Grafico di err_s(T, m) per il tratteggio T = (4, 5) al variare di m tra 1 e 20

Partendo da uno studio approfondito dell’espressione (5), abbiamo dimostrato la seguente Proposizione:

Calcolo di $\mathrm{min\_err\_s}$ per tratteggi di secondo ordine

Sia $T = (n_1, n_2)$ un tratteggio lineare di secondo ordine con componenti coprime. Allora:

Se $n_2 \geq (n_1 - 1)^2$ , allora $\mathrm{min\_err\_s}(T) = -n_1(n_1 - 1)\left\lfloor \frac{n_2}{n_1} \right\rfloor$
Altrimenti, $\mathrm{min\_err\_s}(T) \geq -n_1(n_1 - 1)\left\lfloor \frac{n_2}{n_1} \right\rfloor - (n_1 - 1)^2$

La dimostrazione è lunga diverse pagine, e per brevità non la riporteremo qui, ma i lettori interessati a essa possono contattarci.

Negli ordini di tratteggi superiori al secondo abbiamo generalizzato il primo punto della Proposizione L.2, ossia abbiamo trovato una formula per $\mathrm{min\_err\_s}$ valida quando l’ultima componente del tratteggio è sufficientemente grande, o in generale quando le componenti sono sufficientemente grandi.

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di terzo ordine

Sia $T = (n_1, n_2, n_3)$ un tratteggio lineare di terzo ordine con componenti a due a due coprime, e sia $m$ un numero intero positivo.
Applicando il principio di inclusione-esclusione, in questo caso si ottiene la seguente formula per $s(T, m)$ :

s(T, m) = m - \left\lfloor \frac{m}{n_1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_2} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_2 n_3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_2 n_3} \right\rfloor

Con un po’ di passaggi algebrici, essa può essere riscritta come:

s(T, m) = m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_2} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_3} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T, m)}{n_1 n_2, n_3}

dove:

\begin{aligned} \mathrm{err\_s}(T, m) := & n_2 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1) + n_1 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_2) + n_1 n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_3) \\ & - n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2) - n_1 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_3) - n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_3) \\ & + m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_3 \end{aligned} \tag{6}

Definendo

\mathrm{min\_err\_s}(T) := \min_{1 \leq m \leq n_1 n_2 n_3} \mathrm{err\_s}(T, m)

abbiamo:

s(T, m) \geq m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_2} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_3} \right) + \frac{\mathrm{min\_err\_s}(T)}{n_1 n_2 n_3} \tag{7}

Abbiamo verificato empiricamente che vale la seguente formula quando $n_3$ è sufficientemente grande:

\begin{aligned} \mathrm{min\_err\_s}(T) = & -n_1(n_1 - 1)\left\lfloor \frac{n_2}{n_1} \right\rfloor(n_2 + 1)(n_2 + n_3 - 1) + \\ & + n_1 (n_1 - 1) n_2 (n_2 - 1) \left\lceil \frac{(n_2 - n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)(n_2 + n_3 + 1) - n_3}{n_1 n_2} \right\rceil \end{aligned}

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di quarto ordine

Sia $T = (n_1, n_2, n_3, n_4)$ un tratteggio lineare di quarto ordine con componenti a due a due coprime, e sia $m$ un numero intero positivo.
Applicando il principio di inclusione-esclusione, in questo caso si ottiene la seguente formula per $s(T, m)$ :

\begin{aligned} s(T, m) & = m \\ & - \left\lfloor \frac{m}{n_1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_2} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_4} \right\rfloor \\ & + \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_2 n_3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_2 n_4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{m}{n_3 n_4} \right\rfloor \\ & - \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_2 n_3} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_2 n_4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_3 n_4} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m}{n_2 n_3 n_4} \right\rfloor \\ & + \left\lfloor \frac{m}{n_1 n_2 n_3 n_4} \right\rfloor \end{aligned}

