La congettura di Goldbach

Numeri pari ottenuti come somme di numeri primi: numeri uguali sono evidenziati con lo stesso colore

La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata citata da Eulero per la prima volta nel 1742, nella forma in cui la conosciamo oggi:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

L’evidenza empirica a favore della congettura è schiacciante: non solo ogni numero pari maggiore di due può essere scritto come somma di due numeri primi, ma molto spesso esistono diverse scritture di questo tipo per lo stesso numero. Ciò è evidente anche partendo dai numeri più piccoli:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11

In particolare, la pratica mostra che il numero di modi diversi in cui un numero pari può essere scritto come somma di due numeri primi tende ad aumentare al crescere del numero considerato, come si vede dal grafico seguente, la cosiddetta “cometa di Goldbach”:

Numero di modi diversi (asse y) in cui un numero pari (asse x) può essere scritto come somma di due numeri primi

Nonostante l’evidenza empirica e la semplicità dell’enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti. Essenzialmente queste possono essere classificate in due categorie, a seconda di quale aspetto dell’enunciato cambia rispetto alla congettura:

  • Quelle che, invece che considerare la somma di due numeri primi come nella congettura di Goldbach, considerano quella di un numero più grande di numeri primi, oppure di un numero primo e di un numero semiprimo, cioè il prodotto di due numeri primi.
  • Quelle che, invece che valere per ogni numero pari maggiore di 2 come nella congettura di Goldbach, valgono per “quasi” tutti i numeri pari maggiori di 2.

Alcune di esse rientrano in entrambe le categorie, in quanto affermano che quasi tutti i numeri pari maggiori di 2 possono essere scritti come una somma più complessa della somma di due numeri primi.

Vi è poi la cosiddetta congettura debole di Goldbach, che afferma che ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi (ad esempio 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11, = 3 + 3 + 5, …). Essa è chiamata congettura “debole” perché, se si dimostrasse la congettura di Goldbach (nota anche come congettura “forte” di Goldbach, per distinguerla dall’altra), ne sarebbe una semplice conseguenza. Infatti, se ogni numero pari fosse esprimibile come somma di due numeri primi, allora, dato un numero dispari d maggiore di 5, d - 3 sarebbe un numero pari maggiore di 2; quindi per la congettura forte di Goldbach si avrebbe che d - 3 = p + q, dove p e q sono due numeri primi, da cui d = 3 + p + q, ossia d sarebbe la somma di tre numeri primi.
Quindi la congettura forte di Goldbach implica quella debole, ma non è vero il viceversa. Infatti, la congettura debole è stata dimostrata dal matematico peruviano Harald Andrés Helfgott nel 2013, ma, ciononostante, la congettura forte continua a resistere a tutti i tentativi di dimostrazione.

Il fatto che siano state dimostrate diverse versioni più deboli della congettura, senza mai arrivare a dimostrare l’enunciato originale, ci fa pensare che dietro la congettura di Goldbach ci sia qualche meccanismo profondo che deve essere ancora compreso, e che potrebbe richiedere nuove tecniche di dimostrazione. Per questo stiamo impostando la dimostrazione sulla base di una nuova teoria, costruita appositamente per studiare lo specifico problema posto dalla congettura: la teoria dei tratteggi.

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