Teoria dei tratteggi

La teoria dei tratteggi è una nuova teoria matematica che studia il rapporto tra la successione dei numeri naturali e la loro relazione di divisibilità. Problemi tipici sono il calcolo dell'n-esimo numero naturale divisibile per almeno uno di k numeri fissati, o non divisibile per alcuno di essi. Per tale natura, la teoria si presta allo studio dei numeri primi mediante un approccio costruttivo, ispirato al crivello di Eratostene...

La nascita della teoria è avvenuta tra i banchi di scuola, con l'obiettivo di creare uno strumento utile per la dimostrazione della congettura di Goldbach.
Quando il professore di matematica di Simone, in terzo liceo, gli parlò della congettura di Goldbach, egli sentì l'irresistibile desiderio di capirla in maniera profonda, per tentate di dimostrarla. Alcuni compagni di classe seguirono i suoi primi ragionamenti, però il loro interesse non derivava tanto dal problema in sé, quanto dal premio di un milione di dollari che allora era in palio per chiunque fosse riuscito a dimostrarla. Anche per Simone il premio era importante, ma non come il desiderio di conoscere i meccanismi che si celano dietro il semplice enunciato della congettura. Cosí i suoi compagni si disinteressarono presto alla questione, mentre lui fu impegnato, negli anni successivi, a sviluppare una nuova teoria matematica che riteneva essere uno strumento utile per la dimostrazione. Chiamò questa teoria col nome di teoria dei tratteggi.
Ma perché ideare una teoria nuova, solamente per risolvere uno specifico problema? Egli pensò che, se nessuno era ancora riuscito a dimostrare la congettura, un motivo poteva essere la mancanza dei giusti strumenti matematici. Perciò valeva la pena provare con un approccio nuovo, basato su una nuova teoria.

Nel 2010 vi è stata la prima pubblicazione in una forma compiuta, sul sito http://teoriadeitratteggi.webnode.it, essa però utilizza un linguaggio molto formale, che lascia poco spazio all'intuizione. Questo aspetto è stato migliorato a partire dal 2018, con la nascita del progetto Dimostriamo Goldbach!, grazie al quale gli argomenti della teoria dei tratteggi sono stati spiegati con un taglio più didattico, con l'ausilio di immagini ed esempi, dando luogo agli articoli elencati sotto.

Sempre nell'ambito del progetto Dimostriamo Goldbach!, vi sono stati ulteriori sviluppi della teoria, più legati alla ricerca della dimostrazione della congettura di Goldbach. A breve li raccoglieremo un una nuova sezione di questo sito.

1. Dai numeri primi ai tratteggi

Un tratteggio è visualizzabile graficamente come una tabella che ha un numero fissato di righe, e colonne numerate a partire da zero, potenzialmente infinite. Le celle della tabella possono essere vuote, oppure contenere un trattino (-). Se ogni riga ha i suoi trattini disposti partendo dalla colonna 0 ad intervalli regolari, si ottiene una configurazione che può essere presa come base per lo studio dei numeri primi...
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2. Tratteggi, trattini e spazi: alcune definizioni e semplici proprietà

Nella definizione formale di tratteggio, un trattino è una coppia di numeri naturali (i, n), dove i identifica la riga dove è situato il trattino, ed n è il numero ordinale che individua la sua posizione all'interno della riga. Un tratteggio è una funzione che associa ad ogni trattino il suo valore, ossia la colonna di appartenenza. Gli spazi sono le colonne che non contengono trattini.
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3. Periodicità e simmetria nei tratteggi lineari

In questo articolo parleremo di due proprietà fondamentali dei tratteggi lineari: la periodicità e la simmetria. Quando si parla di periodicità si intende che nella rappresentazione tabellare di un tratteggio vi sono degli schemi che si ripetono infinite volte. Inoltre alcuni di questi schemi sono simmetrici, nel senso che la prima colonna è uguale all'ultima, la seconda alla penultima, eccetera.
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4. Da un problema sulla corsa ai tratteggi

Carlo, Maria e Tommaso sono tre amici che amano la corsa. Oggi sono andati a correre tutti e tre insieme, ma ognuno dei tre segue un proprio ritmo: Carlo corre ogni tre giorni, Maria ogni quattro giorni e Tommaso ogni cinque. Dato un numero intero positivo x, chi di loro sarà l'x-esimo a correre, e tra quanti giorni lo farà? Quale sarà l'x-esimo giorno in cui non corre nessuno dei tre? La teoria dei tratteggi ci permette di rispondere a domande come queste. Così hanno origine le definizioni delle funzioni t, t_valore e t_spazio.
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Figura 1: Il tratteggio di primo ordine (3), dove sono mostrati i trattini in forma matematica (sopra) ed i loro ordinali (sotto).

5. I tratteggi lineari di primo ordine

Abbiamo visto che uno dei problemi fondamentali della teoria dei tratteggi è il calcolo delle funzioni t, t_valore e t_spazio. Ora vediamo come si effettua questo calcolo per tratteggi lineari di primo ordine, mentre i prossimi articoli saranno dedicati ai tratteggi di ordine più alto.
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1. Dai numeri primi ai tratteggi

Un tratteggio è visualizzabile graficamente come una tabella che ha un numero fissato di righe, e colonne numerate a partire da zero, potenzialmente infinite. Le celle della tabella possono essere vuote, oppure contenere un trattino (-). Se ogni riga ha i suoi trattini disposti partendo dalla colonna 0 ad intervalli regolari, si ottiene una configurazione che può essere presa come base per lo studio dei numeri primi...
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2. Tratteggi, trattini e spazi: alcune definizioni e semplici proprietà

Nella definizione formale di tratteggio, un trattino è una coppia di numeri naturali (i, n), dove i identifica la riga dove è situato il trattino, ed n è il numero ordinale che individua la sua posizione all'interno della riga. Un tratteggio è una funzione che associa ad ogni trattino il suo valore, ossia la colonna di appartenenza. Gli spazi sono le colonne che non contengono trattini.
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3. Periodicità e simmetria nei tratteggi lineari

In questo articolo parleremo di due proprietà fondamentali dei tratteggi lineari: la periodicità e la simmetria. Quando si parla di periodicità si intende che nella rappresentazione tabellare di un tratteggio vi sono degli schemi che si ripetono infinite volte. Inoltre alcuni di questi schemi sono simmetrici, nel senso che la prima colonna è uguale all'ultima, la seconda alla penultima, eccetera.
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4. Da un problema sulla corsa ai tratteggi

Carlo, Maria e Tommaso sono tre amici che amano la corsa. Oggi sono andati a correre tutti e tre insieme, ma ognuno dei tre segue un proprio ritmo: Carlo corre ogni tre giorni, Maria ogni quattro giorni e Tommaso ogni cinque. Dato un numero intero positivo x, chi di loro sarà l'x-esimo a correre, e tra quanti giorni lo farà? Quale sarà l'x-esimo giorno in cui non corre nessuno dei tre? La teoria dei tratteggi ci permette di rispondere a domande come queste. Così hanno origine le definizioni delle funzioni t, t_valore e t_spazio.
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Figura 1: Il tratteggio di primo ordine (3), dove sono mostrati i trattini in forma matematica (sopra) ed i loro ordinali (sotto).

5. I tratteggi lineari di primo ordine

Abbiamo visto che uno dei problemi fondamentali della teoria dei tratteggi è il calcolo delle funzioni t, t_valore e t_spazio. Ora vediamo come si effettua questo calcolo per tratteggi lineari di primo ordine, mentre i prossimi articoli saranno dedicati ai tratteggi di ordine più alto.
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