Analogamente alle formule degli ordini precedenti, si ottiene:

s(T, m) = m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_2} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_3} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_4} \right) + \frac{\mathrm{err\_s}(T, m)}{n_1 n_2, n_3, n_4}

dove:

\begin{aligned} \mathrm{err\_s}(T, m) & := \\ n_2 n_3 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1) + n_1 n_3 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_2) + n_1 n_2 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_3) + n_1 n_2 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_4) \\ - n_3 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2) - n_1 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_3) - n_2 n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_3) & \\ - n_2 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_4) - n_1 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_4) - n_1 n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_3 n_4) & \\ + n_4 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_3) + n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_4) + n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_3 n_4) + n_1 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_3 n_4) & \\ - m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_3 n_4 \end{aligned} \tag{8}

Definendo

\mathrm{min\_err\_s}(T) := \min_{1 \leq m \leq n_1 n_2 n_3 n_4} \mathrm{err\_s}(T, m)

abbiamo:

s(T, m) \geq m \left( 1 - \frac{1}{n_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_2} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_3} \right) \left( 1 - \frac{1}{n_4} \right) + \frac{\mathrm{min\_err\_s}(T)}{n_1 n_2 n_3 n_4} \tag{9}

Abbiamo verificato empiricamente che vale la seguente formula quando le componenti del tratteggio sono sufficientemente grandi:

\mathrm{min\_err\_s}(T) = n_4 P - (P - N) \left\lfloor \frac{F (n_4 + 1) - 1}{L}\right \rfloor + C

dove:

\begin{aligned}L = & n_1 n_2 n_3 \\ P = & c_1 + c_2 n_3 + c_3 (n_3 + 1) \left( \left\lfloor \frac{c_4 (n_3 + 1)}{n_1 n_2} \right \rfloor - 1 \right) \\ N = & -c_3 n_3^2 + c_2 n_3 + c_5 + c_3 (n_3 + 1) \left\lfloor \frac{c_4 (n_3 + 1)}{n_1 n_2} \right\rfloor \\ F = & c_6 + n_1 n_2 \left\lfloor \frac{c_4 (n_3 + 1)}{n_1 n_2} \right\rfloor \\ C = & c_5 (n_3 - 1) + c_3 * (n_3 - 1) \left\lfloor \frac{c_4 (n_3 + 1)}{n_1 n_2} \right\rfloor \\ c_4 = & n_2 - 1 - n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1 \\ c_6 = & n_2 (n_1 - 1) + 1 + n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1 \\ c_3 = & n_1 (n_1 - 1) n_2 (n_2 - 1) \\ c_5 = & (n_2 (n_1 - 1) + n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1) (n_2 - 1) (n_1 - 1) \\ c_2 = & n_1 (n_1 - 1) \left(((2 n_1 - 3) n_2 - (2 n_1 + 1)) \left\lfloor \frac{n_2}{n_1} \right\rfloor + 2 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1) (n_2 - 1)\right) \\c_1 = & c_5 + c_3 \end{aligned}

Semplificazione delle formule

Come risulta evidente dai paragrafi precedenti, la complessità delle formule di $\mathrm{min\_err\_s}$ cresce abbastanza rapidamente al crescere dell’ordine. Abbiamo quindi cercato di semplificarle, per poter capire qualcosa in più.

Una prima tecnica di semplificazione si basa sull’osservazione che le parti intere delle frazioni che compaiono nelle formule sono sempre moltiplicate per il loro denominatore, per cui tali espressioni sono semplificabili utilizzando la proprietà che afferma che, se $a$ e $b$ sono due numeri interi positivi, $b \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor = b \left \lfloor \frac{a - a \mathrm{\ mod\ } b}{b} \right \rfloor = a - a \mathrm{\ mod\ } b$ . Applicando questa tecnica, è possibile semplificare le formule come segue:

Secondo ordine:

\mathrm{min\_err\_s}(T) = - (n_1 - 1) (n_2 - n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)

Terzo ordine:

\begin{aligned} \mathrm{min\_err\_s}(T) = & (n_1 - 1) [n_1 (n_2)^2 - 3 n_2 n_3 - n_1 n_2 - n_2 + n_3 + 1 + 2 n_3 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1) \\ - & (n_2 - 1) (((n_2 - n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1) (n_3 + n_2 + 1) - n_3 - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2))] \end{aligned}

