Definizioni e simboli di teoria dei numeri

Elenchiamo nella seguente tabella i vari simboli che sono utilizzati nei nostri articoli di teoria dei numeri. Si assume che tutte le variabili rappresentino interi non negativi.

Simbolo Significato Restrizioni implicite Riferimento
p, q Numeri primi (per convenzione) Definizione di numero primo
p_i i-esimo numero primo: p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, eccetera i \geq 1 Definizione di numero primo
q_i Numero estratto da un elenco di numeri primi non necessariamente ordinato o completo. Ad esempio se l’elenco è 5, 17, 3 si pone q_1 := 5, q_2 := 17 e q_3 := 3. i \geq 1 Definizione di numero primo
\binom{n}{k} Binomiale “n su k n > 0, 0 \leq k \leq n Coefficiente binomiale (Wikipedia)
b \mid a, b \nmid a b divide a“, “b non divide a b \neq 0 Definizione di numero primo, Definizione N.2
\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor Parte intera di \frac{a}{b} approssimata per difetto b \neq 0
\left \lceil \frac{a}{b} \right \rceil Parte intera di \frac{a}{b} approssimata per eccesso b \neq 0
a = o(b) a è un “o piccolo” di b a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4
a = O(b) a è un “O grande” di b a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4
a \asymp b a e b sono dello stesso ordine a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.1, Definizione A.3, Definizione A.4
a \sim b a e b sono asintoticamente equivalenti a e b sono due funzioni definite sui reali o sugli interi, a valori reali Elementi di analisi asintotica: Definizione A.2, Definizione A.3, Definizione A.4
\theta^{\star}(x) \prod_{p \leq x} p x > 0 Il prodotto dei primi numeri primi: una maggiorazione, Definizione N.4
\psi^{\star}(x) \mathrm{MCM}(1, \dots, x) x > 0 Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi, Definizione N.5
\pi(x) Numero di numeri primi minori o uguali ad x x > 0 Il minimo comune multiplo dei primi numeri interi, Definizione N.6
\theta(x) \log \theta^{\star}(x) x > 0 Il teorema di Chebyshev, Definizione N.7
\psi(x) \log \psi^{\star}(x) x > 0 Il teorema di Chebyshev, Definizione N.7
\overline{f}(x) Estensione semplice di f f: I \rightarrow \mathbb{R} è una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Conseguentemente, la funzione \overline{f} è definita sull’insieme \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1). Dai numeri interi ai numeri reali, Definizione N.8
\widetilde{f}(x) Estensione di f f: I \rightarrow \mathbb{R} è una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. La funzione \widetilde{f} è definita su \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1). Dai numeri interi ai numeri reali, Definizione N.9

Elenchiamo di seguito le definizioni esplicitamente introdotte nei nostri articoli di teoria dei numeri.

Definizione Enunciato
N.1: Numero primo, prima definizione Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che è divisibile solo per se stesso e per 1.
N.2: Divisibilità Un intero a è divisibile per un intero b, con b \neq 0, se a = b c per qualche intero c.
Se a è divisibile per b si scrive b \mid a (“b divide a“), altrimenti si scrive b \nmid a (“b non divide a“).
N.3: Numero primo, seconda definizione Un numero primo è un numero intero p > 1 tale che, se p \mid bc, allora p \mid b oppure p \mid c, per qualunque coppia di interi b e c. In altri termini, p non può dividere un prodotto di interi bc senza dividere almeno uno dei due fattori.
N.4: Prodotto dei primi fino a x Si definisce la funzione \theta^{\star}(x) := \prod_{p \leq x} p dove x è un intero positivo.
N.5: Minimo comune multiplo degli interi positivi fino ad x Si definisce la funzione \psi^{\star}(x) := \mathrm{MCM}(1, \dots, x), dove x > 0 è un intero.
N.6: Numero di primi minori o uguali ad x Si definisce la funzione \pi(x) := |\{\textrm{numeri primi} \leq x\}|, dove x è un intero positivo.
N.7: Funzioni logaritmiche \theta(x) e \psi(x) Si definiscono le funzioni \theta(x) := \log \theta^{\star} e \psi(x) := \log \psi^{\star}(x), dove x è un intero positivo.
N.8: Estensione semplice di una funzione definita sui numeri interi, ai numeri reali

Sia f: I \rightarrow \mathbb{R} una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Si definisce sull’insieme \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1) la funzione \overline{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R} tale che:

\forall n \in I\ \forall x \in [n, n+1): \overline{f}(x) := f(n)

Chiameremo la funzione \overline{f} “estensione semplice di f ai numeri reali”, o semplicemente “estensione semplice di f“.

N.9: Estensione di una funzione definita sui numeri interi, ai numeri reali

Sia f: I \rightarrow \mathbb{R} una funzione definita su un insieme I \subseteq \mathbb{Z}. Sia \overline{I} := \bigcup_{n \in I} [n, n+1) ed \widetilde{f}: \overline{I} \rightarrow \mathbb{R} una funzione tale che:

\widetilde{f}_{\mid I} = f

Diremo che la funzione \widetilde{f} è una “estensione di f ai numeri reali”, o semplicemente una “estensione di f“.