Il Postulato di Bertrand

L’obiettivo

Dopo il Teorema sull’infinità dei numeri primi, forse il più semplice teorema che afferma qualcosa di importante sulla distribuzione dei numeri primi è il cosiddetto Postulato di Bertrand.
Proposto inizialmente come congettura nel 1845 dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand, il Postulato fu successivamente dimostrato per la prima volta dal russo Pafnutij L’vovič Chebyshev. Esso afferma che, per ogni intero n \gt 0, esiste un numero primo compreso tra n + 1 e 2n (estremi inclusi), come si può vedere nell’immagine a fianco. Quindi il Postulato di Bertrand stabilisce l’esistenza di un numero primo compreso tra 2 e 2, di uno tra 3 e 4, uno tra 4 e 6, uno tra 5 e 8, uno tra 6 e 10, e così via.

Il percorso

La dimostrazione che presenteremo non è quella di Chebyshev, che è abbastanza complessa, ma quella trovata più tardi dall’ungherese Paul Erdős (lo stesso che insieme al norvegese Atle Selberg dimostrò in modo “elementare” il Teorema dei Numeri Primi). Questa dimostrazione è interessante per il fatto che fa uso di alcune tecniche combinatorie, basate sullo studio dei coefficienti binomiali.
Dal 1950 in poi sono state dimostrare diverse versioni più forti del Postulato, ma qui proporremo la versione originale proprio per la sua dimostrazione, che è un ottimo esempio di applicazione di alcune tecniche elementari di teoria dei numeri.

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