Quarto ordine:

\begin{aligned} \mathrm{min\_err\_s}(T) = & (n_1 - 1) [2 n_1 n_2 (n_2 - 1) n_4 - 7 n_2 n_3 n_4 - n_2 n_4 + 3 n_3 n_4 + n_4 \\ + & (n_2 - 1) (n_3 - 1) B - 2 n_4 (n_2 - 1) A + (4 n_3 n_4) (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)] \end{aligned}

dove:

\begin{aligned}A := & ((n_2 - 1 - (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)) (n_3 + 1)) \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2) \\ B := & (((n_2 - 1 - (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)) n_3 + n_1 n_2 - A) (n_4 + 1) - 1) \mathrm{\ mod\ } (n_1 n_2 n_3) \end{aligned} \tag{10}

Abbiamo anche utilizzato un’altra tecnica per semplificare ulteriormente le formule, introducendo un’approssimazione. Abbiamo osservato che, mantenendo fisse le componenti del tratteggio fino alla penultima e facendo variare l’ultima, il grafico di $\mathrm{min\_err\_s}$ che si ottiene può essere approssimato con una retta, che si trova sempre sotto di esso e che passa per l’origine. Ad esempio, per i tratteggi $(2, 5, n_3)$ (dove le prime due componenti sono fisse e la terza varia) si ottiene il seguente grafico:

Grafico di min_err_s(T) per i tratteggi T di terzo ordine del tipo (2, 5, n_3) con n_3 fino a 50, confrontato col grafico della retta che meglio approssima il grafico per difetto.

Per calcolare il coefficiente angolare della retta, abbiamo osservato che $\mathrm{min\_err\_s}(T)$ decresce sempre della stessa quantità quando all’ultima componente del tratteggio si aggiunge il prodotto delle altre. Quindi, il coefficiente angolare si può calcolare come il rapporto tra la variazione del valore della funzione e la variazione dell’ultima componente (che è il prodotto delle componenti precedenti). Ad esempio, nei tratteggi $(2, 5, n_3)$ si verifica che $\mathrm{min\_err\_s}$ decresce di 120 se si aumenta $n_3$ di $2 \cdot 5 = 10$ , per cui il coefficiente angolare della retta è dato da:

\frac{\Delta \mathrm{min\_err\_s}}{\Delta n_3} = \frac{-120}{10} = -12

Dato che abbiamo a disposizione la formula generale per $\mathrm{min\_err\_s}$ fino al quarto ordine, utilizzando questo principio si può trovare la formula generale del coefficiente angolare della retta, che ad esempio per il terzo ordine sarà dato da:

\frac{\mathrm{min\_err\_s}(n_1, n_2, n_3) - \mathrm{min\_err\_s}(n_1, n_2, n_3 + n_1 n_2)}{n_1 n_2}

Con questa tecnica si trovano le seguenti formule per il coefficiente angolare della retta:

per il secondo ordine:
$- (n_1 - 1) n_1$
per il terzo ordine:

$- (n_1 - 1)(3 n_2 - 1 - 2 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1))$
per il quarto ordine:

$(n_1 - 1) (2 n_1 n_2 (n_2 - 1) - 7 n_2 n_3 - n_2 + 3 n_3 + 1 - 2 (n_2 - 1) A + 4 n_3 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1))$

dove $A$ è dato dalla (10).

Ricordando che la retta è funzione dell’ultima componente del tratteggio e che passa per l’origine, l’equazione della retta per ciascun ordine è quindi la seguente:

per il secondo ordine:
$y(n_2) = - (n_1 - 1) n_1 n_2$
per il terzo ordine:

$y(n_3) = - (n_1 - 1)(3 n_2 - 1 - 2 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)) n_3$
per il quarto ordine:
$y(n_4) = (n_1 - 1) (2 n_1 n_2 (n_2 - 1) - 7 n_2 n_3 - n_2 + 3 n_3 + 1 - 2 (n_2 - 1) A + 4 n_3 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)) n_4$

Nelle nostre verifiche sperimentali, questa retta è stata sempre una buona stima per difetto di $\mathrm{min\_err\_s}$ , per cui abbiamo concluso che possono valere le seguenti relazioni, che sono però da dimostrare:

per il secondo ordine:
$\mathrm{min\_err\_s}(n_1, n_2) \geq - (n_1 - 1) n_1 n_2$
per il terzo ordine:
$\mathrm{min\_err\_s}(n_1, n_2, n_3) \geq - (n_1 - 1)(3 n_2 - 1 - 2 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)) n_3 \tag{11}$
per il quarto ordine:

