Prerequisito:
Come abbiamo indicato nell’articolo precedente, il nostro intento è trovare delle condizioni per cui un generico doppio tratteggio T^{(r_1, r_2, \ldots, r_k)} abbia spazi in un determinato intervallo.
Un modo di dimostrare l’Ipotesi H.1 (seconda forma) è il seguente.
Mentre prima ci siamo focalizzati sull’estremo inferiore dell’intervallo (1, 2n), focalizziamoci ora sulla sua ampiezza. Vedendolo come un intervallo reale, possiamo dire che la sua ampiezza è più piccola di 2n - 1; lo è di una quantità infinitesima, essendo l’intervallo aperto, ma comunque è strettamente minore di 2n - 1. Consideriamo ora gli spazi del doppio tratteggio dell’Ipotesi citata; in particolare consideriamo le coppie di spazi consecutivi: il primo col secondo, il secondo col terzo, e così via. Calcoliamo le differenze (o distanze, termine che preferiamo perché fa pensare alla rappresentazione grafica) tra tali spazi. Avremo quindi infinite distanze: il secondo spazio meno il primo, il terzo meno il secondo, e così via: è una successione infinita di numeri interi. Tale successione è limitata, perché non possono esistere due spazi consecutivi arbitrariamente distanti (ciò deriva dal fatto che i doppi tratteggi, come quelli singoli, sono periodici; quindi, se s è uno spazio, lo è anche s + L, dove L è la lunghezza del periodo, per cui lo spazio successivo ad s non può distare da esso più di L). Ma una successione limitata di numeri interi ammette un massimo, per cui è lecita la seguente Definizione:
Massima distanza tra spazi consecutivi di un tratteggio
Sia T un tratteggio. La massima distanza tra due spazi consecutivi di T sarà indicata col simbolo \mathrm{MDS}(T).
Ora, tornando all’Ipotesi H.1 (seconda forma), supponiamo che \mathrm{MDS}\left(T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}\right) sia minore di 2n - 1. Allora, se 1 è uno spazio, certamente l’intervallo (1, 2n) conterrebbe un altro spazio del tratteggio, almeno il secondo. Infatti, se il secondo spazio non fosse compreso nell’intervallo, sarebbe maggiore o uguale a 2n, per cui la sua distanza dallo spazio precedente, che è 1, sarebbe almeno 2n - 1, in contrasto con l’ipotesi che \mathrm{MDS}\left(T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}\right) \lt 2n - 1. Ciò consentirebbe di dimostrare l’Ipotesi H.1 (seconda forma) per tutti i numeri 2n tali che 1 è uno spazio del tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}, ossia è un elemento di una coppia di Goldbach per tale numero; quindi consentirebbe di dimostrarla per tutti i numeri 2n della forma 1 + p, con p primo.
E se 1 non è uno spazio? In tal caso bisogna necessariamente dimostrare che il primo spazio è minore di 2n. Questo può essere fatto in almeno due modi:
- O col metodo basato sul calcolo approssimato degli spazi, ponendo x = 1 invece che 2.
- Oppure, nel dimostrare che \mathrm{MDS}\left(T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}\right) \lt 2n - 1, si include anche un teorico “spazio numero 0”. Ciò potrebbe sembrare un artificio, ma se si considerano le espressioni note di \mathrm{t\_spazio}(x) per i tratteggi lineari di primo o di secondo ordine e si prova a valutarle per x = 0, viene fuori che, qualunque sia il tratteggio di partenza, \mathrm{t\_spazio}(0) = -1, per quanto poco intuitivo ciò possa essere. Le formule note per il calcolo della funzione \mathrm{t\_spazio} per i tratteggi lineari sono state ricavate per x \gt 0, ma in fin dei conti sono funzioni matematiche che possono essere valutate anche per altri valori di x, come 0, anche se così facendo ovviamente non calcolano più \mathrm{t\_spazio}, ma qualche funzione più generale che bisognerebbe definire. La stessa cosa potrebbe valere per i doppi tratteggi: magari, dopo aver dimostrato che \mathrm{MDS}\left(T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}\right) \lt 2n - 1 partendo dalla definizione “classica” di massima distanza, ci si potrebbe accorgere che la stessa dimostrazione varrebbe anche per una definizione “estesa” di massima distanza, in cui la successione delle distanze comincia con la distanza tra il primo spazio e un teorico “spazio numero 0” negativo (sarà -1 come per i tratteggi lineari? La questione è aperta). A questo punto, se la disuguaglianza \mathrm{MDS}\left(T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}\right) \lt 2n - 1 valesse anche per tale concetto esteso di massima distanza, essendo \mathrm{t\_spazio}(0) negativo, si avrebbe che \mathrm{t\_spazio}(1) \lt \mathrm{t\_spazio}(1) - \mathrm{t\_spazio}(0) \leq \mathrm{MDS}\left(T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}\right) \lt 2n - 1, per cui \mathrm{t\_spazio}(1) sarebbe minore di 2n, come si vuole dimostrare.
