Alcuni risultati importanti

L’affermazione formulata da Christian Goldbach è una “congettura”, quindi, in linea di principio, si tratta di un’ipotesi. Ciò vuol dire che potrebbe essere:

  • Vera, ossia tutti i numeri pari maggiori di 2 sono esprimibili come somma di due numeri primi;
  • Falsa, ossia esiste almeno un numero pari maggiore di 2 che non si può scrivere come somma di due numeri primi.

Entrambe le ipotesi sono aperte, e studiosi da tutto il mondo stanno seguendo diverse strade per riuscire a trovare una soluzione per quello che è diventato a tutti gli effetti un enigma. Esistono, ad esempio, numerosi tentativi di dimostrazione che non sono andati a buon fine a causa di problemi nel ragionamento.
Come se non bastasse, la congettura di Goldbach implica un problema di tipo numerico: se è vero che un numero pari è somma di due numeri primi, quali sono questi due numeri? Determinarli è abbastanza facile se il numero pari di partenza è piccolo, ma più esso cresce e più trovare i due numeri primi in questione diventa a sua volta una “sfida nella sfida”. Trovare la soluzione di questo problema numerico ha a sua volta dei risvolti teorici: se si trovasse una qualche formula per calcolarli, e se funzionasse per qualsiasi numero pari, si sarebbe automaticamente giunti alla dimostrazione.
La caccia, quindi, è più aperta che mai.

Tentativi di scomposizione dei numeri pari

Per provare a dimostrare che un numero pari si può scrivere come una somma di due numeri primi, una delle possibilità è trovare prima di tutto un modo di scriverlo come una somma, e poi ridurre le caratteristiche dei relativi addendi, fino a dimostrare che ne bastano due e che sono entrambi primi: in questo modo, quindi, ci si avvicina alla soluzione per gradi, “restringendo il cerchio” di volta in volta. I risultati in tal senso sono molti, e ognuno di essi propone una soluzione parziale alla congettura originaria, affermando che un numero pari maggiore di due è sicuramente somma di due numeri primi e di altri numeri:

  • Viggo Brun, norvegese, nel suo libro Le crible d’Eratosthène et le théorème de Goldbach del 1919, ha dimostrato che ogni numero pari maggiore di due si può scrivere come somma di due numeri, ognuno dei quali è il prodotto di massimo 9 numeri primi.
  • Il matematico sovietico Yuri Vladimirovič Linnik ha dimostrato, nel 1951, che esistono due costanti h e k tale che tutti i numeri pari maggiori di h sono esprimibili come somma di due numeri primi dispari e di k potenze di 2. Un lavoro successivo, di Roger Heath-Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta, ha dimostrato che k è pari a 13.
  • Il matematico francese Olivier Ramaré ha dimostrato, nel 1995, che ogni numero pari n \ge 4 può essere scritto come somma di massimo 6 numeri primi;
  • Il matematico australiano Terence Tao ha dimostrato, nel 2012, che ogni numero dispari può essere scritto come somma di massimo 5 numeri primi;
  • Il risultato precedente è stato migliorato dal matematico peruviano Harald Andrés Helfgott, che ha dimostrato, nel 2013, la congettura “debole” di Goldbach, che afferma che qualsiasi numero dispari maggiore di 5 è esprimibile come somma di tre numeri primi. Una sua conseguenza diretta è il fatto che ogni numero pari maggiore di 6 può essere scritto come somma di 4 numeri primi.

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I teoremi di Chen e Yamada

Francobollo commemorativo dedicato a Chen Jingrun

Il risultato più vicino alla dimostrazione della congettura di Goldbach è stato raggiunto da un matematico cinese, Chen Jingrun. Nato nel 1933 nel Fujian, provincia della Cina sud-orientale, visse la sua gioventù mentre l’impero cinese diventava la Repubblica Popolare che conosciamo oggi. Da sempre appassionato di scienza, quando il suo professore di matematica delle superiori parlò ai suoi studenti della congettura di Goldbach, il nostro Chen decise di tentare di dimostrarla. Dedicò diversi anni a studiarla, fino a quando, nel 1966, usando la Teoria dei crivelli come base per il ragionamento, scrisse un articolo, On the representation of a large even integer as the sum of a prime and a product of at most two primes, in cui descrisse il più importante risultato a cui era arrivato, che il resto del mondo avrebbe in seguito conosciuto come teorema di Chen:

Ogni numero pari sufficientemente grande è somma o di due numeri primi, o di un primo e un semiprimo (ossia un prodotto di due numeri primi).