$\begin{aligned}\mathrm{min\_err\_s}(n_1, n_2, n_3, n_4) \geq & (n_1 - 1) [2 n_1 n_2 (n_2 - 1) - 7 n_2 n_3 - n_2 + 3 n_3 \\ & + 1 - 2 (n_2 - 1) A + 4 n_3 (n_2 \mathrm{\ mod\ } n_1)] n_4 \end{aligned} \tag{12}$

Molte delle formule presentate in questo articolo, precisamente quelle che calcolano o approssimano

\mathrm{min\_err\_s}

per il terzo e il quarto ordine, sono frutto di un processo di generalizzazione, partendo dall’analisi di casi concreti effettuata mediante appositi programmi informatici da noi sviluppati. Per quanto sia stato minuzioso, questo lavoro non può sostituire una dimostrazione vera e propria; dimostrare le formule ottenute è quindi un punto aperto.

Considerazioni finali e ulteriori sviluppi

Le formule (11) e (12), che stimano per difetto (stando all’evidenza sperimentale, con buona approssimazione) $\mathrm{min\_err\_s}$ rispettivamente per il terzo e per il quarto ordine, ci permettono di intuire quale può essere il comportamento della funzione per gli ordini superiori. Sviluppando i prodotti, si può notare che i termini con il peso maggiore sono $-3 n_1 n_2 n_3$ nella formula del terzo ordine e $-7 n_1 n_2 n_3 n_4$ in quella del quarto. Ricordando che, nelle formule (7) e (9), $s(T, m)$ è stato riscritto in modo tale che $\mathrm{min\_err\_s}$ sia diviso per $n_1 n_2 n_3$ nel terzo ordine e per $n_1 n_2 n_3 n_4$ nel quarto, i due termini con maggior peso contribuiscono alla maggiorazione di $s(T, m)$ in misura rispettivamente di $\frac{-3 n_1 n_2 n_3}{n_1 n_2 n_3} = -3$ nel terzo ordine e $\frac{-7 n_1 n_2 n_3 n_4}{n_1 n_2 n_3 n_4} = -7$ nel quarto. Ora, possiamo osservare che $3 = 2^2 - 1$ e $7 = 2^3 - 1$ . In particolare, 3 e 7 rappresentano proprio il numero di termini negativi che compaiono nelle formule di $\mathrm{err\_s}(T, m)$ (6) e (8), rispettivamente per il terzo e per il quarto ordine. Considerando ad esempio la formula (6) del terzo ordine, abbiamo:

Termini positivi: $n_2 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1)$ , $n_1 n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_2)$ , $n_1 n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_3)$ , $m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2 n_3$
Termini negativi: $- n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2)$ , $- n_1 (m \mathrm{\ mod\ } n_2 n_3)$ , $- n_2 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_3)$

Cercando di calcolare $\mathrm{min\_err\_s}$ , abbiamo cercato di trovare il minimo valore che può assumere la somma di tutti questi termini, positivi e negativi, al variare di $m$ . Senza andare troppo per il sottile, è evidente che ciascun termine positivo può valere 0 (ad esempio, se $m \mathrm{\ mod\ } n_1 = 0$ il primo termime positivo è 0) e ovviamente non meno di 0, mentre ciascun termine negativo non può superare $n_1 n_2 n_3$ in valore assoluto (ad esempio, $|- n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2)| = n_3 (m \mathrm{\ mod\ } n_1 n_2) \leq n_3 (n_1 n_2 - 1) \leq n_1 n_2 n_3$ ). Quindi, il valore minimo che cerchiamo non può essere inferiore al valore che si otterrebbe nell’ipotetico caso in cui tutti e quattro termini positivi valgono 0 e tutti e tre termini negativi valgono $- n_1 n_2 n_3$ :

\mathrm{min\_err\_s}(n_1, n_2, n_3) \geq - 3 n_1 n_2 n_3

Analogamente, per il quarto ordine si ottiene che:

\mathrm{min\_err\_s}(n_1, n_2, n_3, n_4) \geq - 7 n_1 n_2 n_3 n_4

in quanto i termini negativi sono 7 e ciascuno non può essere più grande di $n_1 n_2 n_3 n_4$ in valore assoluto.

