Il Teorema dei Numeri Primi: la dimostrazione “elementare”

L’obiettivo

L’obiettivo di questo percorso è dimostrare uno dei più importanti teoremi che riguardano i numeri primi, il cosiddetto Teorema dei Numeri Primi, il cui enunciato può essere espresso con la formula seguente:

\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}

dove \pi(x) indica il numero di numeri primi minori o uguali ad x. Il simbolo \sim rappresenta un’uguaglianza asintotica, il cui significato è chiarito in uno dei nostri articoli. Tuttavia, semplificando, possiamo leggere la formula dicendo che ci sono all’incirca \frac{x}{\log x} numeri primi minori o uguali ad x, e questa stima diventa sempre più accurata al crescere di x. Vi invitiamo a verificarlo con diversi valori di x.

La dimostrazione che presenteremo è quella di Paul Erdős (nell’immagine a fianco) e Atle Selberg. Quando fu proposta per la prima volta nel 1949, essa suscitò grande scalpore nella comunità matematica, per il fatto che è basata esclusivamente sull’analisi reale, diversamente dalla dimostrazione nota in precedenza, che invece utilizzava sofisticate nozioni di analisi complessa. Per questo motivo la dimostrazione di Erdős e Selberg è detta “elementare”, pur essendo in effetti di notevole complessità: il termine “elementare” infatti è riferito esclusivamente alle tecniche utilizzate, piuttosto che alla dimostrazione in sé.

Il percorso

Nel percorso verso la dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi, introdurremo via via varie nozioni di teoria dei numeri e dimostreremo diversi risultati intermedi di una certa importanza, avvicinandoci gradualmente al risultato finale. Il più importante risultato intermedio sarà la versione forte del Teorema di Chebyshev, che è l’obiettivo di un altro percorso, di cui questo è una prosecuzione.
Nel complesso, tenteremo di adottare un approccio simile a quello dei romanzi gialli, in cui si raccolgono i vari indizi e, grazie a questi, si capiscono gradualmente i vari aspetti della vicenda, fino ad individuare il colpevole. Allo stesso modo, tenteremo di avvicinarci al risultato finale approfondendo diversi temi separatamente, fino ad ottenere un quadro complessivo.

Introduzione generale ai percorsi
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