La Congettura di Goldbach

Numeri pari ottenuti come somme di numeri primi: numeri uguali sono evidenziati con lo stesso colore

La dimostrazione della Congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata citata da Eulero per la prima volta nel 1742, nella forma in cui la conosciamo oggi:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

Oltre a questa versione della Congettura, ne esiste una seconda, la cosiddetta Congettura debole di Goldbach, che afferma che ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi (ad esempio 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11, = 3 + 3 + 5, …). Essa è chiamata Congettura “debole” perché, se si dimostrasse la Congettura di Goldbach (nota anche come Congettura “forte” di Goldbach, per distinguerla dall’altra), essa ne sarebbe una semplice conseguenza.

Dato un numero dispari d maggiore di 5, d - 3 è un numero pari maggiore di 2. Allora, se fosse vera la Congettura forte di Goldbach, si avrebbe che d - 3 = p + q, dove p e q sono due numeri primi, da cui d = 3 + p + q, ossia d sarebbe la somma di tre numeri primi.

D’altra parte, se è vero che la Congettura forte di Goldbach implica quella debole, non è vero il viceversa. Infatti, la Congettura debole è stata dimostrata dal matematico peruviano Harald Andrés Helfgott nel 2013, ma, ciononostante, la Congettura forte continua a resistere a tutti i tentativi di dimostrazione.

Eppure i numeri sembrano parlare chiaro…

L’evidenza empirica a favore della Congettura è schiacciante: non solo sembra che ogni numero pari maggiore di 2 possa essere scritto come somma di due numeri primi, ma molto spesso esistono diverse scritture di questo tipo per lo stesso numero. Ciò è evidente anche partendo dai numeri più piccoli:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11

In particolare, utilizzando il nostro visualizzatore di coppie di Goldbach, è possibile verificare che il numero di modi diversi in cui un numero pari può essere scritto come somma di due numeri primi tende ad aumentare al crescere del numero considerato. Questa crescita è visibile nel grafico seguente, la cosiddetta “cometa di Goldbach”:

Numero di modi diversi (asse y) in cui un numero pari (asse x) può essere scritto come somma di due numeri primi

Non è facile come sembra

Nonostante l’evidenza empirica e la semplicità dell’enunciato, la Congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. La parte più difficile da affrontare nella dimostrazione è sicuramente il fatto che l’insieme dei numeri pari da 4 in poi dev’essere completamente coperto, ossia, come dice l’enunciato stesso, tutti i numeri pari maggiori di 2 devono soddisfare la relazione. Molti tentativi di dimostrazione della Congettura arrivano invece a dimostrare solo che alcuni numeri pari la soddisfano, ad esempio quelli che rispettano certe caratteristiche o hanno una certa forma algebrica: il risultato è che non viene dimostrata la Congettura, ma qualcos’altro.
Ad esempio, tutti i numeri pari della forma 2p, con p primo, sono la somma di due numeri primi (in questo caso di p con se stesso), ma certamente non tutti i numeri pari sono di questa forma. Eppure, si può osservare che l’insieme dei numeri pari del tipo 2p è infinito, perché i numeri primi sono infiniti, ma ciò non basta: il solo fatto che un insieme di numeri pari sia infinito non implica che esso contenga tutti i numeri pari da 4 in poi. Anche sommando tra loro due numeri primi dispari si ottiene sempre un numero pari (perché in generale la somma di due numeri dispari è pari), in questo caso da 6 in poi perché la più piccola somma di primi dispari è 6 = 3 + 3. Così si ottiene un insieme infinito di numeri pari maggiori o uguali a 6, ma il solo fatto che questo insieme sia infinito non significa che esso esaurisca tutti i numeri pari da 6 in poi.

Risultati intermedi

Diversi matematici hanno dimostrato alcuni teoremi che costituiscono delle versioni meno forti della Congettura. Questi teoremi possono essere classificati in due categorie, a seconda di quale aspetto dell’enunciato cambia rispetto alla Congettura:

  • I teoremi che, invece che considerare la somma di due numeri primi (come nella Congettura di Goldbach), considerano quella di un numero più grande di numeri primi, oppure di un numero primo e di un numero semiprimo, cioè il prodotto di due numeri primi.
  • Quelli che, invece che valere per ogni numero pari maggiore di 2 (come nella Congettura di Goldbach), valgono per “quasi” tutti i numeri pari maggiori di 2.

Alcuni teoremi rientrano in entrambe le categorie, affermando che “quasi” tutti i numeri pari maggiori di 2 possono essere scritti come una somma più complessa della somma di due numeri primi.

Relativamente alla correlazione tra numeri pari e coppie di numeri primi, alcuni teoremi di teoria dei numeri possono aiutare ad affermare qualcosa di abbastanza specifico. Ad esempio, tramite il Teorema di Dirichlet, è possibile dimostrare che esistono infiniti numeri pari aventi come ultima cifra 2 che sono dati dalla somma di due numeri primi.

I passaggi logici della dimostrazione sono i seguenti:

  • Dato che l’ultima cifra della somma è 2, i due addendi possono solo avere come ultima cifra rispettivamente (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3); tenendo conto della proprietà commutativa, possiamo limitarci a considerare (0, 2), (1, 1), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6).
  • Il Teorema di Dirichlet dice che esistono infiniti numeri primi del tipo ax + b, con a e b interi coprimi, e x intero. Quindi, per a = 10 e 0 \leq b \leq 9, esistono infiniti numeri primi del tipo 10x + b, ossia con ultima cifra b. Ma, per poter applicare il Teorema, b deve essere coprimo con 10, ossia dev’essere uguale a 1, 3, 7 oppure 9.
  • Per poter applicare il Teorema di Dirichlet a entrambi gli addendi (anche se in realtà basterebbe applicarlo a uno solo), escludiamo dalle possibilità precedenti quelle in cui una delle due cifre non è coprima con 10: restano (1, 1) e (3, 9).
  • Considerando il caso (1, 1), per il Teorema di Dirichlet l’insieme P_1 := \{\text{numeri primi aventi come cifra finale 1}\} è infinito. Allora, sommando due numeri primi p, q \in P_1, essendoci infinite possibilità per entrambi, abbiamo infinite possibilità per la somma, che sarà un numero pari con cifra finale 2.
  • Considerando invece il caso (3, 9), per il Teorema di Dirichlet gli insiemi P_3 := \{\text{numeri primi aventi come cifra finale 3}\} e P_9 := \{\text{numeri primi aventi come cifra finale 9}\} sono infiniti. Allora, sommando un primo p \in P_1 ed un primo q \in P_9, essendoci infinite possibilità per entrambi, avremo infinite possibilità per la somma, che sarà ancora un numero pari con cifra finale 2.

Il fatto che siano state dimostrate diverse versioni più deboli della Congettura, senza mai arrivare a dimostrare l’enunciato originale, ci fa pensare che dietro la Congettura di Goldbach ci possa essere qualche meccanismo profondo che deve essere ancora compreso, e che potrebbe richiedere nuove tecniche di dimostrazione. Per questo stiamo impostando la dimostrazione sulla base di una nuova teoria, costruita appositamente per studiare lo specifico problema posto dalla Congettura: la teoria dei tratteggi.

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