Le origini delle due congetture di Goldbach

L’antefatto

Europa, XVIII secolo. Mentre le potenze occidentali erano tutto un fiorire di industrie, scambi culturali e scoperte scientifiche, l’impero russo era sempre un passo indietro, con un’industria che era poco più che artigianato, un’economia feudale, e un’istruzione pubblica che non era neanche degna di questo nome.
Ma il nuovo zar Pietro il Grande, dopo aver girato l’Europa in cerca di alleati contro i Turchi che minacciavano i confini meridionali, ebbe modo di vedere con i suoi occhi questo abissale divario, e decise che era venuto il momento della svolta. Avviò fin da subito una grande campagna riformatrice, che rivoltò il suo impero come un calzino: riorganizzò l’amministrazione statale per renderla più efficiente, finanziò la creazione di nuove industrie, istituì un nuovo sistema scolastico, e non solo. Fondò anche nuovi nodi commerciali, come San Pietroburgo, sorta sulla foce del fiume Neva su un territorio strappato agli svedesi dopo anni di guerra: da una piccola fortezza militare, in una zona paludosa su cui nessuno avrebbe scommesso un soldo bucato, bonificata e consolidata dal duro lavoro di operai, capimastri e architetti, sorse una grandiosa e moderna città, eletta a nuova capitale dell’impero.
Fin dall’inizio fu chiaro che il prezzo da pagare sarebbe stato più alto di quanto si potesse immaginare, ma il progresso era un obiettivo da raggiungere a tutti i costi, perché l’alternativa sarebbe stata vedere l’impero dissolversi e perdersi nell’oblio.
C’era inoltre un altro grave problema da affrontare, che poi era il vero nocciolo della questione: nel resto d’Europa la ricerca scientifica e tecnologica galoppavano come non mai, mentre nell’impero russo erano ferme da decenni. Per questo, nel 1724, lo zar diede ordine al suo medico personale, Lorenz Blumentrost, di fondare un’istituzione speciale, per farne un trampolino di lancio verso il futuro. Fu battezzata Accademia delle Scienze di San Pietroburgo, dal nome della città in cui sorse.

Facciata esterna e vista interna della Kunstkamera, prima sede dell'Accademia delle Scienze di San Pietroburgo; incisione di Grigory Anikiyevich Kachalov, 1740
Facciata esterna e vista interna della Kunstkamera, prima sede dell’Accademia delle Scienze di San Pietroburgo; incisione di Grigory Anikiyevich Kachalov, 1740

Ma l’Accademia non era nata per essere un’università come tutte le altre: il suo scopo non era solo l’istruzione, ma anche e soprattutto la ricerca, perché bisognava progredire, e farlo in fretta.
Molte menti brillanti ebbero l’onore di partecipare alla vita dell’Accademia, entrando a farne parte come professori e ricercatori; tra di loro c’era uno dei due protagonisti della nostra storia, un matematico prussiano di nome Christian Goldbach, che si era già fatto notare nella comunità scientifica per Specimen methodi ad summas serierum, un importante trattato sulle serie numeriche. Inviò una richiesta di ammissione all’Accademia nel 1725, che non fu accolta subito, ma gli fruttò la cattedra di matematica, oltre che un ruolo come storico; ebbe anche l’onore di partecipare alla cerimonia di apertura con il titolo di Glavnyy uchenyy sekretar’ Prezidiuma (segretario scientifico generale del Presidium), che mantenne anche in seguito.

Una lunga collaborazione

L’anno successivo, un grave lutto colpì improvvisamente l’Accademia: Nicolaus II Bernoulli, professore di matematica e fisica, fu stroncato da un violento attacco di febbre. Questo drammatico evento causò una reazione a catena: il suo posto fu preso dal fratello Daniel, che però dovette lasciare la propria cattedra di matematica e meccanica applicata alla fisiologia, che quindi, a sua volta, perse il suo insegnante. Questo era un problema, ma Daniel aveva già in mente il nome perfetto per il suo successore: un amico di famiglia, di cui suo padre Johann, anch’egli matematico, aveva già scoperto il grande talento per i numeri fin da bambino. Il suo nome era Leonhard Euler, uno dei più importanti matematici mai esistiti, che avrà un ruolo fondamentale nella nascita della Congettura, come vedremo tra poco.
Euler accettò la proposta, ma inizialmente tentò di temporeggiare, perché intanto stava tentando di ottenere a sua volta una cattedra di fisica nell’università di Basilea, la sua città natale; nel maggio 1727, quando gli fu chiaro che l’operazione stava fallendo, Euler partì per San Pietroburgo. Arrivato in città, prese parte ai funerali di Caterina I, seconda moglie di Pietro il Grande e reggente dell’impero, per poi recarsi a un ricevimento, indetto da Blumentrost, divenuto primo presidente dell’Accademia: fu qui che Euler e Goldbach si incontrarono per la prima volta.
In seguito, non mancarono occasioni per incontrarsi ancora e anche lavorare insieme, durante conferenze, dimostrazioni di esperimenti, e più in generale in vari eventi della vita dell’Accademia. Era più che altro un rapporto di lavoro tra colleghi, ma presto scoprirono di avere qualcosa in comune: l’interesse per la teoria dei numeri.
L’anno successivo, Goldbach ricevette una proposta a cui nessuno avrebbe detto di no: venne designato tutore del giovane Pietro II, succeduto a Caterina come nuovo zar, essendo l’unico erede maschio di Pietro il Grande, che era suo nonno. Per poter assolvere a un compito così importante, Goldbach si trasferì a Mosca, che era tornata a essere la capitale dell’impero; quindi, per continuare ad avere contatti con l’Accademia, dovette usare la posta, che era il più rapido mezzo di comunicazione esistente all’epoca. Scrisse lettere a diversi professori, ma con Euler la corrispondenza si fece più frequente, da quando quest’ultimo, dopo aver letto il suo articolo De terminis generalibus serierum sulle serie numeriche, gli scrisse una lettera per condividere con lui alcuni nuovi risultati che ottenne sull’argomento; da allora le lettere, scritte in tedesco e latino, iniziarono sempre più a focalizzarsi su approssimazione, fattorizzazione e numeri primi. Molte di queste lettere sono giunte fino a noi, ma non tutte, perché alcune sono andate perdute.
Per un certo periodo non servì più scriversi, dato che, quando nel 1732 Pietro II morì prematuramente, la nuova imperatrice Anna Ivanovna Romanova spostò di nuovo la capitale a San Pietroburgo, per cui Goldbach tornò a risiedervi e frequentare l’Accademia di persona, e quindi vedersi con Euler; in questo periodo collaborarono spesso in diverse attività dell’istituzione, la più importante delle quali fu prendere parte a una commissione, istituita dal nuovo presidente Karl Hermann von Brevern, per attuare una riforma delle finanze.
Questa convivenza andò avanti fino al 1741, quando Euler accettò l’invito di Federico II re di Prussia, che gli offrì un posto all’Accademia delle scienze di Berlino, per cui, da quel momento, il flusso di lettere riprese.

Genesi di due misteri

Man mano che il tempo passava, il rapporto tra Goldbach ed Euler andò consolidandosi, al punto che, quando nel 1734 Euler ebbe il primo figlio, volle che Goldbach gli facesse da padrino insieme all’allora presidente dell’Accademia, Johann Albrecht von Korff. Quando poi nel 1738 Euler, a seguito di una grave malattia che gli costò quasi la vita, perse la vista all’occhio destro, Goldbach si occupò di parlarne con il presidente, in modo da dispensarlo da uno dei suoi compiti, l’esame delle mappe geografiche, nell’ambito di un progetto che si poneva come scopo la creazione di una mappa generale dell’impero. Erano entrambi sempre molto indaffarati, Goldbach per il suo compito di segretario dell’Accademia, Euler perché era sempre impegnato a risolvere problemi matematici rimasti irrisolti da decenni, ma trovavano sempre il tempo per portare avanti le loro ricerche congiunte. Si trattava sia di approfondimenti di lavori di altri colleghi, sia di nuovi possibili teoremi; nella lettera del 7 giugno 1742, ad esempio, Goldbach scrisse:

Mi piacerebbe azzardare un’altra congettura di questo tipo: che ogni numero che si possa scrivere come somma di due numeri primi, si può anche scrivere come somma di quanti numeri primi (inclusa l’unità) si desideri, fino ad arrivare a una somma che consista solo di unità (*). Ad esempio:
4 = \begin{cases} 1 + 3 \\ 1 + 1 + 2 \\ 1 + 1 + 1 + 1 \end{cases} 5 = \begin{cases} 2 + 3 \\ 1 + 1 + 3 \\ 1 + 1 + 1 + 2 \\ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \end{cases} 6 = \begin{cases} 1 + 5 \\ 1 + 2 + 3 \\ 1 + 1 + 1 + 3 \\ 1 + 1 + 1 + 1 + 2 \\ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \end{cases}

ecc.
(*) Dopo aver riletto ciò, vedo che la congettura può essere dimostrata in modo abbastanza rigoroso per il caso n + 1 se è vera per il caso n, e se n + 1 può essere scritto come somma di due numeri primi. La dimostrazione è molto semplice.

Auf solche Weise will ich auch eine conjecture hazardiren: dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), biss auf die congeriem omnium unitatum (*); zum Exempel:
4 = \begin{cases} 1 + 3 \\ 1 + 1 + 2 \\ 1 + 1 + 1 + 1 \end{cases} 5 = \begin{cases} 2 + 3 \\ 1 + 1 + 3 \\ 1 + 1 + 1 + 2 \\ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \end{cases} 6 = \begin{cases} 1 + 5 \\ 1 + 2 + 3 \\ 1 + 1 + 1 + 3 \\ 1 + 1 + 1 + 1 + 2 \\ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \end{cases}
etc.
(*) Nachdem ich dieses wieder durchgelesen, finde ich, dass sich die conjecture in summo rigore demonstriren lässet in casu n + 1, si successerit in casu n, et n + 1 dividi possit in duos numeros primos. Die demonstration ist sehr leicht.

Questa proprietà additiva dei numeri interi ha una dimostrazione abbastanza semplice, come afferma lo stesso Goldbach, ma c’è una particolarità. Quando parla di numeri primi (inclusa l’unità), intende dire che 1 fa parte non solo dell’insieme dei numeri usati nella scomposizione, ma anche in quello dei numeri primi, perché all’epoca 1 era considerato tale, mentre oggi non è più così.
Dopo questa proprietà, Goldbach aggiunse un’altra frase:

E almeno sembra sia vero che ogni numero maggiore di 2 sia la somma di tre numeri primi.

Es scheinet wenigstens, dass eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.

Questa è la prima formulazione di quella che è passata alla storia come “congettura debole di Goldbach”, e oggi sappiamo che non è solo una congettura, ma un teorema vero e proprio, essendo stato dimostrato.
Ma l’indagine non si fermò qui, perché Euler, il 30 dello stesso mese, inviò una risposta, in cui propose alcune osservazioni:

Il fatto che ogni numero che si possa scrivere come somma di due numeri primi si possa anche scrivere come somma di quanti numeri primi si desideri, può essere illustrato e confermato a partire da un’osservazione che lei, signore, mi comunicò un po’ di tempo fa, quando affermò che ogni numero pari può essere scritto come somma di due numeri primi. Perché, se il numero proposto n è pari, allora è la somma di due numeri primi, e poiché n - 2 è un’altra somma di due numeri primi, n è anche la somma di tre, o quattro e così via. Dall’altra parte, se n è un numero dispari, è sicuramente una somma di tre numeri primi, poiché n - 1 è la somma di due numeri primi, e quindi può anche essere scritto come somma di quanti se ne desideri. Infatti, considero l’affermazione che ogni numero pari è la somma di due numeri primi un teorema assolutamente certo, nonostante non riesca a dimostrarlo.

Dass eine jegliche Zahl, welche in zwey numeros primos resolubilis ist, zugleich in quot, quis voluerit, numeros primos zertheilt werden könne, kann aus einer Observation, so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine summa duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden. Denn, ist der numerus propositus n par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da n − 2 auch eine summa duorum numerorum primorum ist, so ist n auch eine summa trium, und auch quatuor, und so fort. Ist aber n ein numerus impar, so ist derselbe gewiss eine summa trium numerorum primorum, weil n − 1 eine summa duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden. Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses Theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.

Qui Euler cita quella che oggi conosciamo come “congettura forte”, ma ci sono alcuni aspetti importanti:

  • Euler cita un’osservazione che lei, signore [riferito a Goldbach], mi comunicò un po’ di tempo fa, quando affermò che ogni numero pari può essere scritto come somma di due numeri primi, ma non abbiamo nessuna trascrizione di questa comunicazione; per cui, o ne hanno discusso di persona, o è in una delle lettere andate perdute. Questa lettera, quindi, è attualmente l’unica prova documentata del fatto che la congettura forte sia stata formulata da Goldbach.
  • La congettura debole è stata formulata da Goldbach (nella lettera precedente), ma la sua formulazione attuale, se n è un numero dispari, è sicuramente una somma di tre numeri primi, è quindi un raffinamento di Euler.

Riferimenti

Leonhardi Euleri Opera Omnia – Leonhardi Euleri commercium epistolicum cum Christiano Goldbach

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