Prerequisiti:
In questo articolo vedremo alcune formule per il calcolo del valore dell’x-esimo trattino in un tratteggio di secondo ordine (ne vedremo anche altre nei prossimi articoli). L’approccio che seguiremo si basa su alcune nozioni che sono state oggetto di articoli precedenti:
- Grazie al Teorema T.2 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di secondo ordine) possiamo conoscere, partendo da un ordinale x, l’indice i della riga a cui appartiene l’x-esimo trattino;
- Con la tecnica del downcast possiamo trovare un numero y tale che l’x-esimo trattino del tratteggio dato è l’y-esimo della sua riga con indice i. Per calcolare questo numero y, bisogna risolvere un’equazione detta equazione caratteristica del downcast. In particolare, trattandosi di un downcast da un tratteggio di secondo ordine ad una sua riga, quindi ad un sottotratteggio di primo ordine, questa equazione è data dal Corollario 1 della Proposizione T.4 (Equazioni caratteristiche del downcast di \mathrm{t} dal secondo ordine al primo, per tratteggi lineari);
- Una volta calcolato questo numero y, il risultato finale si può ottenere applicare la formula per il calcolo del valore di un trattino in un tratteggio lineare di primo ordine (Proposizione T.1)
L’intero procedimento può essere schematizzato come segue:

L’unico elemento che ancora non ci è noto, tra quelli elencati sopra, è la soluzione dell’equazione caratteristica del downcast. Per comodità, ne riportiamo la formulazione che compare nel Corollario 1 della Proposizione T.4, nella notazione compatta:
La soluzione di questa equazione, nell’incognita y, è data da:
Esistono due diverse dimostrazioni del fatto che la (2) sia soluzione della (1). La prima (Teoria dei tratteggi, pagg.152-153) è più diretta. Essa, applicando le proprietà della parte intera, mostra che la (1) implica la (2). La seconda (op. cit., pagg. 153-154) si basa invece sul seguente Lemma:
Lemma per la dimostrazione della soluzione dell’equazione caratteristica del downcast lineare, dal secondo ordine al primo
Sia T un tratteggio lineare di secondo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2\} = \{i, j\}. Sia t l’x-esimo trattino di T, e sia y il suo ordinale in T[i]. Allora
Per questo Lemma, il termine con la parte intera della (1) si può riscrivere mettendo x al posto di y ed n_i + n_j al posto di n_j. Così la (1) diventa:
Scritta in questa nuova forma, l’equazione caratteristica del downcast è molto più semplice da risolvere, perché, a differenza di prima, la y compare una sola volta: per trovare la soluzione basta quindi portare i termini con x tutti da una parte e riunirli in una sola espressione con la parte intera: così, in pochissimi passaggi, si ottiene la (2) (per dettagli si veda op. cit., pag. 154).
Come abbiamo già osservato a proposito della funzione \mathrm{t\_spazio} di primo ordine, nella teoria dei tratteggi capita spesso di trovarsi a risolvere equazioni con la parte intera, come la (1), la cui soluzione approssimata può essere trovata semplicemente rimovendo le parti intere. Per esempio, nel caso della (1) abbiamo:
In effetti il risultato coincide con la soluzione corretta (2), a meno della parte intera. Si tratta tuttavia di un caso fortunato: in generale non è noto a priori quanto la soluzione trovata con questo metodo si avvicini a quella corretta.
Allora, utilizzando i termini della teoria del downcast, possiamo enunciare il seguente Teorema:
Soluzione dell’equazione caratteristica del downcast di \mathrm{t} lineare, dal secondo ordine al primo
Sia T un tratteggio lineare di secondo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2\} = \{i, j\}. Allora la seguente funzione d_i: \mathbb{N}^{\star} \rightarrow \mathbb{N}^{\star} tale che:
è una funzione di downcast di \mathrm{t} da T a T[i].
In particolare, per i = 1:
Mentre per i = 2:
Verifichiamo il Teorema precedente con riferimento al primo esempio dell’articolo Il problema del downcast. Questo esempio riguardava il downcast di \mathrm{t} da (3,4) a (3), che per comodità riportiamo:

In questo caso (n_1, n_2) = (3, 4) ed i = 1, perché il sottotratteggio che stiamo considerando è (3) = (n_1). Sostituendo questi valori nella (4), la formula diventa:
Applichiamo la formula per tutti gli ordinali della prima riga visibili nella figura: 1, 3, 5, 6, 8, 10. Così si ottiene:
- d_1(1) = \left \lceil \frac{4 \cdot 1 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{5}{7} \right \rceil = 1
- d_1(3) = \left \lceil \frac{4 \cdot 3 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{13}{7} \right \rceil = 2
- d_1(5) = \left \lceil \frac{4 \cdot 5 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{21}{7} \right \rceil = 3
- d_1(6) = \left \lceil \frac{4 \cdot 6 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{25}{7} \right \rceil = 4
- d_1(8) = \left \lceil \frac{4 \cdot 8 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{33}{7} \right \rceil = 5
- d_1(10) = \left \lceil \frac{4 \cdot 10 + 1}{7} \right \rceil = \left \lceil \frac{41}{7} \right \rceil = 6
Come ci aspettavamo, il comportamento della funzione d_1 è esattamente come quello della freccia visibile in Figura 2.