In termini aritmetici, il teorema si può formulare in questo modo:

Esiste un numero pari k > 0 tale che, per ogni numero pari n > k, si ha n = a + bc, dove a e b sono numeri primi, e c è 1 oppure un numero primo.

Il teorema originario afferma che k esiste, ma non indica quale sia il suo valore. Un risultato importante in tal senso si deve a un matematico giapponese, Tomohiro Yamada, dell’università di Osaka, che ha dimostrato che k = e ^ {e ^ {36}}, dove e è il noto numero di Nepero. Una curiosità: e è anche detto numero di Eulero… lo stesso Eulero con cui Christian Goldbach discusse della sua congettura per la prima volta.

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Studio dell’insieme dei controesempi

Per riuscire a capire se la congettura di Goldbach è vera, solitamente vengono seguite due strade: o si tenta di dimostrarla, oppure di confutarla. Una tattica alternativa, rispetto allo scegliere una strada delle due oppure l’altra, consiste nell’adottare un approccio più diretto: cercare di quantificare, sul totale, i “controesempi”, ossia i numeri pari che non si possono scrivere come somma di due numeri primi. In questo modo, a seconda del risultato, si riuscirà direttamente ad arrivare alla conclusione: se non ce ne sono è vera, se invece ce n’è almeno uno è falsa.
I tentativi in questo senso sono di tipi diversi, e arrivano tutti alla conclusione che, se esistono, i controesempi sono pochi:

  • Tre matematici, il sovietico Nikolai Chudakov, l’olandese Johannes van der Corput e il tedesco Theodor Estermann, tra il 1937 e il 1938, hanno dimostrato che la frazione dei numeri che soddisfano la congettura tende a 1, ossia che quasi tutti i numeri pari possono essere scritti come somma di due numeri primi: il risultato, quindi, implica che i numeri pari che non rispettano la congettura, se esistono, sono molto pochi. Le tre dimostrazioni, che sono state raggiunte indipendentemente da ognuno dei tre studiosi, sono basate sugli studi di un altro matematico sovietico, Ivan Matveevič Vinogradov.
  • Il risultato precedente è stato successivamente raffinato nel 1975, ad opera dello statunitense Hugh Montgomery e del britannico Robert Charles “Bob” Vaughan, che hanno determinato che, dato N, la quantità di numeri pari minori di N che non soddisfano la congettura è minore di CN ^ {1-c}, in cui c e C sono due costanti maggiori di zero.
  • Il cinese Wen Chao Lu ha dimostrato che, dato un numero x, il numero di controesempi minori di x è molto minore di x ^ {0,879}, migliorando un risultato simile ottenuto a sua volta dal già citato Chen Jingrun.

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Il progetto di Tomás Oliveira e Silva

Così come per via teorica, la congettura di Goldbach può anche essere trattata tramite metodi numerici, ossia tentando di trovare i due numeri primi di cui ogni numero pari è la somma. In questo modo, si può studiare come si comportano questi numeri, se rispettano una qualche regola e così via.

Il professor Tomás Oliveira e Silva, dell’Università di Aveiro in Portogallo, ha seguito proprio questa strada: ha avviato un progetto, conclusosi nel 2013, per realizzare un metodo automatico che fosse in grado di scrivere come somma di due numeri primi tutti i numeri pari fino a 4 x 10 18. Il problema principale è stato quello delle risorse: man mano che il numero da scomporre cresceva, i calcoli necessari richiedevano sempre più tempo e potenza di calcolo da parte dei computer. Per riuscire a completare l’opera in tempi ragionevoli, soprattutto nella parte finale in cui i numeri coinvolti erano molto grandi, è stato fondamentale il contribuito di un italiano, Silvio Pardi, della sede di Napoli dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare.
In questo modo, è stato possibile affermare con certezza che la congettura di Goldbach è vera per tutti i numeri pari fino a 4.000.000.000.000.000.000, quattro miliardi di miliardi. Si tratta di un numero molto grande, non sufficiente di per sé per dimostrare che la congettura è sempre vera, ma che comunque rappresenta una prova certa del fatto che, se esistesse un numero pari che non soddisfa la congettura, si tratterebbe sicuramente di un numero ancora più grande.

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