Queste due maggiorazioni sono state ottenute con un ragionamento semplicistico, considerando un ipotetico caso pessimo che potrebbe non verificarsi mai; infatti, al variare di $m$ , solitamente i termini positivi e negativi si bilanciano sempre in parte, e a prima vista non si può stabilire se effettivamente sia possibile trovare un valore di $m$ che produca un “perfetto sbilanciamento” come quello ipotizzato (o quasi). Tuttavia la nostra analisi di dettaglio, almeno fino al quarto ordine, ha dato una risposta affermativa a questa domanda: effettivamente è sempre possibile trovare un valore di $m$ che generi un caso in cui $\mathrm{min\_err\_s}$ si avvicina a $-3 n_1 n_2 n_3$ per il terzo ordine e a $-7 n_1 n_2 n_3 n_4$ per il quarto, assumendo quindi un valore vicino a quello del caso pessimo ipotizzato.

Dal punto di vista della strategia dimostrativa che stiamo seguendo questo è un grosso problema. Infatti, se il coefficiente moltiplicativo (-3 per il terzo ordine e -7 per il quarto) crescesse come il numero di termini negativi nell’espressione di $\mathrm{min\_err\_s}$ , crescerebbe esponenzialmente in valore assoluto rispetto all’ordine del tratteggio (in particolare, come $-(2^k - 1)$ per tratteggi di ordine $k$ ). Ma, come abbiamo osservato prima, il coefficiente moltiplicativo rappresenta il contributo del termine di errore sulla maggiorazione di $s(T, m)$ . Avremmo quindi un errore che cresce in modo esponenziale, facendo sì che nelle formule degli ordini superiori analoghe alla (7) e alla (9), ben presto la parte destra diventi un numero negativo, dato che sul termine di sinistra, che cresce in modo modesto, prevarrebbe pesantemente l’effetto del termine di destra che decresce in modo esponenziale. Le disequazioni attesterebbero quindi che $s(T, m)$ è maggiore o uguale a un numero negativo: un’informazione banalmente vera per definizione, quindi di nessuna utilità. Abbiamo quindi sbagliato strategia dimostrativa?

Per fare chiarezza occorre ricordare il contesto, partendo proprio dall’intervallo di validità. Se è vero che è possibile trovare un valore di $m$ che genera errori esponenziali nella maggiorazione di $s(T, m)$ , è anche vero che abbiamo cercato questo $m$ in tutto il periodo del tratteggio, dato dal prodotto delle componenti, che cresce in modo almeno esponenziale (se l’ordine è $k$ , abbiamo $k$ componenti; se tutte le componenti fossero 2 il loro prodotto sarebbe $2^k$ , che è già un esponenziale, ma il vero prodotto è ancora più grande perché le componenti sono crescenti e solo la prima può essere 2). Quindi, la ricerca del minimo in un insieme di grandezza (almeno) esponenziale genera un termine di errore esponenziale.
Ma in realtà a noi non serve cercare in tutto il periodo del tratteggio; ci interessa solo l’intervallo di validità, perché è in quella porzione del tratteggio che vogliamo cercare gli spazi. La domanda che ci dobbiamo porre è quindi la seguente: se nella ricerca di $\mathrm{min\_err\_s}$ ci limitassimo a considerare i valori di $m$ all’interno dell’intervallo di validità, l’errore continuerebbe a crescere esponenzialmente rispetto all’ordine, o si avrebbe un andamento di tipo diverso? La risposta è nel seguente articolo:

Maggiorazione del numero di spazi fino a una colonna inclusa nell’intervallo di validità

Strategia dimostrativa basata sugli spazi: metodo basato sul calcolo approssimato degli spazi

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di primo ordine

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di secondo ordine

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di terzo ordine

Maggiorazione del numero di spazi nelle prime $m$ colonne di un tratteggio di quarto ordine

Semplificazione delle formule

Considerazioni finali e ulteriori sviluppi

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