Il Teorema di Chebyshev (versione debole)

L’obiettivo

Pafnutij L’vovič Chebyshev, il matematico che ha inventato tra le altre cose la “macchina plantigrada” raffigurata qui a fianco, è famoso anche per un suo teorema che rappresenta un primo passo verso il Teorema dei Numeri Primi, che chiameremo semplicemente “Teorema di Chebyshev”. Questo teorema esiste in due versioni, chiamate rispettivamente “debole” e “forte”; in questo percorso ci concentreremo su quella debole. Il Teorema di Chebyshev ed il teorema dei Numeri Primi dicono entrambi qualcosa sulla relazione che intercorre tra la funzione \pi(x), che restituisce il numero di numeri primi minori o uguali di x, e la funzione \frac{x}{\log x}. Per la versione debole del Teorema di Chebyshev, queste due funzioni sono dello stesso ordine di grandezza, nel senso della Definizione A.3. Per capire meglio questo concetto, possiamo considerare il caso dei polinomi: due polinomi hanno lo stesso ordine di grandezza quando hanno lo stesso grado, perciò, in base alla versione debole del Teorema di Chebyshev, possiamo dire che le funzioni \pi(x) e \frac{x}{\log x} si somigliano quanto due qualsiasi polinomi dello stesso grado, come x^2 e 3x^2 + x. In formule, questo concetto viene espresso come segue:

\pi(x) \asymp \frac{x}{\log x}

Il Teorema dei Numeri Primi dice qualcosa di molto più preciso riguardo alla somiglianza tra queste due funzioni; in compenso, però, la versione debole del teorema di Chebyshev è molto più semplice da dimostrare.

Il percorso

La dimostrazione della versione debole del Teorema di Chebyshev costituisce un’ottima applicazione di alcune nozioni fondamentali di teoria dei numeri. Basandoci su alcune proprietà dei coefficienti binomiali, studieremo alcune tra le più importanti funzioni di teoria dei numeri:

  • la funzione \theta^{\star}(x), che restituisce il prodotto dei numeri primi minori o uguali di x, ed il suo logaritmo \theta(x);
  • la funzione \psi^{\star}(x), che restituisce il minimo comune multiplo degli interi positivi minori o uguali di x, ed il suo logaritmo \psi(x);
  • infine, studieremo la già citata funzione \pi(x), che restituisce il numero di numeri primi minori o uguali di x.