Invece per i = 2, cioè per il downcast da (3, 4) a (4), la formula (5) diventa:
Applicando questa formula per gli ordinali della seconda riga, che sono 2, 4, 7 e 9, si ottiene anche questa volta una successione di numeri naturali consecutivi (1, 2, 3 e 4), che sono i corrispondenti ordinali nel sottotratteggio (4). Ad esempio
infatti il quarto trattino del tratteggio (3,4) (quello di valore 8) è il secondo del sottotratteggio (3,4)[2] = (4).
Ora abbiamo tutti gli strumenti per il calcolo del valore dell’x-esimo trattino di un tratteggio lineare di secondo ordine T, posto che questo appartenga alla riga i. Infatti possiamo enunciare il seguente Teorema:
Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine
Sia T un tratteggio lineare di secondo ordine, con insieme degli indici I = \{1, 2\} = \{i, j\}. Sia i la riga dell’x-esimo trattino di T, calcolabile applicando il Teorema T.2 (Calcolo della riga dell’x-esimo trattino in un tratteggio lineare di secondo ordine). Allora
dove d_i(x) = \left \lceil \frac{n_j x + (j > i)}{n_i + n_j} \right \rceil è la funzione definita nel Teorema T.7.
Oppure, in una forma in cui è più evidente la tecnica del downcast:
La dimostrazione è formata da una catena di uguaglianze:
Analizziamo ogni passaggio nel dettaglio:
- \mathrm{t\_valore}_T(x) = T(\mathrm{t}_T(x)): è la definizione di \mathrm{t\_valore} (Definizione T.8)
- T(\mathrm{t}_T(x)) = T(\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))): è l’applicazione della definizione di funzione di downcast di \mathrm{t} da T a T[i] (Definizione T.10), per la quale \mathrm{t}_T(x) = \mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))
- T(\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))) = T[i](\mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))): è una conseguenza della definizione di sottotratteggio: la funzione tratteggio del sottotratteggio T[i] è una restrizione della funzione tratteggio di T sui trattini della riga i, quindi le due funzioni coincidono su tutti i trattini della riga i, ed in particolare coincidono sul suo d_i(x)-esimo trattino \mathrm{t}_{T[i]}(d_i(x))).
- T[i](\mathrm{t}_T[i](d_i(x))) = \mathrm{t\_valore}_{T[i]}(d_i(x)): è di nuovo la definizione di \mathrm{t\_valore}
- \mathrm{t\_valore}_{T[i]}(d_i(x)) = n_i d_i(x): è il calcolo del \mathrm{t\_valore} lineare di primo ordine, la cui espressione è data dalla Proposizione T.1
Nell’esempio precedente abbiamo già calcolato la quantità d(x), per cui risulta immediato calcolare la funzione \mathrm{t\_valore} mediante la formula (6). Tuttavia è interessante, a questo punto, fare il calcolo di \mathrm{t\_valore} partendo solo dall’ordinale, per esempio partendo da x = 6. Per calcolarlo possiamo applicare la formula (8) del Teorema T.2, secondo cui
Per x = 6 il modulo a destra vale 17 \mathrm{\ mod\ } 7 = 3 che è minore di 4, dunque effettivamente \mathrm{t}_{(3,4)}(x) \in (3,4)[1] = (3). Allora il valore di i da utilizzare nel Teorema T.8 è proprio 1. Quindi, per le formule (6) e (4):
Abbiamo ottenuto così il valore del sesto trattino, visibile in Figura 2.
Formula per il calcolo della funzione \mathrm{t\_valore} lineare di secondo ordine per la prima riga
La formula per \mathrm{t\_valore_T}(x) per i trattini appartenenti alla prima riga di un tratteggio T = (n_1, n_2) del secondo ordine, ottenuta dalla (6) del Teorema T.8 sostituendo i = 1, j = 2 e d_i(x) con la sua espressione, è la seguente: