Teoria dei numeri

La Congettura di Goldbach si colloca nell’ambito della Teoria dei numeri, la branca della matematica che studia i numeri interi. Per comprendere le dimostrazioni dei risultati simili alla Congettura, e molto probabilmente anche per dimostrare la Congettura stessa, sono richieste solide conoscenze di teoria dei numeri. Queste conoscenze, però, raramente entrano a par parte del curriculum di studi di un matematico. Di fatto la teoria dei numeri è considerata un ambito molto specialistico su cui improntare, per esempio, degli esami universitari a scelta oppure, per i più appassionati, un dottorato di ricerca. Ma non è necessario arrivare a tanto per intraprendere uno studio serio della teoria dei numeri. Infatti, molte nozioni richiedono solamente una buona conoscenza della matematica scolastica e dell’analisi reale in una variabile, pertanto sono perfettamente alla portata di uno studente del primo anno di un corso di laurea scientifico.

Siamo partiti da queste considerazioni per ideare questa sezione del sito, con lo scopo di avvicinare alla teoria dei numeri il maggior numero possibile di persone. Abbiamo suddiviso il materiale in diversi percorsi tematici, ciascuno con un proprio obiettivo, che nella maggior parte dei casi consiste nella dimostrazione di un teorema specifico. Ogni percorso è composto da diversi articoli, presentati nell’ordine di lettura consigliato, in modo tale che ciascun articolo si trovi prima di altri eventuali articoli che vi fanno riferimento.

La fonte da cui siamo partiti è il testo “An introduction to the theory of numbers” di G. H. Hardy ed E. M. Write, uno dei classici della materia. Il materiale che presentiamo nei nostri articoli è una forte rielaborazione di alcune parti di questo testo: abbiamo introdotto degli esempi, alcuni lemmi e definizioni, abbiamo evidenziato le idee e le tecniche chiave, ed esplicitato molti dettagli che nel testo originale sono sottintesi.

Come riferimento interno a questa sezione del sito, abbiamo creato un elenco degli enunciati e un elenco delle definizioni e dei simboli utilizzati.

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Percorso Numero di articoli
Fondamenti di teoria dei numeri

Diversamente dagli altri percorsi, ciascuno dei quali si pone come obiettivo la dimostrazione di un teorema ben preciso, lo scopo di questo percorso è semplicemente quello di fornire una conoscenza generale della teoria dei numeri, limitatamente agli aspetti maggiormente connessi coi numeri primi.

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Il Postulato di Bertrand

Dopo il Teorema sull’infinità dei numeri primi, forse il più semplice teorema che afferma qualcosa di importante sulla distribuzione dei numeri primi è il cosiddetto Postulato di Bertrand.
Proposto inizialmente come congettura nel 1845 dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand, il Postulato fu successivamente dimostrato per la prima volta dal russo Pafnutij L’vovič Chebyshev. Esso afferma che, per ogni intero n \gt 0, esiste un numero primo compreso tra n + 1 e 2n (estremi inclusi), come si può vedere nell’immagine a fianco.

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Il Teorema di Chebyshev (versione debole)

Pafnutij L’vovič Chebyshev, o Chebyshev, il matematico che ha inventato tra le altre cose la “macchina plantigrada” raffigurata qui a fianco, è famoso anche per un suo teorema che rappresenta un primo passo verso il Teorema dei Numeri Primi, che chiameremo semplicemente “Teorema di Chebyshev”. Questo teorema esiste in due versioni, chiamate rispettivamente “debole” e “forte”; in questo percorso ci concentreremo su quella debole.

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Il Teorema di Chebyshev (versione forte)

La “versione forte” del Teorema di Chebyshev (per alcuni autori semplicemente “Teorema di Chebyshev”) rappresenta, rispetto a quella debole, un ulteriore passo verso il Teorema dei Numeri Primi. Infatti, i due Teoremi sono molto simili, in quanto studiano le stesse funzioni, nello stesso modo. In entrambi i casi, le funzioni oggetto di studio sono \pi(x), che restituisce il numero di numeri primi minori o uguali ad x, e \frac{x}{\log x}; il modo di studiarle consiste nel calcolare il loro rapporto, e vedere come si comporta al crescere di x. La versione forte del Teorema di Chebyshev stabilisce che ci sono solo due possibilità: o questo rapporto non ha un limite, cioè continua ad oscillare all’infinito, oppure, se tende ad un limite, questo limite è 1.

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Il Teorema dei Numeri Primi: la dimostrazione “elementare”

L’obiettivo di questo percorso è dimostrare uno dei più importanti teoremi che riguardano i numeri primi, il cosiddetto Teorema dei Numeri Primi, il cui enunciato può essere espresso con la formula seguente:

\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}

dove \pi(x) indica il numero di numeri primi minori o uguali ad x. Il simbolo \sim rappresenta un’uguaglianza asintotica, il cui significato è chiarito in uno dei nostri articoli. Tuttavia, semplificando, possiamo leggere la formula dicendo che ci sono all’incirca \frac{x}{\log x} numeri primi minori o uguali ad x, e questa stima diventa sempre più accurata al crescere di x.

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Materiale complementare

La teoria dei numeri è una disciplina che utilizza molti risultati di altre discipline matematiche, in primo luogo l’analisi, ma anche l’algebra e la geometria. Per questo motivo i corsi di teoria dei numeri sono generalmente rivolti a studenti che già possiedono una solida conoscenza di queste altre discipline a livello universitario, insomma a gente matematicamente esperta. Il nostro approccio è sostanzialmente opposto, in quanto intendiamo la teoria dei numeri come principale materia di studio, ed introduciamo in modo mirato i concetti di altre discipline solo quando ce n’è una reale necessità. Così stiamo creando alcuni articoli “complementari”, cioè di supporto, che raggrupperemo in questo percorso e che troverete inseriti nei punti opportuni all’interno degli altri percorsi.

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