- Anche assumendo che 1 è uno spazio si arriverebbe a un risultato interessante, ossia che esiste una coppia di Goldbach per ogni numero pari della forma 1 + p, con p primo;
- Una conoscenza della massima distanza tra gli spazi consecutivi di un tratteggio sarebbe utile più in generale. Ad esempio, anche solo limitandosi ai tratteggi singoli, dato che nell’intervallo di validità gli spazi coincidono con i numeri primi (Proprietà T.1), si riuscirebbe a dimostrare l’esistenza di un numero primo in un certo intervallo. Sono stati dimostrati diversi teoremi di questo genere, secondo i quali per ogni intero positivo x esiste un numero primo p in un intervallo del tipo (x, C(x) \cdot x), dove C è una funzione che dipende da x. Invece con la presente strategia dimostrativa sarebbe possibile, in linea di principio, dimostrare che esiste un numero primo p in un intervallo del tipo (x, C(x) + x) (cioè si otterrebbe un teorema “additivo” invece che “moltiplicativo”).
Possiamo quindi riformulare l’Ipotesi H.1 (seconda forma) come segue:
Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sulla massima distanza tra spazi
Sia 2n \gt 4 un numero pari e sia k il relativo ordine di validità. Sia r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i, per ogni i = 2, \ldots, k. Allora la massima distanza tra due spazi consecutivi del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore di 2n - 1.
Da un punto di vista generale, siamo interessati a trovare una funzione M tale che, per ogni doppio tratteggio D, \mathrm{MDS}(D) \leq M. Vorremmo trovare in particolare una tale funzione che dipenda solamente dall’ordine di D, ossia dal numero di righe della tabella che lo rappresenta: esisterebbe così una massima distanza M(1) per tutti i doppi tratteggi di primo ordine, una massima distanza M(2) per tutti quelli di secondo, e così via.
A questo proposito, un difetto dell’Ipotesi H.1.MDS è che il numero 2n - 1 dipende da n; sarebbe più conveniente sostituire 2n - 1 con un’espressione che dipende da k, in modo da poter studiare più facilmente cosa succede al variare di k. Questo è possibile ricordando che k è stato definito (Definizione L.2) come il più piccolo intero tale che p_{k+1}^2 \gt 2n. Ciò significa che p_k^2 \leq 2n (altrimenti la relazione che definisce k sarebbe soddisfatta anche da k-1 e quindi verrebbe meno la caratteristica di k di essere il più piccolo intero che la soddisfa), da cui p_k^2 - 1 \leq 2n - 1. Quindi, se si dimostra che la massima distanza tra due spazi consecutivi del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore di p_k^2 - 1, automaticamente essa sarà anche minore di 2n - 1. Perciò nell’Ipotesi H.1.MDS si può sostituire 2n - 1 con p_k^2 - 1, ottenendo una nuova Ipotesi leggermente più forte, ma più indicata per studiare cosa succede al variare di k:
Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sulla massima distanza tra spazi (versione più forte)
Sia 2n \gt 4 un numero pari e sia k il relativo ordine di validità. Sia r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i, per ogni i = 2, \ldots, k. Allora la massima distanza tra due spazi consecutivi del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore di p_k^2 - 1.
Ricordiamo che le ultime due Ipotesi non implicano sempre l’Ipotesi H.1 (seconda forma), ma lo fanno solo nel caso in cui 1 non è uno spazio (in altri termini, quando tutti gli r_i sono diversi da 1). Tuttavia, come abbiamo visto, questa limitazione ha un’importanza relativa.
Ci sono essenzialmente due approcci per studiare la massima distanza tra due spazi consecutivi di un tratteggio: il calcolo esatto e il calcolo approssimato.
Per quanto riguarda il calcolo esatto, abbiamo sviluppato un programma che fornisce il risultato per qualunque tratteggio o doppio tratteggio lineare (a patto di avere abbastanza tempo a disposizione: il tempo di esecuzione è proporzionale alla lunghezza del periodo del tratteggio).
Calcolatore della massima distanza tra spazi
Per quanto riguarda il calcolo approssimato, lo trattiamo in una pagina dedicata:
Maggiorazione della massima distanza tra spazi consecutivi